H (Ay,x)=(x, Ay)=(Ax, y) 故A=(4") 3AB∈B(H),故AB∈B(H),(AB)存在.Vx,y∈H, Bx, y)=(Bx, A'y)=(x, BAy 故(AB)=B 4°x,y∈H,(Ax,y)=(x,Ay).若Ax≠0,则 (Ax, Ax) 1 (x, A Ax) Ax 所以4s4|又由2,f=4,于是r|=4 上式又可以写成4=(xAAx)≤4,故 Ist 显然4车414=1,故=14=4 定理6设H是 Hilbert空间,A∈B(H),A是A的伴随算子, 则 N(A)=R(A) N(A)=R(A)2 R(A)=N(A) R(A)=N(A)2 证明若x∈N(A),则Ax=0.Vy∈H,9 D 2 ∀x, y ∈ H ， (A y, x) ∗ ＝ (x, A y) ∗ ＝ (Ax, y) ＝ ( y, Ax), 故 A ＝ ∗ ∗ (A ) ＝ ** A . D 3 A,B ∈ B(H)，故 AB ∈ B(H) ， ∗ (AB) 存在. ∀xy H , ∈ ， (ABx, y) (Bx, A y) ∗ = = (x, B A y) ∗ ∗ . 故 * (AB) = * B * A . D 4 ∀x, y ∈ H ， (Ax, y) (x, A y) ∗ = . 若 Ax ≠ 0，则 Ax = Ax (Ax, Ax) ＝ Ax 1 (x, A Ax) ∗ ＝                ∗ Ax Ax x, A ≤ x Ax Ax A ⋅        ∗ ≤ A ⋅ x ∗ . 所以 ∗ A ≤ A . 又由 D 2 , A A A , ∗ ∗∗ ≤ = 于是 A A . ∗ = 上式又可以写成 ( , ) 2 Ax x A Ax ∗ = ≤ 2 A A ⋅ x ∗ ，故 2 1 2 A sup Ax x ≤ = ≤ A A ∗ 。 显然 A A ∗ ≤ ∗ A A ＝ 2 A ，故 = ∗ 2 A 2 A ＝ A A ∗ . 定理 6 设 H 是 Hilbert 空间, A∈ B(H) ， ∗ A 是 A 的伴随算子， 则 ∗ ⊥ N(A) = R(A ) ， ∗ ⊥ N(A ) = R(A) ， ∗ ⊥ R(A) = N(A ) ， ∗ ⊥ R(A ) = N(A) . 证明 若 x ∈ N(A) ，则 Ax = 0 . ∀y H ∈