其中K(t,s)是a≤≤b,a≤S≤b上可测且平方可积的函数 由 Holder不等式容易验证A是有界线性算子,故A存在.实际 A'x(D)=K(s, I)(s)ds,VxE L[a,b] 因为由定义 (x, A'y)=x(O[K(s,)y(s)dsdt x(o) K(s, Oy(sdsdt =K(s, t) x()y(sdsdt (∫k(sx(s) ∈L[ab] 若K(S,1)=k(t,s),则A是自伴算子 定理5设H是 Hilbert空间,A,B∈B(H),则 (1)(a4+B)=aA'+BB (2)A=A (3)(AB)=BA 证明1x,y∈H,a,B∈Φ (aA+ BB)x,y)=(aAx+ BBx, y) a(Ax, y)+B(Bx, y) a(x, Ay)+B(x, B'y) =(x,、(aA+BB')y) 故(a4+B)’=aA'+BB8 其中 K(t,s) 是 a ≤ t ≤ b , a ≤ s ≤ b 上可测且平方可积的函数. 由 Holder 不等式容易验证 A 是有界线性算子, 故 * A 存在. 实际 上, A x * ( t ) = K s t x s ds b a ( , ) ( ) ∫ , ∀x ∈ L [a,b] 2 . 因为由定义, ( , ) * x A y = ∫ b a x(t) K s t y s dsdt b a ( , ) ( ) ∫ = ∫ b a x(t) K s t y s dsdt b a ( , ) ( ) ∫ = K s t x t y s dsdt b a b a ( , ) ( ) ( ) ∫ ∫ = K t s x s ds y t dt b a b a ( ( , ) ( ) ) ( ) ∫ ∫ = (Ax, y). ∀x, y ∈ L [a,b] 2 , 若 K(s,t) = K(t,s), 则 A 是自伴算子. 定理 5 设 H 是 Hilbert 空间, A, B ∈ B(H), 则 (1) * (αA + βB) = * αA + * βB . (2) ** A = A . (3) * (AB) = * B * A . (4) 2 * A = 2 A = A A * . 证明 D 1 ∀ ∈ xy H , ,α, β ∈Φ , ((αA + βB)x, y) = (αAx + βBx, y) =α(Ax, y) + β (Bx, y) = (x, A y) (x, B y) ∗ ∗ α + β = (x,( A B ) y) ∗ ∗ α + β 故 * (αA + βB) = * αA + * βB