10.一工厂生产的某种设备的寿命X(以年计)服从指数分布,概率密度为 x>0 x)= < 工厂规定,出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换。若工厂售出一台设备赢利 100元,调换一台设备厂方需花费300元,试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望 解:设备寿命小于一年的概率P(X<1)=Jf(x)dx=ex=1-e1 又因为设备寿命小于一年时厂方的收益为100-300=-200元 而设备寿命大于一年时厂方的收益为100元 故出售一台设备净赢利的数学期望 E=100*P(X>1)-200*P(X<1) =100-300(1-e-14)=300*0.778-200=3364(元) 1l.设X与Y为随机变量,E(X)=3,E(Y)=-2,D(X)=9,D(Y)=4.在下列情 况下,求E(3X-1)和D(3X-Y) (1)Con(X,Y)=1; (2)Cov(X,)=0; v(X,Y)=-1 答:三种情况下,E(3X-Y)的值都相同,且为 E(3X-Y)=3E(X)-E(Y)=1l 而D3X-Y)的值各不相同,分别为 (1)D(3X-Y)=9D(X)+D(Y)-2*3°Cov(X,Y)=81+4-6=79 (2)D(3XY)=9D(X)+D(Y)-2*3°Cov(X,Y)=81+4-0=85 (3)D(3XY)=9D(X)+D(Y)-2*3*Cov(X,Y)=81+4+6=91 1l.查表求:=05,=025,-095,二9。 1.645; 13.某零件的寿命服从均值为1200小时,标准差为50小时的正态分布。随机地抽取一只零 件,试求 (1)它的寿命不低于1300小时的概率; 3)它的寿命不低于多少小时的概率为9%P率; (2)它的寿命在1100小时和1300小时之间的概 解:据题意μ=1200σ=50故 P{X≥13002=1-P{X<1300}=1-d(1300=1-(139) o(2)=1-0.9772=0.02283 10．一工厂生产的某种设备的寿命 X （以年计）服从指数分布，概率密度为       = − 0, 0 , 0 4 1 ( ) 4 x e x f x x 工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换。若工厂售出一台设备赢利 100 元，调换一台设备厂方需花费 300 元，试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望。 解: 设备寿命小于一年的概率 P( X  1 ) =  − 1 f (x)dx =  − 1 0 4 4 1 e dx x = 1 － −1/ 4 e 又因为设备寿命小于一年时厂方的收益为 100 - 300 = -200 元 而设备寿命大于一年时厂方的收益为 100 元 故出售一台设备净赢利的数学期望 E = 100* P(X >1) －200* P(X < 1) = 100*(1 - P(X <1)) －200* P(X < 1) = 100 – 300*(1 – −1/ 4 e ) = 300*0.7788 – 200 = 33.64 (元) 11．设 X 与 Y 为随机变量， E(X ) = 3， E(Y) = −2， D(X ) = 9， D(Y) = 4 。在下列情 况下，求 E(3X −Y) 和 D(3X − Y)： （1） Cov(X,Y) = 1 ； （2） Cov(X,Y) = 0 ； （3） Cov(X,Y) = −1。 答：三种情况下，E(3X-Y)的值都相同，且为 E(3X-Y) = 3E(X)-E(Y) = 11。 而 D(3X-Y)的值各不相同，分别为： （1）D(3X-Y) = 9D(X) + D(Y) – 2*3*Cov(X,Y) = 81 + 4 – 6 = 79 （2）D(3X-Y) = 9D(X) + D(Y) – 2*3*Cov(X,Y) = 81 + 4 – 0 = 85 （3）D(3X-Y) = 9D(X) + D(Y) – 2*3*Cov(X,Y) = 81 + 4 + 6 = 91 11．查表求： 0.05 z ， 0.025 z ， 0.975 z ， 0.9 z 。 答: 0.05 z = 1.645; 0.025 z = 1.96; 0.975 z = – 1.96; 0.9 z = – 1.28 13．某零件的寿命服从均值为 1200 小时，标准差为 50 小时的正态分布。随机地抽取一只零 件，试求： （1）它的寿命不低于 1300 小时的概率； （2）它的寿命在 1100 小时和 1300 小时之间的概率； （3）它的寿命不低于多少小时的概率为 95%？ 解: 据题意 μ= 1200 σ= 50 故: (1)     1 (2) 1 0.9772 0.0228 1300 1 1300 1 (1300) 1 ( ) 0 50 1300 1200 0 = −  = − =  = −  = −  = −  − P X P X (2)