《管理统计分析方法》习题二

管理数学I习题二 1.用随机变量来描述掷一枚骰子的试验结果,并写出它的分布律。 解:令X为掷一枚骰子的试验结果,则Ⅹ的取值为1,2,3,4,5,6。并且X取其中任 值的概率都是1/6。其分布律如下 2.某试验成功的概率为P,X代表第二次成功之前试验失败的次数,写出X的分布律。 答X的分布律为 P2|2*2(1-p)3*p2(1-p24*p2(1-p) (n+1)p2(1-p)2 3.下表能否为某个随机变量的分布律?为什么? 01504 0.6 答不能因为015+0.45+0.6=1.2>1 产品有一、二、三等品和废品四种 三等品率和废品率分别为55%25%、19% 1%,任取一件产品检验其质量等级,用随机变量X表示检验结果,并写出其分布律和 分布函数。 答:X的分布律为: 0.55 0.25 分布函数为: 0.55.1<x<2 (x)=108,2 0.99.3≤x<4 ≤x 5.设某种试验成功的概率为07,现独立地进行10次这样的试验。问是否可以用一个服从 二项分布的随机变量来描述这10次试验中成功的次数?如何描述?请写出它的分布以 及分布的数学期望和标准差 答:本题中实验的结果只有两种,成功不成功符合 Bernoulli实验的特征。令X为10次实验 中成功的次数,显然ⅹ的取值范围就是0,1,2…,10,而且X取k的概率为: P(X=k)=C6p2(1-p)2k 其中k为0-10间的自然数。显然可以用服从二项分布的随机变量来描述这10次实验中 成功次数。具体分布就是

1 管理数学 I 习题二 1．用随机变量来描述掷一枚骰子的试验结果，并写出它的分布律。 解：令 X 为掷一枚骰子的试验结果，则 X 的取值为 1，2，3，4，5，6。 并且 X 取其中任 一值的概率都是 1/6。其分布律如下： X 1 2 3 4 5 6 p 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 2．某试验成功的概率为 p ，X 代表第二次成功之前试验失败的次数，写出 X 的分布律。 答:X 的分布律为: X 0 1 2 3 … n … p p 2 2*p2 (1-p) 3*p2 (1-p)2 4*p2 (1-p) 3 … (n+1)p2 (1-p)n … 3．下表能否为某个随机变量的分布律？为什么？ X 1 2 3 p 0.15 0.45 0.6 答:不能,因为 0.15+0.45+0.6 = 1.2 > 1。 4．产品有一、二、三等品和废品四种，一、二、三等品率和废品率分别为 55%、25%、19%、 1%，任取一件产品检验其质量等级，用随机变量 X 表示检验结果，并写出其分布律和 分布函数。 答： X 的分布律为： X 1 2 3 4 p 0.55 0.25 0.19 0．1 分布函数为：                 = x x x x x F x 1, 4 0.99, 3 4 0.8, 2 3 0.55, 1 2 0, 1 ( ) 5．设某种试验成功的概率为 0.7，现独立地进行 10 次这样的试验。问是否可以用一个服从 二项分布的随机变量来描述这 10 次试验中成功的次数？如何描述？请写出它的分布以 及分布的数学期望和标准差。 答: 本题中实验的结果只有两种,成功,不成功,符合 Bernoulli 实验的特征。令 X 为 10 次实验 中成功的次数，显然 X 的取值范围就是 0，1，2 …，10，而且 X 取 k 的概率为： 其中 k 为 0-10 间的自然数。显然可以用服从二项分布的随机变量来描述这 10 次实验中 成功次数。具体分布就是 k k n k P X k Cn p p − ( = ) = (1− )

P(X=k)=C0.70.3″ 数学期望E(X)=n*p=10米0.7=7 标准差a=√mp(1-p)=√10×07×(1-07)=√21=145 6.如果你是一个投资咨询公司的雇员,你告诉你的客户,根据历史数据分析结果,企业A 的平均投资回报比企业B的高,但是其标准差也比企业B的大。你应该如何回谷客户 提出的如下问题 (1)是否意味着企业A的投资回报肯定会比企业B的高?为什么? (2)是否意味着客户应该为企业A而不是企业B投资?为什么? 答:(1)平均投资回报反映的是长期的平均结果。就某一年或短期而言,并不能说A的投 资回报一定比B高 (2)不一定。实际上,选择的结果依赖于不同决策者对待风险的态度 7.某公司估计在一定时间内完成某项任务的概率如下: 天数 概率0.05 0.20 0.10 (1)求该任务能在3天(包括3天)之内完成的概率 答:3天之内完成的概率为0.05+020+0.35=0.60 (2)求完成该任务的期望天数; 答:任务完成的期望天数E=1*05+2*20+3*,35+4*.30+5*.10=3,2天。 (3)该任务的费用由两部分组成—20,000元的固定费用加每天2000元,求整个项 目费用的期望值;费用=200002000*完成任务天数 答:费用期望值E(费用)=20000+20003.2=26400(元)。 (4)求完成天数的标准差 解:方差D(X)=E(X2)-(E(X)2=12*005+2*0.2+32*0.35+4203+52*0.1-10.24=1.06 则标准差σ=1.03 8.求4中随机变量X的期望和方差,以及E(X2)。 解:期望E(X)=1*0.55+2*0.25+3*0.19+4*001=1.66 E(X2)=12*0.55+2+0.2+32*0.19+420.01=0.55+10+1.71+0.16=342 方差D(X)=E(X2)-(E(X)2=342-1.662=0.6644 9.设随机变量X的概率密度函数为 0.x≤0 求(1)Y=2X,(2)Y=e-的数学期望。 (1)E(Y)=E(2X)=2E(X)=2 x f(x)dx=2 x e dx=(2e x-2e 2)Ey=Ec)-je-f()-=ch--+e--+

2 数学期望 E(X) = n*p = 10*0.7 = 7 标准差  = np(1− p) = 100.7(1− 0.7) = 2.1 =1.45 6．如果你是一个投资咨询公司的雇员，你告诉你的客户，根据历史数据分析结果，企业 A 的平均投资回报比企业 B 的高，但是其标准差也比企业 B 的大。你应该如何回答客户 提出的如下问题： （1） 是否意味着企业 A 的投资回报肯定会比企业 B 的高？为什么？ （2） 是否意味着客户应该为企业 A 而不是企业 B 投资？为什么？ 答: (1) 平均投资回报反映的是长期的平均结果。就某一年或短期而言，并不能说 A 的投 资回报一定比 B 高。 （2）不一定。实际上，选择的结果依赖于不同决策者对待风险的态度。 7．某公司估计在一定时间内完成某项任务的概率如下： 天数 1 2 3 4 5 概率 0.05 0.20 0.35 0.30 0.10 （1）求该任务能在 3 天（包括 3 天）之内完成的概率； 答：3 天之内完成的概率为 0.05+0.20+0.35 = 0.60。 （2）求完成该任务的期望天数； 答：任务完成的期望天数 E = 1*.05 + 2*.20 + 3*.35 + 4*.30 + 5*.10 = 3.2 天。 （3）该任务的费用由两部分组成——20,000 元的固定费用加每天 2,000 元，求整个项 目费用的期望值；费用=20000+2000*完成任务天数 答：费用期望值 E（费用）= 20000 + 2000*3.2 = 26400 (元)。 （4）求完成天数的标准差。 解：方差 D(X) = E(X2 ) – (E(X))2 = 1 2*0.05+22*0.2+32*0.35+42*0.3+52*0.1 – 10.24 = 1.06 则 标准差σ=1.03 8．求 4 中随机变量 X 的期望和方差，以及 ( ) 2 E X 。 解: 期望 E(X) = 1*0.55 + 2*0.25 + 3*0.19 + 4*0.01 = 1.66 E(X2 ) = 1 2*0.55+22*0.25+32*0.19+42*0.01 = 0.55 + 1.0 + 1.71 + 0.16 = 3.42 方差 D(X) = E(X2 )- (E(X))2 = 3.42 – 1.662 = 0.6644 9．设随机变量 X 的概率密度函数为      = − 0, 0 , 0 ( ) x e x f x x 求（1） Y = 2X ，（2） X Y e −2 = 的数学期望。 解: (1) E(Y) = E(2X) = 2E(X) = 2  + − x f (x) dx = 2  + 0 x x e − dx = (– 2 x e − x – 2 x e − ) + 0 = 2 (2) E(Y) = E( x e −2 ) =  + − − x e 2 f (x) =  + − − 0 2 e e dx x x = –  + − 0 3 e dx x = – x e 3 3 1 − + 0 = 3 1 k k n k Cn P X k − ( = ) = 0.7 0.3

10.一工厂生产的某种设备的寿命X(以年计)服从指数分布,概率密度为 x>0 x)= 1)-200*P(X<1) =100-300(1-e-14)=300*0.778-200=3364(元) 1l.设X与Y为随机变量,E(X)=3,E(Y)=-2,D(X)=9,D(Y)=4.在下列情 况下,求E(3X-1)和D(3X-Y) (1)Con(X,Y)=1; (2)Cov(X,)=0; v(X,Y)=-1 答:三种情况下,E(3X-Y)的值都相同,且为 E(3X-Y)=3E(X)-E(Y)=1l 而D3X-Y)的值各不相同,分别为 (1)D(3X-Y)=9D(X)+D(Y)-2*3°Cov(X,Y)=81+4-6=79 (2)D(3XY)=9D(X)+D(Y)-2*3°Cov(X,Y)=81+4-0=85 (3)D(3XY)=9D(X)+D(Y)-2*3*Cov(X,Y)=81+4+6=91 1l.查表求:=05,=025,-095,二9。 1.645; 13.某零件的寿命服从均值为1200小时,标准差为50小时的正态分布。随机地抽取一只零 件,试求 (1)它的寿命不低于1300小时的概率; 3)它的寿命不低于多少小时的概率为9%P率; (2)它的寿命在1100小时和1300小时之间的概 解:据题意μ=1200σ=50故 P{X≥13002=1-P{X<1300}=1-d(1300=1-(139) o(2)=1-0.9772=0.0228

3 10．一工厂生产的某种设备的寿命 X （以年计）服从指数分布，概率密度为       = − 0, 0 , 0 4 1 ( ) 4 x e x f x x 工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换。若工厂售出一台设备赢利 100 元，调换一台设备厂方需花费 300 元，试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望。 解: 设备寿命小于一年的概率 P( X  1 ) =  − 1 f (x)dx =  − 1 0 4 4 1 e dx x = 1 － −1/ 4 e 又因为设备寿命小于一年时厂方的收益为 100 - 300 = -200 元 而设备寿命大于一年时厂方的收益为 100 元 故出售一台设备净赢利的数学期望 E = 100* P(X >1) －200* P(X < 1) = 100*(1 - P(X <1)) －200* P(X < 1) = 100 – 300*(1 – −1/ 4 e ) = 300*0.7788 – 200 = 33.64 (元) 11．设 X 与 Y 为随机变量， E(X ) = 3， E(Y) = −2， D(X ) = 9， D(Y) = 4 。在下列情 况下，求 E(3X −Y) 和 D(3X − Y)： （1） Cov(X,Y) = 1 ； （2） Cov(X,Y) = 0 ； （3） Cov(X,Y) = −1。 答：三种情况下，E(3X-Y)的值都相同，且为 E(3X-Y) = 3E(X)-E(Y) = 11。 而 D(3X-Y)的值各不相同，分别为： （1）D(3X-Y) = 9D(X) + D(Y) – 2*3*Cov(X,Y) = 81 + 4 – 6 = 79 （2）D(3X-Y) = 9D(X) + D(Y) – 2*3*Cov(X,Y) = 81 + 4 – 0 = 85 （3）D(3X-Y) = 9D(X) + D(Y) – 2*3*Cov(X,Y) = 81 + 4 + 6 = 91 11．查表求： 0.05 z ， 0.025 z ， 0.975 z ， 0.9 z 。 答: 0.05 z = 1.645; 0.025 z = 1.96; 0.975 z = – 1.96; 0.9 z = – 1.28 13．某零件的寿命服从均值为 1200 小时，标准差为 50 小时的正态分布。随机地抽取一只零 件，试求： （1）它的寿命不低于 1300 小时的概率； （2）它的寿命在 1100 小时和 1300 小时之间的概率； （3）它的寿命不低于多少小时的概率为 95%？ 解: 据题意 μ= 1200 σ= 50 故: (1)     1 (2) 1 0.9772 0.0228 1300 1 1300 1 (1300) 1 ( ) 0 50 1300 1200 0 = −  = − =  = −  = −  = −  − P X P X (2)

P1100≥X≤1300}=41300)-①100=(130)-Φ0(092) Φ(2)-Φ0(-2)=20(2)-1=0.9544 (3)设寿命不低于x小时的概率为95%则有 P{X≥x}=1-(x)=1-40(-10)=095 得Φ0(-=50)=0.05 x-1200=-1.645 x=111775(小时) 14.一工厂生产的电子管寿命(以小时计算)服从期望值为=160的正态分布,若要求: 120<X<200}≥080,允许标准差最大为多少? P120<X<2002080→P{X<200}-PX<120}≥080 00-160 →Φ(200)-Φ(120)≥0.80→Φ0( Φ 120-160 )≥0.80 →2①0()≥1.8→—≥128→σ≤31.25 所以允许标准差σ最大为31.25

4   (2) ( 2) 2 (2) 1 0.9544 1100 1300 (1300) (1100) ( ) ( ) 0 0 0 50 1100 1200 50 0 1300 1200 0 =  −  − =  − =   =  −  =  − −  − P X (3) 设寿命不低于 x 小时的概率为 95% 则有   1117.75( ) 1.645 ( ) 0.05 1 ( ) 1 ( ) 0.95 50 1200 50 1200 0 50 1200 0 小时 得 = = −  =  = −  = −  = − − − x P X x x x x x 14．一工厂生产的电子管寿命 X （以小时计算）服从期望值为 = 160 的正态分布，若要求： P120  X  200 0.80 ，允许标准差  最大为多少？ 解：     1.28 31.25 40 ) 1.8 40 2 ( ) 0.80 120 160 ) ( 200 160 (200) (120) 0.80 ( 120 200 0.80 200 { 120} 0.80 0 0 0         − −  −   −          −        P X P X P X 所以允许标准差  最大为 31.25