第十章系统抽样 众所周知,计算机在抽样过程中起着十分重要的作用。多 例如,前面提出利用讦算机产生随机数,当然我们知道它 生的是“伪”随机数。本章所讨论的系统抽样在抽样过程中 选择使用计算机将是十分方便的。 所谓系统抽样,就是将总体中N个单元按照随机方式( 有时也按某种特定的规则)编号为1,2,…,N,若想抽取 n个样本,不妨假设Nn=k为整数,利用计算机可以立即将 这N个单元排成n行k列的矩阵,再从1~k之间随机地产生 个随机数i,则取第i列的全体单元作为样本。这种方 法看起来似乎很“机械”,因此有时候也称为“机械抽样” 然而由于数值“i”是随机产生的,那么所得到的样本具 有一定的随机性
第十章 系统抽样 所谓系统抽样，就是将总体中N个单元按照随机方式（ 有时也按某种特定的规则）编号为1，2，…，N，若想抽取 n 个样本，不妨假设N/n=k为整数，利用计算机可以立即将 这N个单元排成n 行k 列的矩阵，再从1～k之间随机地产生 一个随机数i ，则取第 i 列的全体单元作为样本。这种方 法看起来似乎很“机械”，因此有时候也称为“机械抽样” 。然而由于数值“i ”是随机产生的，那么所得到的样本具 有一定的随机性。 众所周知，计算机在抽样过程中起着十分重要的作用。 例如，前面提出利用计算机产生随机数，当然我们知道它产 生的是“伪”随机数。本章所讨论的系统抽样在抽样过程中 选择使用计算机将是十分方便的
但在实际中,总体的N个单元的编号并非完全随机的, 常常带有一定的规律性,例如按照居住地区、工作性质等等 的编号,有时也常常利用一些个体原有的编号诸如学生 的学号等。此时,系统抽样的随机性就与最有代表性的简单 随机抽样存在一定的差距。 §1系统抛桿的痞干习性 考察N=nk这种最简单的情形,从总体中实施容量为n的 系统抽样相当于从k列中随机地任取一列,显然每一列被选中 圆的概率是一样的,从而总体中每个单元入样的概率均相等, 这是N=nk时系统抽样的基本习性
但在实际中，总体的N个单元的编号并非完全随机的， 常常带有一定的规律性，例如按照居住地区、工作性质等等 的编号，有时也常常利用一些个体原有的编号——诸如学生 的学号等。此时，系统抽样的随机性就与最有代表性的简单 随机抽样存在一定的差距。 考察N=nk这种最简单的情形，从总体中实施容量为n 的 系统抽样相当于从k 列中随机地任取一列，显然每一列被选中 的概率是一样的，从而总体中每个单元入样的概率均相等， 这是N=nk时系统抽样的基本习性。 §1 系统抽样的若干习性
当N≠m时,用上述计算机排列抽样的方法就不能保证 各单元入样的概率相同,因为有些列有n个单元,有些列不 足n个单元,当列不足n时,通常在后再接上Y1,2,依 原来顺序再排列下去,直到第n行填满单元为止,这样任取 的一列恰好保证有n个样本。但是,这样产生的后果是增大 了某些单元入样的概率。但当n足够大时(例如n≥50), 这时N/n不为整数所带来的问题并不大,因此,在以后需 要n比较大时,我们总是假设N是n的整数倍。 我们注意到一个有趣的事实:当用计算机将N个单元排 成k列n行时,实际上相当于将总体分为k层(或群),系 统抽样相当于从k个群中随机地抽出一个群进行整群抽样。 这是最简单的整群抽样!因此,在讨论系统抽样的参数估计 时,很多场合将引用整群抽样的一些现成结果
当 时，用上述计算机排列抽样的方法就不能保证 各单元入样的概率相同，因为有些列有n 个单元，有些列不 足 n 个单元，当列不足n 时，通常在 后再接上 ，依 原来顺序再排列下去，直到第n 行填满单元为止，这样任取 的一列恰好保证有 n 个样本。但是，这样产生的后果是增大 了某些单元入样的概率。但当n 足够大时（例如 ）， 这时 不为整数所带来的问题并不大，因此，在以后需 要 n 比较大时，我们总是假设N 是 n 的整数倍。 N nk YN 1 2 Y Y, , N n n 50 我们注意到一个有趣的事实：当用计算机将N 个单元排 成 k 列 n 行时，实际上相当于将总体分为k 层（或群），系 统抽样相当于从k 个群中随机地抽出一个群进行整群抽样。 这是最简单的整群抽样！因此，在讨论系统抽样的参数估计 时，很多场合将引用整群抽样的一些现成结果
系统抽样在实际工作中很受调研工作者的欢迎。首先在 于它的实施方便,同时还能保证样本一定程度的代表性。有 时候使用系统抽样不必重新编制抽样框,尤其是在被调查单 元具有自然顺序排列的时侯,例如流水线上生产的产品每隔 k个抽查一次,只要第一件受检查产品确定以后,余下的抽 查工作将有条不紊地进行。 比如,对上海地区的车辆进行某种特性的抽样检测就可 以对车辆牌照采用系统抽样,譬如车牌号码尾数为39的车辆 必须到检测所参加测试就是每100个单元中抽一个系统抽样 如果总体中单元原来的排列呈现一定的规律性甚至周期 性,依赖于这些排列的系统抽样会产生效果很差的可能。系 统抽样的另一个不足之处在于,在实际中被认为行之有效的 系统抽样一般不是严格的概率抽样,估算估计量的方差有较 大困难
系统抽样在实际工作中很受调研工作者的欢迎。首先在 于它的实施方便，同时还能保证样本一定程度的代表性。有 时候使用系统抽样不必重新编制抽样框，尤其是在被调查单 元具有自然顺序排列的时侯，例如流水线上生产的产品每隔 k 个抽查一次，只要第一件受检查产品确定以后，余下的抽 查工作将有条不紊地进行。 比如，对上海地区的车辆进行某种特性的抽样检测就可 以对车辆牌照采用系统抽样，譬如车牌号码尾数为39的车辆 必须到检测所参加测试就是每100 个单元中抽一个系统抽样 如果总体中单元原来的排列呈现一定的规律性甚至周期 性，依赖于这些排列的系统抽样会产生效果很差的可能。系 统抽样的另一个不足之处在于，在实际中被认为行之有效的 系统抽样一般不是严格的概率抽样，估算估计量的方差有较 大困难
§2估计量与方差 既然将总体单元排列成n×k的矩阵,因此总体中各单 元的下标也有所改动以便于讨论与表达,见下表: 12 k行平均 12 lk 2 21 Y2 2k F, 2 Y 2 nk 列平均2…卫 k
§2 估计量与方差 既然将总体单元排列成 的矩阵，因此总体中各单 元的下标也有所改动以便于讨论与表达，见下表： n k Y Y Y Y • • • • 1 2 i k Y1• Y2• Yn• 1 2 i k Y Y Y Y 11 12 1 1 i k Y Y Y Y 21 22 2 2 i k Y Y Y Y n n ni nk 1 2 1 2 n 行平均 列平均
设系统样本为上表中的第i列,“i”随机等概率确定的 那么总体平均数就用该列的平均数进行估计: 三∑F(10 j=1 这是只抽一个群的整群抽样估计,因此yy是Y的无偏估计 其方差为: 11 Var(w)=K Kit( ∑(.-) i=1 (10.2) 利用 (N-1)S2=∑∑(-1)=∑∑(n-.+Y,-1) i=l j i=1j=1 ∑∑(V-)2+n2-万
设系统样本为上表中的第i 列，“ i ”随机等概率确定的 那么总体平均数就用该列的平均数进行估计： 这是只抽一个群的整群抽样估计，因此 ysy 是 Y 的无偏估计 1 1 n sy i ji j y Y Y n • = = = (10.1) 其方差为： 2 2 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 k k sy i i i i k Var y Y Y Y Y k k k • • = = − = − = − − (10.2) 利用 2 2 2 1 1 1 1 ( 1) ( ) ( ) k n k n ji ji i i i j i j N S Y Y Y Y Y Y • • = = = = − = − = − + − 2 2 1 1 1 ( ) ( ) k n k ji i i i j i Y Y n Y Y • • = = = = − + −
可得vamr(y)= N-1 S nk ∑∑(Vn i=1j=1 N 2 wSy (0.3) N 其中S2= k(n-1) ∑∑(n-1.)2表示按列所分的层在 各层内的方差(之和)部分。 与容量为n的简单随机抽样的方差r(y)=-S2比较 Nn Var(sv)-var(y) (S2-S2y)(10.4) n (10.3)式告诉我们,系统内(或层内)方差越大,yy的方差 就越小;如果划分的层或系统内的差异趋于相当小,Var(y)
可得 2 2 1 1 1 1 ( ) ( ) k n sy ji i i j N Var y S Y Y nk nk • = = − = − − 其中 2 2 表示按列所分的层在 1 1 1 ( ) ( 1) k n wsy ji i i j S Y Y k n • = = = − − 各层内的方差（之和）部分。 与容量为 n 的简单随机抽样的方差 ( ) 2 比较 N n Var y S Nn − = 1 1 2 2 wsy N n S S N n − − − (10.3) 1 2 2 ( ) ( ) ( ) sy wsy n Var y Var y S S n − − = − (10.4) (10.3)式告诉我们，系统内（或层内）方差越大， 的方差 就越小；如果划分的层或系统内的差异趋于相当小， sy y ( ) Var ysy
N-1 则趋于极大值 S2,倘若各系统内无差异,则yy的 N 误差达到最大且与系统内各单元的个数n无关,这一点完全 符合直观。相反地,如果系统内的方差总大于总体的方差, 说明我们的系统抽样样本比简单随机样本更具有代表性(在 相同容量下),此时系统抽样的精度优于简单随机抽样的精 度。 在N=m时,我们已经指出系统抽样实际上是在群的大 小相等情形下的只抽一个群的整群抽样,因此完全可以利用 整群抽样估计量的方差表示式,而在那里我们用到了群内( 或层内、系统内)的相关系数P,所以可以用相关系数 来表示ar(y)
则趋于极大值 ，倘若各系统内无差异，则 的 N 1 2 S N − sy y 误差达到最大且与系统内各单元的个数n 无关，这一点完全 符合直观。相反地，如果系统内的方差总大于总体的方差， 说明我们的系统抽样样本比简单随机样本更具有代表性（在 相同容量下），此时系统抽样的精度优于简单随机抽样的精 度。 在 时，我们已经指出系统抽样实际上是在群的大 小相等情形下的只抽一个群的整群抽样，因此完全可以利用 整群抽样估计量的方差表示式，而在那里我们用到了群内（ 或层内、系统内）的相关系数 ，所以可以用相关系数 来表示 。 N nk = ( ) Var ysy
例10—1:构造一个虚拟总体(N=25),数据如下表,利用系 统抽样抽取n=5的样本估计总体平均数,现考虑按行以及 按列进行的系统抽样,比较其样本平均数与方差有何不同 列 行 12345行平均数行方差 18 16 21 19 54 2 23 17 22 1131 20.8 55.2 3 25 15 13 40 32 25 129.5 4 30 23 16 14 28 22.2 50.2 5 17263319 29 24.8 45.2 列平均数21198202.8282F=2236/内平均 方差66.82 列方差59520.7635144718.7列内平均s2=6124 方差61.42
例10—1：构造一个虚拟总体(N＝25)，数据如下表，利用系 统抽样抽取n＝5 的样本估计总体平均数，现考虑按行以及 按列进行的系统抽样，比较其样本平均数与方差有何不同。 行 列 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 10 18 16 30 21 23 17 22 11 31 25 15 13 40 32 30 23 16 14 28 17 26 33 19 29 21 19.8 20 22.8 28.2 59.5 20.7 63.5 144.7 18.7 19 20.8 25 22.2 24.8 54 55.2 129.5 50.2 45.2 行平均数 列平均数 行方差 列方差 行内平均 方差66.82 列内平均 方差61.42 Y = 22.36 2 S = 61.24
比较几种不同抽样的效果,均取n=5 (1)简单随机抽样 mr(y)=-S2=9.7984 n (2)以行为群的系统抽样 N-1 n Var(y=----s (行内平均方差) N 5.3344 (3)以列为群的系统抽样 Jr()=2s2-×(列内平均方差) N =9.6544
比较几种不同抽样的效果，均取n=5 （1）简单随机抽样 1 2 ( ) 9.7984 f Var y S n − = = （2）以行为群的系统抽样 1 1 1 2 ( ) ( ) 5.3344 sy N n Var y S N n − − = − = 行内平均方差 （3）以列为群的系统抽样 2 1 1 2 ( ) ( ) 9.6544 sy N n Var y S N n − − = − = 列内平均方差