《抽样调查理论与方法》课程教学资源（PPT课件讲稿）第四章 分层抽样 §3 样本总容量n的确定 §4 分层的若干技术问题

§3样本总容量n的确定 上一节讨论的分配原则主要是在n给定的条件下对各 层中的抽样容量的合理分配。本节面临的问题是在分层抽样 下如何确定n。显然它与调查所要求的精度、调查的统计 量、如何分层、各层的样本容量如何分配以及各层单位抽样 花费等等因素有关。 1、待估的总体参数为Y(总体平均数) 设此时各层的分配额为n,2…,,∑m=n,那么 h=1 W·S; a()=∑ W. S ∑ N

§3 样本总容量n 的确定 上一节讨论的分配原则主要是在 n 给定的条件下对各 层中的抽样容量的合理分配。本节面临的问题是在分层抽样 下如何确定 n 。显然它与调查所要求的精度、调查的统计 量、如何分层、各层的样本容量如何分配以及各层单位抽样 花费等等因素有关。 1、 待估的总体参数为 Y （总体平均数） 设此时各层的分配额为 1 2 ，那么 1 , , , , k k h h n n n n n =  = 2 2 2 1 1 ( ) k k h h h h st h h h W S W S Var y = = n N   = −  

若按调查的精度要求,Jn的最大方差为V,则有 ∑WS2/" h=1 -----(4.28) +∑W 2 h =1 若记On=n/mn(相当于样本中的层权),并取n的一次近似: W-S h=1 0 ∑"(429) =1 那么 n= 0 k (4.30) 2 N ∑Wn h =1

若按调查的精度要求， yst 的最大方差为V，则有 若记 h h = n n （相当于样本中的层权），并取 n 的一次近似： 2 2 1 2 1 1 h k n h h n h k h h h W S n V W S N = = = +   (4.28) 2 2 2 2 1 0 1 1 k h h k h h h h h h W S W S n V V   = = = =   (4.29) 那么 0 2 1 1 1 k h h h n n W S NV = = +  (4.30)

现考虑按比例分配的情况,此时On=n/n=N/N=Wn 于是 n=1∑当=∑HnS(3 Or 而 n 0 (4.32) 1+ ∑ WS21+ =1 N 由(432)式,一般地,当n0远远小于N时,自然取n=m 当然实际由(432式计算n时,公式中的S应换为C° k 假如换为Nema最优分配,则O=WS/∑HS 2 ∑ W h h =1 (433) 丿+ 2 N ∑W hh

现考虑按比例分配的情况，此时 h h h h  = = = n n N N W 2 2 2 0 1 1 1 1 k k h h h h h h h W S n W S V V = =  于是 = =   (4.31) 0 0 2 0 1 1 1 1 k h h h n n n n W S NV = N = = +  + 而 (4.32) 由(4.32)式，一般地，当 远远小于N时，自然取 。 当然实际由(4.32)式计算 n 时，公式中的 应换为 。 n0 n n = 0 2 Sh 2 h s 假如换为Neyman最优分配，则 1 k h h h h h h  W S W S = =  2 1 2 1 1 k h h h k h h h W s n V W s N = =       = +   (4.33)

假如考虑费用问题,仍按线性费用函数=c+∑mn,当 V给定时,可以计算得: h=1 k ∑Hs、Vn‖∑Wsn/√en =1 =1 (434) h h =1 如果总费用c给定,此时将(420式y3=玩n写成: h WS√n=cn(h=1,2,…,k)(435 =w、/ 将(435)式对所有的h求和得: ∑ (4.36 C-C

假如考虑费用问题，仍按线性费用函数 ，当 V给定时，可以计算得： 0 1 k h h h c c c n = = + 1 1 2 1 1 k k h h h h h h h h k h h h W s c W s c n V W s N = = =             = +    (4.34) 如果总费用c 给定，此时将(4.20)式 h h h 写成： h W S n c =  ( 1,2, , ) W S c c n h k h h h h h = =  (4.35) 将(4.35)式对所有的h 求和得： 1 1 1 0 k k k h h h h h h h h h h h W S c W S c c n c c  = = = = = −    (4.36)

C-C WS 于是n= hh (h=1,2,…,k)(4.37 ∑WSl 利用∑n=n,将(437)式对所有的h求和,并将S代Sn h=1 k ∑Wn h n=(c-c0) (4.38) ∑ "hh 例43对一个N相当大的总体进行某指标调查,关心的参数 是总体平均数,假设合理地可以分为两层,一些具体数据如 下表:

利用 ，将(4.37)式对所有的h 求和，并将 代 1 k h h n n =  = h s Sh 于是 0 1 ( 1,2, , ) h h h k h j j j j c c W S n h k c W S c = − =  =  (4.37) 1 0 1 ( ) k h h h h k h h h h W s c n c c W s c = = = −    (4.38) 例4.3 对一个N 相当大的总体进行某指标调查，关心的参数 是总体平均数，假设合理地可以分为两层，一些具体数据如 下表：

h W 2 0.3 100 9 0.7 625 为方便起见,设费用函数为C=cn1+c2n2。试求使得 mr()=1所需的最优分配n1n2 解 W,S,W,S,0.3×100.7×25 一2 5.4 √9 16 由(421)可得最优分配为 WS 0.3×10 5 n,=n WS, n WAS 22 0.3×100.7×2527 十 16

Wh 2 Sh h h c 1 2 0.3 0.7 100 625 9 16 为方便起见，设费用函数为 c c n c n = + 1 1 2 2 。试求使得 ( ) 1 Var yst = 所需的最优分配 n n 1 2 、 解： 1 1 2 2 1 2 0.3 10 0.7 25 5.4 9 16 W S W S c c   + = + = 由(4.21)可得最优分配为 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 0.3 10 9 5 0.3 10 0.7 25 27 9 16 W S c n n n n W S W S c c  =  =  =   + +

w2S 0.7×25 16 22 n2="WS1W22 2 =n n 0.3×100.7×2527 16*--+ 由(4.34)式,此时样本容量n为 ∑W h"h、h ∑Wnsn/√n =1 k + N ∑W =1 由于N相当大,此时∑W2/N可忽略不计,于是 nvh= h hVCh ∑Wsn/√cn =1

2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 0.7 25 16 22 0.3 10 0.7 25 27 9 16 W S c n n n n W S W S c c  =  =  =   + + 1 1 2 1 1 k k h h h h h h h h k h h h W s c W s c n V W s N = = =             = +    由(4.34)式，此时样本容量n 为： 由于N相当大，此时 可忽略不计，于是 2 1 k h h h W s N =  2 2 1 1 1 h h h h h h h h n W s c W s c V = =               

=(0.3×10×√+07×25×√16)×54=426.6≈427 22 得n1=×427=79 427=348 27 27 此时总费用约为:c=79×9+348×16=6279 2、待估的参数为总体总和Y 由于总体总和的分层估计可以写成x=N·x,样本容量 n的确定是十分容易的。 假设为j的允许的最大方差,由于am(n)=N2mr() 只需将v=砂N代入有关的一切公式,就可以得到相应的 结论,下面列出有关的结果。 对给定的各层分配额,nn=mOn有:

1 (0.3 10 9 0.7 25 16) 5.4 426.6 427 1 =    +    =  得 1 5 427 79 27 n =  = 2 22 427 348 27 n =  = 此时总费用约为： c =  +  = 79 9 348 16 6279 2、 待估的参数为总体总和 Y 由于总体总和的分层估计可以写成 ,样本容量 n 的确定是十分容易的。 st st y N y =  假设 为 的允许的最大方差，由于 只需将 代入有关 的一切公式，就可以得到相应的 结论，下面列出有关的结果。 v 2 ( ) ( ) Var y N Var y st st =  st y 2 v v N = st y 对给定的各层分配额， n n h h =  有：

∑Nsh/n n=h=1 (4.39) +∑N 方三1 N 2c2 若记n=∑ S hh ,则n= (440) 1+∑N 2 h-h 相应的 Neyman最优分配: p NS n=h=1 (4.41) p+∑NSh 2 若记n=∑N则n= 0 (4.42) 1+∑NSh =1

2 2 1 2 1 k h h h h k h h h N S n v N S  = = = +   (4.39) 若记 ，则 2 2 0 1 1 k h h h h N S n v =  =  0 2 1 1 1 k h h h n n N S v = = +  (4.40) 若记 ，则 2 0 1 1 k h h h n N S v =   =      (4.42) 0 2 1 1 1 k h h h n n N S v = = +  相应的Neyman最优分配： 2 1 2 1 k h h h k h h h N S n v N S = =       = +   (4.41)

若按比例分配: N∑N hh = h=1 (4.43) ----------+_1+N 4%+方一一一- h=1 N 若记m0= ∑NS,则n 0 (444) νh=1 1 入

若记 ，则 2 0 1 k h h h N n N S v = =  (4.44) 0 0 1 n n n N = + 若按比例分配： 2 1 2 1 k h h h k h h h N N S n v N S = = = +   (4.43)