习题四 1.令X1X2为具有均值,方差a2的总体X的一个样本,考虑以下的估计量 l 1)证明以上三个估计量都是的无偏估计量; 2)谁是最有效的估计量? 2.设X,x2…,xn为来自总体X~N1a3)的一个样本,H,x,…,Yn为来自总体 2,a2)的一个样本,且两个样本相互独立,证明 1)X-Y是1-42的无偏估计; (n1-1)S2+(n2-1)S2 是a2的无偏估计。 2 3.对快艇的6次试验中,得到下列最大速度(单位:米/秒): 27,38,30,37,35,31 求快艇的最大速度的数学期望与方差的无偏估计量,并计算对应于给定样本观测值的估 4.美国教师联合会每年都对教师的工资做调查,1991-1992年教师的平均工资为$34,213 假设上述结果是容量为400的一个样本的均值,并且1991-1992年教师工资的标准差为 $4800。试求教师平均工资的99%的单侧置信下限,并解释其含义。 5.某银行原来平均贷款数额为60,000元,近来贷款利息发生变化。为了解这种变化对平均 贷款数4的影响,从变化后的贷款中随机抽取144个样本,求得x=68.1,s=45.0(单 位:千元), (1)求平均贷款数的95%的置信区间; (2)不做任何计算,判断置信度为99%的置信区间的宽度比(1)中的大还是小?为 什么? 6.设某种清漆的9个样品,其干燥时间(以小时计)分别为: 6.05.75.86.5706.3566.15.0 设干燥时间总体服从正态分布N(o3)在下列条件下,求的置信度为095的置信 区间:1)若由以往经验知σ=0.6(小时),2)若σ为未知。 7.某啤酒公司制造的罐装啤酒容量服从标准差为0.2盎司的正态分布。 )若要抽取一个容量为25的样本,并且要求啤酒的平均容量的置信区间为(1198 12.12),求该置信区间的置信度。 2)若公司经理希望啤酒平均容量的99%的置信区间的总宽度不超过0.1,应抽取容量为 多大的样本? 8.某工厂最近向它的客户发出新形式的广告,据说该广告的有效率为01。为求其90%的 置信区间,应选多大容量的样本?设其置信区间的总宽度为0.04。若有效率为0.12,所 需样本容量又如何? 9.若想估计某个地区居民的平均家庭收入,已知该地区居民家庭收入的标准差为15000元, 现要求估计的误差不超过1000元,置信度为95%,应抽取多少个家庭做样本?若己知 该地区共有2000个家庭,则应抽取多少个家庭做样本?
习题四 1. 令 1 2 X , X 为具有均值 ，方差 2 的总体 X 的一个样本，考虑以下 的估计量 1 2 2 1 2 1 X = X + X ， 1 1 2 4 3 4 1 ˆ = X + X ， 2 1 2 3 2 3 1 ˆ = X + X 。 1） 证明以上三个估计量都是 的无偏估计量； 2）谁是最有效的估计量？ 2．设 1 , , , X1 X 2 X n 为来自总体 ( ) 2 1 X ~ N , 的一个样本， 2 , , , Y1 Y2 Yn 为来自总体 ( ) 2 2 Y ~ N , 的一个样本，且两个样本相互独立，证明 1) X −Y 是 1− 2 的无偏估计； 2) ( ) ( ) 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 + − − + − n n n S n S 是 2 的无偏估计。 3． 对快艇的 6 次试验中，得到下列最大速度（单位：米/秒）： 27，38，30，37，35，31． 求快艇的最大速度的数学期望与方差的无偏估计量，并计算对应于给定样本观测值的估 计值。 4． 美国教师联合会每年都对教师的工资做调查，1991-1992 年教师的平均工资为$34,213。 假设上述结果是容量为 400 的一个样本的均值，并且 1991-1992 年教师工资的标准差为 $4800。试求教师平均工资的 99%的单侧置信下限，并解释其含义。 5． 某银行原来平均贷款数额为 60,000 元，近来贷款利息发生变化。为了解这种变化对平均 贷款数 的影响，从变化后的贷款中随机抽取 144 个样本，求得 x = 68.1，s = 45.0 （单 位：千元）， （1）求平均贷款数 的 95%的置信区间； （2）不做任何计算，判断置信度为 99%的置信区间的宽度比（1）中的大还是小？为 什么？ 6． 设某种清漆的 9 个样品，其干燥时间（以小时计）分别为： 6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0 设干燥时间总体服从正态分布 ( ) 2 N , 。在下列条件下，求 的置信度为 0.95 的置信 区间：1）若由以往经验知 = 0.6 （小时），2）若 为未知。 7． 某啤酒公司制造的罐装啤酒容量服从标准差为 0.2 盎司的正态分布。 1）若要抽取一个容量为 25 的样本，并且要求啤酒的平均容量的置信区间为（11.98, 12.12），求该置信区间的置信度。 2）若公司经理希望啤酒平均容量的 99%的置信区间的总宽度不超过 0.1，应抽取容量为 多大的样本？ 8． 某工厂最近向它的客户发出新形式的广告，据说该广告的有效率为 0.1。为求其 90%的 置信区间，应选多大容量的样本？设其置信区间的总宽度为 0.04。若有效率为 0.12，所 需样本容量又如何？ 9．若想估计某个地区居民的平均家庭收入，已知该地区居民家庭收入的标准差为 15000 元， 现要求估计的误差不超过 1000 元，置信度为 95%，应抽取多少个家庭做样本？若已知 该地区共有 2000 个家庭，则应抽取多少个家庭做样本？