管理数学习题二 1.用随机变量来描述掷一枚骰子的试验结果,并写出它的分布律。 解:设随机变量X为掷一枚骰子出现的结果,则Ⅹ=n(n=1,2,,16),即X仅取1~6六个自然数 值,P(X=n)=1/6,即出现六种情况的概率均为1/6。分布律为 2 3 6 /6 1/6 2.某试验成功的概率为P,X代表第二次成功之前试验失败的次数,写出X的分布律 答:分布律为 p2(l-p)p2(1-p) p(1-p)n 3.下表能否为某个随机变量的分布律?为什么? 0.15 0.45 0.6 答:不能表示为某个随机变量的分布律。因为三个概率之和大于1。 4.产品有一、二、三等品和废品四种 三等品率和废品率分别为55%25%19% 1%,任取一件产品检验其质量等级,用随机变量X表示检验结果,并写出其分布律和 分布函数。 解:设随机变量X取1,2,3,4四个值分别表示出现一、二、三等品和废品四种情况,则 分布律为 X P 0.25 0.19 分布函数为 0,x<1 0.55,1≤x<2 F(x)=10.8.2≤x<3 0.99.3≤x<4 1.4 x<2表示出现二等品以上(不含二等品)产品,x<3表示出现三等品以上(不含三等 品)产品,x<4表示出现次品以上(不含次品)产品。 5.设某种试验成功的概率为07,现独立地进行10次这样的试验。问是否可以用一个服从 二项分布的随机变量来描述这10次试验中成功的次数?如何描述?请写出它的分布以 及分布的数学期望和标准差。 答:可以描述。即设随机变量X为试验成功的次数, 则P(X=n)=C10P(1-p)n=Cm×0.7”×0.3=0.30c10(3)”(n=1,2,,10) E(X)=Np=10×0.7=7 D(X)=Np(1p)=10×0.7×0.3=2.1 6.如果你是一个投资咨询公司的雇员,你告诉你的客户,根据历史数据分析结果,企业A 的平均投资回报比企业B的高,但是其标准差也比企业B的大。你应该如何回答客户 提出的如下问题 (1)是否意味着企业A的投资回报肯定会比企业B的高?为什么? (2)是否意味着客户应该为企业A而不是企业B投资?为什么? 答:(1)从长期投资来讲企业A肯定比企业B的投资回报高。因为企业A的平均投资回报 比B的平均投资回报大。但短期投资需要比较两者的变化情况和变化及平均值的综合比较
1 管理数学习题二 1．用随机变量来描述掷一枚骰子的试验结果，并写出它的分布律。 解：设随机变量 X 为掷一枚骰子出现的结果，则 X=n (n=1,2,…,6),即 X 仅取 1~6 六个自然数 值，P(X=n)=1/6，即出现六种情况的概率均为 1/6。分布律为 X 1 2 3 4 5 6 p 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 2．某试验成功的概率为 p ，X 代表第二次成功之前试验失败的次数，写出 X 的分布律。 答：分布律为 X 0 1 2 … n P p 2 p 2 (1-p) p 2 (1-p)2 … p 2 (1-p)n 3．下表能否为某个随机变量的分布律？为什么？ X 1 2 3 p 0.15 0.45 0.6 答：不能表示为某个随机变量的分布律。因为三个概率之和大于 1。 4．产品有一、二、三等品和废品四种，一、二、三等品率和废品率分别为 55%、25%、19%、 1%，任取一件产品检验其质量等级，用随机变量 X 表示检验结果，并写出其分布律和 分布函数。 解：设随机变量 X 取 1，2，3，4 四个值分别表示出现一、二、三等品和废品四种情况，则 分布律为 X 1 2 3 4 p 0.55 0.25 0.19 0.01 分布函数为 = x x x x x F x 1, 4 0.99, 3 4 0.8, 2 3 0.55, 1 2 0, 1 ( ) x<2 表示出现二等品以上（不含二等品）产品，x<3 表示出现三等品以上（不含三等 品）产品，x<4 表示出现次品以上（不含次品）产品。 5．设某种试验成功的概率为 0.7，现独立地进行 10 次这样的试验。问是否可以用一个服从 二项分布的随机变量来描述这 10 次试验中成功的次数？如何描述？请写出它的分布以 及分布的数学期望和标准差。 答：可以描述。即设随机变量 X 为试验成功的次数， 则 n n n n n n n n P(X n) C p (1 p) C 0.7 0.3 0.3 C ( ) 3 7 10 10 10 10 10 = = 10 − = = − − (n=1,2,…,10) E(X)=Np=10 0.7=7 D(X)=Np(1-p)=10 0.7 0.3=2.1 6．如果你是一个投资咨询公司的雇员，你告诉你的客户，根据历史数据分析结果，企业 A 的平均投资回报比企业 B 的高，但是其标准差也比企业 B 的大。你应该如何回答客户 提出的如下问题： （1） 是否意味着企业 A 的投资回报肯定会比企业 B 的高？为什么？ （2） 是否意味着客户应该为企业 A 而不是企业 B 投资？为什么？ 答：（1）从长期投资来讲企业 A 肯定比企业 B 的投资回报高。因为企业 A 的平均投资回报 比 B 的平均投资回报大。但短期投资需要比较两者的变化情况和变化及平均值的综合比较
(2)不一定。如果企业A的平均投资回报与标准差的差大于企业B的平均投资回报与 标准差的差,那么可投资企业A。如果两企业的平均投资回报比较接近,那么需要比较两者 之间的变异系数,选择变异系数较小的企业投资。 7.某公司估计在一定时间内完成某项任务的概率如下: 天数 概率0.05 0.20 0.35 0.10 (1)求该任务能在3天(包括3天)之内完成的概率; (2)求完成该任务的期望天数; (3)该任务的费用由两部分组成—20,000元的固定费用加每天2000元,求整个项 目费用的期望值 (4)求完成天数的标准差 答:(1)P(天数≤3)=0.05+0.20+0.35=06 (2)E(天数)=1×0.05+2×0.20+3×0.35+4×0.30+5×0.10=32 (3)费用=20000+3,2×2000=26400元 (4)D(天数)=E(X2)(E(X)2=12×0.05+22×0.2+32×0.35+42×03+52×0.1-322=1.06 标准差=1029563 8.求4中随机变量X的期望和方差,以及E(X2)。 E(X)=1×0.55+2×0.25+3×0.19+4×0.01=166 E(X2)=12×0.55+22×0.25+32×0.19+42×0.01=342 D(X)=E(X2)-(E(X)2=3.42-1.662=06644 9.设随机变量X的概率密度函数为 f(x)= 0.x≤0 求(1)Y=2X,(2)Y=e-2x的数学期望 (1)E(Y)E(2X)-2E(X)2x f(x)dx=2-("la (2)ENE(e2)-jef(x)=e'=je=(e")= 10.一工厂生产的某种设备的寿命X(以年计)服从指数分布,概率密度为 f(x)=14 ,x>0 0.x<0 工厂规定,出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换。若工厂售出一台设备赢利 100元,调换一台设备厂方需花费300元,试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望。 解:根据题意,设随机变量ⅹ赢利时取值100,亏损时取值-200,则赢利的数学期望为 E(X100J(x)x2000(x)dx=1J/(x)dr201-J(x)dr) 300(x)203010360元 1l.设X与Y为随机变量,E(X)=3,E()=-2,D(Y)=9,D(Y)=4。在下列情
2 （2）不一定。如果企业 A 的平均投资回报与标准差的差大于企业 B 的平均投资回报与 标准差的差，那么可投资企业 A。如果两企业的平均投资回报比较接近，那么需要比较两者 之间的变异系数，选择变异系数较小的企业投资。 7．某公司估计在一定时间内完成某项任务的概率如下： 天数 1 2 3 4 5 概率 0.05 0.20 0.35 0.30 0.10 （1）求该任务能在 3 天（包括 3 天）之内完成的概率； （2）求完成该任务的期望天数； （3）该任务的费用由两部分组成——20,000 元的固定费用加每天 2,000 元，求整个项 目费用的期望值； （4）求完成天数的标准差。 答：（1）P(天数 3)=0.05+0.20+0.35=0.6 （2）E(天数)=1 0.05+2 0.20+3 0.35+4 0.30+5 0.10=3.2 （3）费用=20000+3.2 2000=26400 元 （4）D(天数)=E(X2 )-(E(X))2=12 0.05+22 0.2+32 0.35+42 0.3+52 0.1-3.22=1.06 标准差=1.029563 8．求 4 中随机变量 X 的期望和方差，以及 ( ) 2 E X 。 解： E(X)=1 0.55+2 0.25+3 0.19+4 0.01=1.66 E(X2 )= 12 0.55+22 0.25+32 0.19+42 0.01=3.42 D(X)= E(X2 )-(E(X))2=3.42-1.662=0.6644 9．设随机变量 X 的概率密度函数为 = − 0, 0 , 0 ( ) x e x f x x 求（1） Y = 2X ，（2） X Y e −2 = 的数学期望。 解： （1） E(Y)=E(2X)=2E(X)=2 + − x f (x) dx=2 + 0 x x e − dx=2(- x e − -x x e − ) + 0 =2 （2） E(Y)=E( x e −2 )= + − − x e 2 f (x) = + − − 0 2 e e dx x x =- + − 0 3 e dx x =- 3 3 1 ( ) x e − + 0 = 3 1 10．一工厂生产的某种设备的寿命 X （以年计）服从指数分布，概率密度为 = − 0, 0 , 0 4 1 ( ) 4 x e x f x x 工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换。若工厂售出一台设备赢利 100 元，调换一台设备厂方需花费 300 元，试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望。 解：根据题意，设随机变量 X 赢利时取值 100，亏损时取值-200，则赢利的数学期望为 E(X)=100 + 1 f (x)dx -200 − 1 f (x)dx =100 + 1 f (x)dx -200(1- + 1 f (x)dx ) =300 + 1 f (x)dx -200=300 −1/ 4 e -200=33.6 (元) 11．设 X 与 Y 为随机变量， E(X ) = 3， E(Y) = −2， D(X ) = 9， D(Y) = 4 。在下列情
况下,求E(X-)和D(3X-Y): (1)Con(X,Y)=1; (2)Cov(X,Y)=0 (3)Cov(X,)= E(3X-Y)=E(3X)E(Y)=3E(X)-E(Y)=9+2=11与协方差无关。 79,Cov(X,)=1 D(3X-Y=9D(X)-6Cov(X, Y)+D(Y-81-6Cov(X, Y)+4= 85, Cov(X, y)=0 91, Cov(X, Y) 12.查表求:2065,205,20975-09° 查表,1-0.05=0.95Φ0(645)=0.95-05=1.645 二0975=1.96 13.某零件的寿命服从均值为1200小时,标准差为50小时的正态分布。随机地抽取一只零 件,试求: (1)它的寿命不低于1300小时的概率 (2)它的寿命在1100小时和1300小时之间的概率; (3)它的寿命不低于多少小时的概率为95%? (1)F(X≥1300=1-1300)=1-①0(0s20)=1-0(2)=002275 (2)F(1100<X<1300)=d(1300)-d100)=Φ0(2)-Φ0(-2)=2Φ0(2)-1=0.9545 (3)==0.95查表得Φ0(1645)=0.95-1.645=x0=-x=118 寿命不低于1118小时的概率为95% 14.一工厂生产的电子管寿命X(以小时计算)服从期望值为=160的正态分布,若要求: P120<X<200}≥0.80,允许标准差a最大为多少? 解: P{120<X<200}=P(X<200)-P(X<120)=0(c0)-Φ0() =Φ(#)一Φ0()=2Φ0(#)-1=080 Φ(#)=0.90=1.28a=3125即允许的标准差最大为3125
3 况下，求 E(3X −Y) 和 D(3X − Y) ： （1） Cov(X,Y) = 1 ； （2） Cov(X,Y) = 0 ； （3） Cov(X,Y) = −1。 解： E(3X-Y)=E(3X)-E(Y)=3E(X)-E(Y)=9+2=11 与协方差无关。 D(3X-Y)=9D(X)-6Cov(X,Y)+D(Y)=81-6Cov(X,Y)+4= = − = = 91, ( , ) 1 85, ( , ) 0 79, ( , ) 1 Cov X Y Cov X Y Cov X Y 12．查表求： 0.05 z ， 0.025 z ， 0.975 z ， 0.9 z 。 答： 查表，1-0.05=0.95 0 (1.645) = 0.95 0.05 z =1.645 0.025 z =1.96 0.975 z =-1.96 0.9 z =-1.285 13．某零件的寿命服从均值为 1200 小时，标准差为 50 小时的正态分布。随机地抽取一只零 件，试求： （1）它的寿命不低于 1300 小时的概率； （2）它的寿命在 1100 小时和 1300 小时之间的概率； （3）它的寿命不低于多少小时的概率为 95%？ 解： （1） ( 1300) 1 (1300) 1 ( ) 1 0 (2) 0.02275 50 1300 1200 = − = − 0 = − = − F X （2） F(1100 X 1300) = (1300) − (1100) = 0 (2) − 0 (−2) = 20 (2) −1 = 0.9545 （3） 0.95 0 z x = 查表得 0 (1.645) = 0.95 50 1200 645 0 1. − − = = x x x=1118 即寿命不低于 1118 小时的概率为 95%。 14．一工厂生产的电子管寿命 X （以小时计算）服从期望值为 = 160 的正态分布，若要求： P120 X 200 0.80 ，允许标准差 最大为多少？ 解： ( ) ( ) 2 ( ) 1 0.80 {120 200} ( 200) ( 120) ( ) ( ) 40 0 40 0 40 0 120 160 0 200 160 0 = − = − = = − = − − − − P X P X P X ( ) 0.90 40 0 = 1.28 40 = = 31.25 即允许的标准差最大为 31.25
