管理数学作业(习题四) 1.令X1,X2为具有均值,方差a2的总体X的一个样本,考虑以下的估计量 x1+=X2,A1=X1+X2,p2=÷X1 2一3 X 1)证明以上三个估计量都是的无偏估计量 2)谁是最有效的估计量? E()=B(号X+x2)=5E(x)+E(X2= E()=E(4x1+4x2)=4E(x1)+4E(x2)=4H+4H=H E(2)=E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)=4+= 所以,上述三个估计量都是的无偏估计量 )D(x)=D(2x+x)=4D(x)+D(x2】=4(+)=号u DO)=E(2x1+3x2)=1D(x)+9D(x2)=1+。H=5 4 D(2)=E(X1+3X2)=D(x1)+D(X2)=H+H=5 D(X)最小,所以,X是最有效的估计量 2.设X,x2…,Xn为来自总体x~N(12)的一个样本,H1,y2…n为来自总体 y~M(a2o2)一个样本,且两个样本相互独立,证明 1)X-y是1-H2的无偏估计 (n1-1)S2+(n2-1)S 2是2的无偏估计 n1+n2 1)因为E(X)=E(X)=1,E(Y)=E(Y)=2 所以E(X-)=E(X)-E(Y)=41-2,即X-F是41-2的无偏估计 2) (X-x)2+∑(x-Y) E n1+n2 +n、-2 E(X)-n,E(X )+n,E(r )-n,E(Y n1+n2 1(A42+a2)-n1(12+%)+n2( )-n2(/2 n1+n2-2 n 0 n,O n1+n2
管理数学作业（习题四） 1. 令 1 2 X , X 为具有均值 ，方差 2 的总体 X 的一个样本，考虑以下 的估计量 1 2 2 1 2 1 X = X + X ， 1 1 2 4 3 4 1 ˆ = X + X ， 2 1 2 3 2 3 1 ˆ = X + X 。 1） 证明以上三个估计量都是 的无偏估计量； 2）谁是最有效的估计量？ 解： 1） = + = + = ( + ) = 2 1 ( ) ( ) 2 1 ) 2 1 2 1 ( ) ( E X E X1 X2 E X1 E X 2 = + = + = + = 4 3 4 1 ( ) 4 3 ( ) 4 1 ) 4 3 4 1 ( ˆ ) ( E 1 E X1 X2 E X1 E X2 = + = + = + = 3 2 3 1 ( ) 3 2 ( ) 3 1 ) 3 2 3 1 ( ˆ ) ( E 2 E X1 X2 E X1 E X 2 所以，上述三个估计量都是 的无偏估计量。 2） 2 1 ( ) 4 1 ( ) ( ) 4 1 ) 2 1 2 1 ( ) ( D X = D X1 + X2 = D X1 + D X2 = + = 8 5 16 9 16 1 ( ) 16 9 ( ) 16 1 ) 4 3 4 1 ( ˆ ) ( D 1 = E X1 + X2 = D X1 + D X2 = + = 9 5 9 4 9 1 ( ) 9 4 ( ) 9 1 ) 3 2 3 1 ( ˆ ) ( D 2 = E X1 + X2 = D X1 + D X2 = + = D(X ) 最小，所以， X 是最有效的估计量。 2．设 1 , , , X1 X 2 X n 为来自总体 ( ) 2 1 X ~ N , 的一个样本， 2 , , , Y1 Y2 Yn 为来自总体 ( ) 2 2 Y ~ N , 的一个样本，且两个样本相互独立，证明 1) X −Y 是 1− 2 的无偏估计； 2) ( ) ( ) 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 + − − + − n n n S n S 是 2 的无偏估计。 解： 1）因为 1 E(X ) = E(X ) = ， 2 E(Y) = E(Y) = 所以 1 2 E(X −Y ) = E(X) − E(Y ) = − ，即 X −Y 是 1− 2 的无偏估计。 2） ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 ( ) ( ) 2 1 1 1 2 − + − = + − + − + + + − + + − = − + − + − = + − − + − = + − − + − = = = n n n n n n n n n n n n n E X n E X n E Y n E Y n n n n X X Y Y E n n n S n S E n i i n i i
即n-1+(2-1S是a2的无偏估计。证毕 n1+n2 3.对快艇的6次试验中,得到下列最大速度(单位:米/秒) 27,38,30,37,35,31 求快艇的最大速度的数学期望与方差的无偏估计量,并计算对应于给定样本观测值的估 计值。 解:设快艇的最大速度为随机变量X,其服从数学期望为、方差为G2的分布 则其无偏估计量分别为X(E(X)=)、S2(E(S2)=a2 具体估计值为X=33S2=188 4.美国教师联合会每年都对教师的工资做调查,1991-1992年教师的平均工资为$34,213 假设上述结果是容量为400的一个样本的均值,并且1991-1992年教师工资的标准差为 $4800。试求教师平均工资的99%的单侧置信下限,并解释其含义。 解:X=34213,0=4800,n=400>30为大样本 单侧置信下限为 X-ia n =34213--4800=34213-233×240=33654 即有99%的可能1991-1992年教师的平均工资高于33654美元。 5.某银行原来平均贷款数额为60,000元,近来贷款利息发生变化。为了解这种变化对平均 贷款数的影响,从变化后的贷款中随机抽取144个样本,求得x=68.1,s=450(单 千元) (1)求平均贷款数的95%的置信区间; (2)不做任何计算,判断置信度为99%的置信区间的宽度比(1)中的大还是小?为 什么 解:(1)设贷款数额为正态总体,x=68.1,s=450,n=144,1-a=095 平均贷款数的95%的置信区间为 x21=1681a0121→681+96×375=16057545 (2)宽度比(1)大。因为99%覆盖的范围比95%覆盖的范围广。 6.设某种清漆的9个样品,其干燥时间(以小时计)分别为 6.05.75.86.57.06.3566.15.0 设干燥时间总体服从正态分布M(o2)在下列条件下,求的置信度为095的置信 区间:1)若由以往经验知σ=0.6(小时),2)若σ为未知 解:1)正态总体,σ=0.6,n=9,将数据输入计算器得x=6 的置信度为095的置信区间为 x±=0a3]→[6±196×9]=56086392 2)正态总体,n=9,将数据输入计算器得x=6,s=0.5745 的置信度为095的置信区间为 [x±10s(m-1)]→|6±o02(8)95745 3]→[6±2.306×0.1915]→[5.55864421 7.某啤酒公司制造的罐装啤酒容量服从标准差为0.2盎司的正态分布。 )若要抽取一个容量为25的样本,并且要求啤酒的平均容量的置信区间为(1198
即 ( ) ( ) 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 + − − + − n n n S n S 是 2 的无偏估计。 证毕。 3． 对快艇的 6 次试验中，得到下列最大速度（单位：米/秒）： 27，38，30，37，35，31． 求快艇的最大速度的数学期望与方差的无偏估计量，并计算对应于给定样本观测值的估 计值。 解：设快艇的最大速度为随机变量 X ，其服从数学期望为 、方差为 2 的分布 则其无偏估计量分别为 X （ E(X ) = ）、 2 S （ 2 2 E(S ) = ） 具体估计值为 33, 18.8 2 X = S = 4． 美国教师联合会每年都对教师的工资做调查，1991-1992 年教师的平均工资为$34,213。 假设上述结果是容量为 400 的一个样本的均值，并且 1991-1992 年教师工资的标准差为 $4800。试求教师平均工资的 99%的单侧置信下限，并解释其含义。 解： X = 34213, = 4800,n = 400 30 为大样本 单侧置信下限为 34213 2.33 240 33654 400 4800 − = 34213 − z0.0 1 = − = n X z 即有 99%的可能 1991-1992 年教师的平均工资高于 33654 美元。 5． 某银行原来平均贷款数额为 60,000 元，近来贷款利息发生变化。为了解这种变化对平均 贷款数 的影响，从变化后的贷款中随机抽取 144 个样本，求得 x = 68.1，s = 45.0 （单 位：千元）， （1）求平均贷款数 的 95%的置信区间； （2）不做任何计算，判断置信度为 99%的置信区间的宽度比（1）中的大还是小？为 什么？ 解：（1）设贷款数额为正态总体， x = 68.1， s = 45.0 ，n =144，1− = 0.95 平均贷款数 的 95%的置信区间为 ] [68.1 1.96 3.75] [60.75,75.45] 12 45 [ ] [68.1 0.025 2 z n s x z （2）宽度比（1）大。因为 99%覆盖的范围比 95%覆盖的范围广。 6． 设某种清漆的 9 个样品，其干燥时间（以小时计）分别为： 6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0 设干燥时间总体服从正态分布 ( ) 2 N , 。在下列条件下，求 的置信度为 0.95 的置信 区间：1）若由以往经验知 = 0.6 （小时），2）若 为未知。 解：1）正态总体， = 0.6 ， n = 9 ，将数据输入计算器得 x = 6 的置信度为 0.95 的置信区间为 ] [5.608,6.392] 3 0.6 [ 0.025 ] [6 1.96 n x z 2）正态总体， n = 9 ，将数据输入计算器得 x = 6,s = 0.5745 的置信度为 0.95 的置信区间为 ] [6 2.306 0.1915] [5.558,6.442] 3 0.5745 [ ( 1) ] [6 (8) 0.025 − t 0.025 n s x t n 7． 某啤酒公司制造的罐装啤酒容量服从标准差为 0.2 盎司的正态分布。 1）若要抽取一个容量为 25 的样本，并且要求啤酒的平均容量的置信区间为（11.98
12.12),求该置信区间的置信度。 2)若公司经理希望啤酒平均容量的99%的置信区间的总宽度不超过01,应抽取容量为 多大的样本? 解:正态总体,σ=0.2,n=25,x=1205 119812121=020500m=15=07 =1.75=004=1.75a=0.081-a=0.92该置信区间的置信度为92% 2)1-a=092y=0.05n=05=(0×0.22=10.32≈107 0.05 8.某工厂最近向它的客户发出新形式的广告,据说该广告的有效率为01。为求其90%的 置信区间,应选多大容量的样本?设其置信区间的总宽度为0.04。若有效率为0.12,所 需样本容量又如何? 解:0-1总体,X=0.1,1-a=0.9,a=0.1则 04=:y1x0-2n=50×02×0109=6125≤613 当有效率为012时 n=502×二005×0.12×0.88=718.5≈719 9.若想估计某个地区居民的平均家庭收入,已知该地区居民家庭收入的标准差为15000元, 现要求估计的误差不超过1000元,置信度为95%,应抽取多少个家庭做样本?若已知 该地区共有2000个家庭,则应抽取多少个家庭做样本? 解:正态总体,σ=150001-a=0.95则 1000==号、n 15000 1000 )2=(15×1.96)2=86436≈865 即抽取865个家庭做样本 若总体N=2000,则 1001101001919 86436×<000-n 1999(1999+86436)m=86436×2000→n=603.7≈604 即若已知该地区共有2000个家庭,则应抽取604个家庭做样本
12.12），求该置信区间的置信度。 2）若公司经理希望啤酒平均容量的 99%的置信区间的总宽度不超过 0.1，应抽取容量为 多大的样本？ 解：正态总体， = 0.2 ， n = 25， x =12.05 1） [11.98,12.12] [12.05 0.07] 0.07 5 0.2 2 2 = = z n z 1.75 2 z = z0.04 = 1.75 = 0.08 1− = 0.92 该置信区间的置信度为 92%。 2） 1− = 0.99 0.05 2 = n z ) 10.32 107 0.05 0.2 ) ( 0.05 ( 2 2 0.005 2 2 = = = z z n 8． 某工厂最近向它的客户发出新形式的广告，据说该广告的有效率为 0.1。为求其 90%的 置信区间，应选多大容量的样本？设其置信区间的总宽度为 0.04。若有效率为 0.12，所 需样本容量又如何？ 解：0-1 总体， x = 0.1，1− = 0.9, = 0.1 则 n X X z (1 ) 2 0.04 2 − = 50 0.1 0.9 612.5 613 2 0.05 2 n = z = 当有效率为 0.12 时， 50 0.12 0.88 718.5 719 2 0.05 2 n = z = 9．若想估计某个地区居民的平均家庭收入，已知该地区居民家庭收入的标准差为 15000 元， 现要求估计的误差不超过 1000 元，置信度为 95%，应抽取多少个家庭做样本？若已知 该地区共有 2000 个家庭，则应抽取多少个家庭做样本？ 解：正态总体， =15000 1− = 0.95 则 n z 2 1000 = ) (15 1.96) 864.36 865 1000 15000 ( 0.025 2 2 = = = z n 即抽取 865 个家庭做样本。 若总体 N = 2000 ，则 (1999 864.36) 864.36 2000 603.7 604 1999 2000 1 864.36 1999 2000 1000 1.96 15000 1 1000 2 + = = − = − = − − = n n n n n n N N n n z 即若已知该地区共有 2000 个家庭，则应抽取 604 个家庭做样本