第三章导数与微分 k(xo)=lim f()-J02= lim y(ro) x→x0 (3)曲线L:y=f(x)在点M(x0,y0)的切线 斜率等于k(x0),切线T的方程称为 y=f(x0)+k(x0(x-x0) 导数的定义 定义:假设函数y=∫(x)在点x某邻域有定义,如果极限 lim /(o+Ax)-/(xo)= lim Af(xo) △x 存在,则称其值为函数∫在点x0的导数,并说∫在x0可导 f在点x的导数记作f(x)可(x)或y(x、 函数∫在点x0的导数,就是在点x函数关于自变量的变化率 运动质点在时刻to的瞬时速度是距离x()对时间t的导数 曲线y=f(x)在点x切线斜率是函数∫对x的导数 例:细杆的线密度。设有长度为a的质量不均匀细杆杆所在的直 线为x轴,m(x)表示细杆在区间[0,x]中的质量 xo,x+△x]是细杆在一段的平均质量密度是 mn(x+△x)-m(x0) 它的极限,即质量函数m(x)关于x在点x0的导数 m(xo)=lim m(x0+△x)-m(x0) Ax->0 就是细杆在x0的线密度 在导数定义中,△x称为自变量的增量;△x可正可负,但 是不能取零; 4(x0)=∫(x0+Ax)-f(x0)称为函数的增量 f(x0+△x)=f(x0)+4(x0) 当Δx限制的负正时,有所谓左、右导数之称,即 f(xo+Ax)-f(xo) 若 存在,则称其为∫在x0的左导数 若mf(x+△x)-f(x) 存在,则称其为f在x0的右导数; ∫在点x的左、右导数分别记作∫"(x)和f+(x) 第三章导数与微分第三章 导数与微分 第三章 导数与微分 ( ) 0 k x = 0 0 ( ) ( ) lim 0 x x f x f x x x − − → = x f x x    → ( ) lim 0 0 ; (3) 曲线 L : y = f (x) 在点 ( , ) 0 0 M x y 的切线: 斜率等于 ( ) 0 k x , 切线 T 的方程称为: ( ) ( )( ) 0 0 0 y = f x + k x x − x 二 导数的定义 定义: 假设函数 y = f (x) 在点 x0 某邻域有定义, 如果极限 x f x x f x x ( ) ( ) lim 0 0 0  +  −  → = x f x x ( ) lim 0 0    → 存在,则称其值为函数 f 在点 x0 的导数, 并说 f 在 x0 可导； f 在点 x0 的导数记作 ( ) 0 f  x 或 0 ( ) x x dx df x = 或 ( ) 0 y  x 或 0 x x dx dy = . ⚫ 函数 f 在点 x0 的导数, 就是在点 x0 函数关于自变量的变化率. 运动质点在时刻 t0 的瞬时速度是距离 x (t) 对时间 t 的导数. 曲线 y = f (x) 在点 x0 切线斜率是函数 f 对 x 的导数. 例 : 细杆的线密度。设有长度为 a 的质量不均匀细杆,杆所在的直 线为 x 轴, m( x) 表示细杆在区间 [0, x] 中的质量. [x0 , x0 +x] 是细杆在一段的平均质量密度是 m x x m x x ( ) ( ) 0+ − 0  . 它的极限, 即质量函数 m( x) 关于 x 在点 x0 的导数 x m x x m x m x x  + −  =  → ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 就是细杆在 x0 的线密度. ⚫ 在导数定义中,  x 称为自变量的增量; x 可正可负 , 但 是不能取零; ( ) ( ) ( ) 0 0 0 f x = f x + x − f x 称为函数的增量. ( ) ( ) ( ) 0 0 0 f x + x = f x + f x 当  x 限制的负正时，有所谓左、右导数之称, 即： 若 x f x x f x x  +  − → −  ( ) ( ) lim 0 0 0 存在, 则称其为 f 在 x0 的左导数; 若 x f x x f x x  +  − → +  ( ) ( ) lim 0 0 0 存在, 则称其为 f 在 x0 的右导数; f 在点 x0 的左、右导数分别记作 f  (x) − 和 f  (x) +