由车贝尔晓天不等式有 DC∑5n) n28)+(5#(5)/2n-m-=nB-0m),即证 -∑E 实质上,讨论形如 的随机变量在n→0时的统计规律,其中{5}是独立的 n 服从同一个0-1分布的随机变量. 定义4.1若51,52,……5n是随机变量序列如果存在常数列a1a2,……an,使对任意的 E>0,有lP(-an/(E)=1,则称随机变量序列{n}服从大数定理 因此,得到比贝努力大数定理更广泛一些的契贝晓夫大数定理 定理42设51,52,……5n是一列两两不相关的随机变量,且它的方差一致有界即彐常 数∞0使D5≤(1,2….)则对y)0有lP(1:-∑E5;E) D(∑5)D∑5) 证:P(1∑5,-E,12)5-m →0,(n 推论1:( Possion大数定理)在一系列独立试验中,事件A在第k次出现的概率为P,则 VE>0,有ImP( lnP+P2+……,Pn k<E)=1.(k=1,2,…) 证:此时D5=P(1-B)≤由Th4.2可证 推论2:习题P12(马尔科夫大数定理) 进一步,将方差存在这个条件减弱,另一条件加强,独立同分布 Th3(辛钦大数定理):设51252,…是一列独立同分布的随机变量,且数学期望E5=A 存在(=1,2…则e)0有lmn(∑5-a|(s)=1 大数定理本质是当n很大时,随机变量在n次观察中的算术平均值∑5,会“靠近“它由车贝尔晓天不等式有: P(/ n un -P/   )=P(/ = n i i 1  -E( = n i i 1  )/  n   2 1 ( )   n D n i  n = = 2 2 n  npq = 2 n pq → 0(n →  ),即证. 实质上,讨论形如 n E n i n i  i  i = = − 1 1   的随机变量在 n → 0 时的统计规律,其中{  i }是独立的 服从同一个 0-1 分布的随机变量. 定义 4.1 若  1 , 2 ,…… n 是随机变量序列,如果存在常数列 a 1 a 2 ,…… n a ,使对任意的  >0,有 n− lim P(/ n n i  i =1  -a n /   )=1,则称随机变量序列{  n }服从大数定理. 因此,得到比贝努力大数定理更广泛一些的契贝晓夫大数定理. 定理 4.2 设  1 , 2 ,…… n 是一列两两不相关的随机变量,且它的方差一致有界.即  常 数 c>0,使 D  i  c(i=1,2,…..)则对    0 有 n− lim P(| n 1 = n i i 1  - n 1 = n i E i 1  |<  )=1. 证:P(| n 1 = n i i 1  - n 1 = n i E i 1  |   )  2 1 ) 1 (   = n i i n D = 2 2 1 ( )   n D n i  i =  2 2 n  nc = 2 n c → 0 ,(n →  ). 推论 1:(Possion 大数定理)在一系列独立试验中,事件 A 在第 k 次出现的概率为 Pk,则   0,有 n− lim P(   + + − | ...... | 1 2 n P P P n un n )=1.(k=1,2,…). 证:此时 D  k = Pk (1− Pk )  4 1 由 Th4.2 可证. 推论 2:习题 P 4.23 222 (马尔科夫大数定理) 进一步,将方差存在这个条件减弱,另一条件加强,独立同分布. Th4.3(辛钦大数定理):设 , ,  1  2 ……是一列独立同分布的随机变量,且数学期望 E  i =A 存在 (i=1,2……).则   0 有 n− lim (| a n  i − 1 |  )=1. 大数定理本质是:当 n 很大时,随机变量在 n 次观察中的算术平均值 = n i i n 1 1  会“靠近“它