73单值函数的孤立奇 第8页 373单值函数的孤立奇点 定义设f(2)为单函函(或多。函函一个单分枝),b点是它奇点如果环b点存 环一个邻域,环该邻域内(在b点外),f(2)处处可导,点b为f(2)狐立奇点 非孤立奇点,例子 项 而于函函1/si(1/2),显然,1=nx,都2=1/m7,n=0,+1,士2,…是它我奇点,=0 是这些奇点我聚点(极限点)环2=0我任意一个邻域中,总存环无穷多个奇点,“故:=0是非孤 立奇点 项 如果z=b是单,函函f(z)4孤立奇点 定存环一个们域0<12-<R,环该们城内, f(z)可以展开成 Laurent级 f(2)=∑an(2-b) 奇 这个可能出现三种情况 ★级函展开式不含负幂项b点点为f(2)4可去奇点 就是函 n=0 2n+1)! 2< 可去奇点 奇 ★级函展开式只含有限个负幂项b点点为f(2)极点 ★级函展开式含有无穷多个负幂项b点点为f(2)本性奇点 下面分别反映函函环三种奇点处行为 可去奇点由于环可去奇点处,级函展开式中不含负幂项,故级函不只是环们域内收敛 且环们域前中心,都可去奇点2=b处是收敛 这个收敛区域是一个圆,圆心环可去奇点z=b,级函环收敛圆内任一闭区域中一致收敛 和函函连续 imf()=lm∑an(2-b)=aWu Chong-shi §7.3 ➤➥✆✝✞➦➧➨➩ ✍ 8 ✎ §7.3 ➫➭✥✦✧➯➲➳➵ ●➸ ■ f(z) ❑❚❯✬✭ (➺➻❯✬✭◆✪✫❚❯♣✉) ✹ b ✴❴ ❀ ◆❁✴❇➫⑩✱ b ✴➼ ✱✪✫➪ ❘ ✹✱➽➪ ❘ ❨ (✮ b ✴✸) ✹ f(z) ➾➾✰➚✹ ❱ ❽ b ❑ f(z) ◆➾➚❁✴❇ ➪➾➚❁✴◆⑦➶❇ ❲❳✬✭ 1/ sin(1/z) ✹ß à ✹1/z = nπ ✹➡ z = 1/nπ ✹n = 0, ±1, ±2, · · · ❴ ❀ ◆❁✴❇❱ z = 0 ❴ ❈➹❁✴◆➘✴ (➴➲✴) ➙✱ z = 0 ◆❩❜✪✫➪ ❘ ❫ ✹ ➷➼✱➯❷➻✫❁✴✹ å z = 0 ❴ ➪➾ ➚❁✴❇ ➫⑩ z = b ❴❚❯✬✭ f(z) ◆➾➚❁✴✹ ❱✪❏➼✱✪✫❖ ❘ 0 < |z − b| < R ✹✱➽❖ ❘ ❨✹ f(z) ✰❏✶✷❄ Laurent ❆✭✹ f(z) = X∞ n=−∞ an(z − b) n . ❈✻✰➩➬➮➱➠❵✃➙ F ❆✭✶✷④➦❐➬ ❅➥➙ b ✴❽❑ f(z) ◆✰❒❁✴❇ z = 0 ❉ ❴✬✭ sin z z = X∞ n=0 (−) n (2n + 1)! z 2n , |z| < ∞ s 1 z − cot z = 1 3 z + 1 45 z 3 + 2 945 z 5 + · · · , |z| < π ◆✰❒❁✴❇ F ❆✭✶✷④❴ ❐✺➲✫➬ ❅➥➙ b ✴❽❑ f(z) ◆➴✴❇ F ❆✭✶✷④❐✺➯❷➻✫➬ ❅➥➙ b ✴❽❑ f(z) ◆ ❧Ó❁✴❇ ❮ ➝♣q↔↕✬✭✱➱➠❁✴➾◆❰❑❇ ûÏÐÑ ä❳✱✰❒❁✴➾✹❆✭✶✷④ ❫➦❐➬ ❅➥✹å ❆✭➦ ❴❴✱❖ ❘ ❨➸➺✹â Ò✱❖ ❘ ◆ ❫ ▼✹➡✰❒❁✴ z = b ➾➜❴ ➸➺◆❇ w w  ❈✻◆ ➸➺◗❘❴✪✫ ▲✹▲▼✱✰❒❁✴ z = b ✹❆✭✱➸➺ ▲ ❨ ◆❩✪❞◗❘ ❫✪➱➸➺✹ w w  s✬✭✇Ó ✹ lim z→b f(z) = lim z→b X∞ n=0 an(z − b) n = a0