第8期 张晓东等：热连轧AGC系统的串级预测控制 ·1015 选取如下二次型目标函数： 根据以上定义，性能指标式(4)可以写成 J=E [y-y,)(y-y,)+Au'u] (10) J=E(盆5u+》-a+]2+ 将式(9)代入式(10)则使J取得最小值的控制 N 律为 A0a+i-D]'） (4) u=(G'G+A）-Gy.-Fy(t)-H△u(t-1)] 式中：E为取数学期望；入为时变加权函数：N。为最 (11) 小预测时域；N,为最大预测时域；N。为控制时域， 将(GG+A)-G的第1行记作p=p1P2, 并且满足△u(t+j)=0,j≥N.… …,P],则广义预测控制律可以写成如下形式： 为了得到j步后输出时刻的预测输出值，引入 △u(t)=p.-Fy(t)-H△u(t-1)](12) 如下丢番图方程： 1=A(g-)△E,(g)+qF,(g1) 3 鲁棒性证明 LE,(q)B,(q-)=G(q-)+q(q) 如果模型估计不精确，G(s)与G(s)有误差， j=1,2,,N1 (5) 实际被控对象描述如下： 其中， Ao(q1)y(t)=B。(g-)u(t-1)+w(t)/△ E,(g)=6+e91+e292+…+9-191, (13) G(g）=86+g19+8292+…+g-19+1, 系统的未来输出为 E(g)=f8+fg1+fq2+…+fg”, yo(t+）=Go(g)△u(t+j-1)+Fg(g)y(t)+ 马，(q)=店+片g1+店g2+…+尼.9+1 H(q)△u(t-1)+Eo(g-)w(t+j）(14) 由式(3)、式(5)可得 定义预测误差 y(t+j)=G△u(t+j-1)+H,△u(t-1)+ (t+》=y%(t+j》-y(t+j》= Fy(t）+E,w(t+j） (6) [G。(q)-G(g)]△u(t+j-1)+ 因为E,ω(t+)均是t时刻以后的白噪声，则t+j时 H(g-)-H(q)]△u(t-1)+ 刻y(t+)的最优预测值可以表示为 F(g)-F,(g)]y(t)+ y'(t+jlt)= [Eo(q)-E (g)]o(t+j) (15) G,△u(t+j-1)+H,△u(t-1)+Fy(t) (7) 考虑当q1=1时则有 则 y(t+j)=y(t+jlt）+Ew(t+》 (8) E(t+)]=Fg(1)-F,(1)]ED()]+ 式(6)可以写成如下形式： [G(1)-G,(1)]△(1)Eu(t+j-1)]+ y=Gu +Fy(t)+HAu(t-1)+E (9) Eg(1)-E(1)]E[w(t+i]+ 式中， H(1)-H(1)]4(1)Eu(t-1)](16) y=(t+1),y(t+2),…,y(t+N)]T, 由于△(1)=0，E[w(t+)]=0,所以上式右边 u=△u(t）,△u(t+1),…,△u(t+N。-1)], 第l、3及第4项为零：同时根据Diophantine方程 F=F1,F2,…,F], (5)有 H=H1,H2,…,Hy,], Fo(1)=F,(1)=1. 代入式(16)就会得到 E=E1w(t+1),E,o(t+2),…,Ex,ω(t+N)], (17) 80 0 E((t+j))=0 同理根据式(6)和式(12)有 81 80 y:(t)I=y(t)I (18) G= 式(17)、式(18)两式说明GP℃控制系统的稳态特 gN.-1gN。-2 % 性是鲁棒的，即稳态模型预测误差及控制误差为零， 即使所建立的数学模型是不准确的. L8m1-18N,-2… gN:-N. 参考序列为 4仿真实例 y(t）=y.(t+1),y(t+2),…y.(t+N)]. 根据某热连轧钢厂的实际参数@，忽略伺服第 8 期 张晓东等: 热连轧 AGC 系统的串级预测控制 选取如下二次型目标函数: J = E ( ∑ N1 j = N0 ［y( t + j) － yr( t + j) ］2 + ∑ Nu j = N0 λ( j) ［Δu( t + j － 1) ］ ) 2 ( 4) 式中: E 为取数学期望; λ 为时变加权函数; N0 为最 小预测时域; N1 为最大预测时域; Nu 为控制时域， 并且满足 Δu( t + j) = 0，j≥Nu ． 为了得到 j 步后输出时刻的预测输出值，引入 如下丢番图方程［9］: 1 = A( q － 1 ) ΔEj ( q － 1 ) + q － j Fj ( q － 1 ) Ej ( q － 1 ) Bj ( q － 1 ) = Gj ( q － 1 ) + q － j Hj ( q { － 1 ) j = 1，2，…，N1 ( 5) 其中， Ej ( q － 1 ) = e0 + e1 q － 1 + e2 q － 2 + … + ej － 1 q － j + 1 ， Gj ( q － 1 ) = g0 + g1 q － 1 + g2 q － 2 + … + gj － 1 q － j + 1 ， Fj ( q － 1 ) = f j 0 + f j 1 q － 1 + f j 2 q － 2 + … + f j na q － na ， Hj ( q － 1 ) = hj 0 + hj 1 q － 1 + hj 2 q － 2 + … + hj na q － nb + 1 ． 由式( 3) 、式( 5) 可得 y( t + j) = GjΔu( t + j － 1) + HjΔu( t － 1) + Fj y( t) + Ejω( t + j) ( 6) 因为 Ejω( t + j) 均是 t 时刻以后的白噪声，则 t + j 时 刻 y( t + j) 的最优预测值可以表示为 y* ( t + j | t) = GjΔu( t + j － 1) + HjΔu( t － 1) + Fj y( t) ( 7) 则 y( t + j) = y* ( t + j | t) + Ejω( t + j) ( 8) 式( 6) 可以写成如下形式: y = Gu + Fy( t) + HΔu( t － 1) + E ( 9) 式中， yT =［y( t + 1) ，y( t + 2) ，…，y( t + N1) ］T ， uT =［Δu( t) ，Δu( t + 1) ，…，Δu( t + Nu － 1) ］， FT =［F1，F2，…，FN1 ］， HT =［H1，H2，…，HN1 ］， ET =［E1ω( t + 1) ，E1ω( t + 2) ，…，EN1ω( t + N1 ) ］， G = g0 0 g1 g0    gNu － 1 gNu － 2 … g0   …  gN1 － 1 gN1 － 2 … gN1 － N                    u  ． 参考序列为 yT r ( t) =［yr( t + 1) ，yr( t + 2) ，…，yr( t + N1) ］． 根据以上定义，性能指标式( 4) 可以写成 J = E［( y － yr) T ( y － yr) + λuT u］ ( 10) 将式( 9) 代入式( 10) 则使 J 取得最小值的控制 律为 u = ( GT G + λI) － 1 GT ［yr － Fy( t) － HΔu( t － 1) ］ ( 11) 将( GT G + λI) － 1 GT 的第 1 行记作 pT =［p1，p2， …，pN］，则广义预测控制律可以写成如下形式: Δu( t) = pT ［yr － Fy( t) － HΔu( t － 1) ］ ( 12) 3 鲁棒性证明 如果模型估计不精确，Gm ( s) 与 G( s) 有误差， 实际被控对象描述如下: A0 ( q － 1 ) y( t) = B0 ( q － 1 ) u( t － 1) + ω( t) /Δ ( 13) 系统的未来输出为 y0 ( t + j) = G0j ( q － 1 ) Δu( t + j － 1) + F0j ( q － 1 ) y( t) + H0j ( q － 1 ) Δu( t － 1) + E0j ( q － 1 ) ω( t + j) ( 14) 定义预测误差 y槇( t + j) = y0 ( t + j) － y( t + j) = ［G0 ( q － 1 ) － Gj ( q － 1 ) ］Δu( t + j － 1) + ［H0 ( q － 1 ) － Hj ( q － 1 ) ］Δu( t － 1) + ［F0 ( q － 1 ) － Fj ( q － 1 ) ］y( t) + ［E0j ( q － 1 ) － Ej ( q － 1 ) ］ω( t + j) ( 15) 考虑当 q － 1 = 1 时则有 E［y槇( t + j) ］=［F0j ( 1) － Fj ( 1) ］E［y( t) ］+ ［G0j ( 1) － Gj ( 1) ］Δ( 1) E［u( t + j － 1) ］+ ［E0j ( 1) － Ej ( 1) ］E［ω( t + j) ］+ ［H0j ( 1) － Hj ( 1) ］Δ( 1) E［u( t － 1) ］ ( 16) 由于 Δ( 1) = 0，E［ω( t + j) ］= 0，所以上式右边 第 1、3 及第 4 项为零; 同时根据 Diophantine 方程 ( 5) 有 F0j ( 1) = Fj ( 1) = 1． 代入式( 16) 就会得到 E( y槇( t + j) ) = 0 ( 17) 同理根据式( 6) 和式( 12) 有 yr( t) | t→∞ = y( t) | t→∞ ( 18) 式( 17) 、式( 18) 两式说明 GPC 控制系统的稳态特 性是鲁棒的，即稳态模型预测误差及控制误差为零， 即使所建立的数学模型是不准确的． 4 仿真实例 根据某热连轧钢厂的实际参数［10］，忽略伺服 ·1015·