证在[a,b中插入分点 <x,<…<x 并记Ax1=x1-x1(i=12,…,n)。显然只要证明 im∑()Ax,=(x, eddy D 这里为x1x中任意一点,为所有Ax的最大者。 再在[c4中插入分点 C=y<y1<…<ym=d, 并记y=y-y(j=12…m)。过[a和[d上的这些分点分别作 平行于坐标轴的直线将D分成许多小矩形(这是D的一个划分),记 x1,x]×[y1,y,1=1,2,…,mj=12,…,m; m,= inf ff(x, y)), M sup f(x, y)) (x,y)∈D (x,y)∈D证 在[,] a b 中插入分点 ax x x b = 0 1 < <"< n = ， 并记Δ −= iii −1 xxx （ = ",,2,1 ni ）。显然只要证明 ∑ =Δ = → n i ii xh 1 0 ξ )(limλ f xy x y ( , )d d ∫∫D ， 这里ξ i 为 ],[ 1 ii xx − 中任意一点，λ 为所有Δxi的最大者。 再在 dc ],[ 中插入分点 dyyyc = < 10 < " < m = ， 并记Δ −= jjj −1 yyy （ = ",,2,1 mj ）。过 ba ],[ 和 dc ],[ 上的这些分点分别作 平行于坐标轴的直线将D分成许多小矩形（这是D的一个划分），记 1 1 [ , ][ , ] ij i i j j x x y y D = − − × ， = " = ",,2,1;,,2,1 mjni ； (,) inf { (, )} ij x y ij m f x y ∈ = D ， (,) sup { (, )} ij x y ij M f x y ∈ = D