微分学讨论题--1 1.设f(x,y)在点M(x,yo)可微,=i-j,u=-i+2如果 af(x,yo)=-2,=1,则f(x,y)在点M(x,)的微分是( af(xo,yo) ) ou 2.已知 (x+ay)dx+ ydy. (x+y)2 为某个二元函数的全微分,则a=() 3.设函数z=f(x,y)是由方程xyz+x2+y2+z=2确定的在点(1,0,-1)求d (dx-√2dy) 4.设f(x,y,z)=xy2+y2+zx2,求 f(,0f(0,2)f(0-10)f(201(2,00 oxr2 Oxdz ayoz axoz 5.求下列函数在指定点的全微分 (1)z= arctan+y,在任意点(x,y).(-ydx+22dy) x-y +y (2)z= arctan,求d(1,).((dx-dy)) 02u匹2) 6.设u=e-xsin,在点(2,)求 y π 9.按要求求下列曲面的切平面 (1)曲面x2+2y2+3z2=21的与平面x+4y+6z=0平行的切平面, (x+4y+6z=±21) x+2z=1 (2)曲面z=x2+y2的与直线{ 垂直的切平面,(2x+2y-z=2) y+2z=2 10.过曲面S:F(x,y,z)=2x2+3y2+z2=6上点P(1)处指向外侧的法向量为n, 求函数u=6x2+8y2 在点P处沿方向n的方向导数 解曲面S上点P(1,1,1)处指向外侧的法向量为 grad(,)=(4,y,2=(4,6,2)微分学讨论题--1 1 ． 设 f (x, y) 在 点 ( , ) 0 0 M x y 可微， v i j u i j       = − , = − + 2 。如果 1 ( , ) 2, ( , ) 0 0 0 0 =   = −   u f x y u f x y   ，则 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 M x y 的微分是（ ） 2. 已知 2 ( ) ( ) x y x ay dx ydy + + + 为某个二元函数的全微分,则 a = ( ) 3． 设函数 z = f (x, y) 是由方程 2 2 2 2 xyz + x + y + z = 确定的,在点 (1,0,−1) 求 dz . （ dx − 2dy ） 4．设 2 2 2 f (x, y,z) = xy + yz + zx ，求 2 2 2 3 2 2 (2,0,1) , (0, 1,0) , (1,0,2) , (0,0,1) x z f y z f x z f x f       −      （ 2,2,0,0 ） 5．求下列函数在指定点的全微分 （1） x y x y z − + = arctan ，在任意点 (x, y).（ dy x y x dx x y y 2 2 2 2 + + + − ） （2） 2 1 arctan y x z + = ，求 dz(1,1) .（ ( ) 5 2 dx − dy ） 6.设 y x u e x sin − = ,在点 ) 1 (2,  求 x y u    2 .（ 2 ( ) e  ） 9. 按要求求下列曲面的切平面 （1）曲面 2 3 21 2 2 2 x + y + z = 的与平面 x + 4y + 6z = 0 平行的切平面， （ x + 4y + 6z = 21 ） （2）曲面 2 2 z = x + y 的与直线    + = + = 2 2 2 1 y z x z 垂直的切平面，（ 2x + 2y − z = 2 ） 10． 过曲面 S : ( , , ) 2 3 6 2 2 2 F x y z = x + y + z = 上点 P(1,1,1) 处指向外侧的法向量为 n , 求函数 z x y u 2 2 6 + 8 = 在点 P 处沿方向 n 的方向导数. 解 曲面 S 上点 P(1,1,1) 处指向外侧的法向量为 grad (1,1,1) (4 ,6 ,2 ) (4,6,2) f = x y z (1,1,1) =