称此概率分布为Pascal分布。如果记 pk =Ck-ip'qe-,k=r;r+1.. (2.3.5) 那么显然有 立m=2c=nca=pu-gr=1. k- 所以(2.3.5)式的确是一个离散型随机变量的分布律.我们将其称为参数为p和r的Pascal分布.又因 为上式表明，它可以用负二项展开式中的各项表示，所以又称为负二项分布. 例2.3.4.(Banach.火柴问题)某人口袋里放有两盒火柴，每盒装有火柴n根.他每次随机取出一 盒，并从中拿出一根火柴使用试求他取出一盒，发现已空，而此时另一盒中尚余r根火柴的概率. 解：以A表示甲盒已空，而此时乙盒中尚余π根火柴的事件.由对称性知，所求的概率等于2P(A).我 们将每取出甲盒一次视为取得一次成功，以表示取得第+1次成功时的取盒次数，则服从参数 为0.5和n+1的Pascal分布（因为每次取出甲盒的概率是0.5）.易知，事件A发生，当且仅当等 于2n-r+1.所以所求的概率等于 2P(A)=2P(=2n-r+1)=C-r2-2m 例2.3.5.在可列重贝努里试验中，求事件E={n次成功发生在m次失败之前}的概率。 解：记F={第次成功发生在第k次试验}，则 n十m-] E=U Fk k=n 且诸F两两互斥，故 n+m-1 7+mm-1 P(E)= ∑P)=∑ CR-ip"qn-k k= -n 5.Possion分布 设随机变量X的概率分布为 入k PX=周=府e入k=01,2, (2.3.6) 称此分布律为参数为入的Poisson分布，并记X~P(A)。 viii°dV«©ŸèPascal©Ÿ"XJP pk = C r−1 k−1 p r q k−r , k = r, r + 1, · · · (2.3.5) @ow,k X∞ k=r pk = X∞ k=r C r−1 k−1 p r q k−r = p rX∞ k=0 C r−1 r+k−1 q k = p r (1 − q) −r = 1 , §±(2.3.5)™(¥òál—.ëÅC˛©ŸÆ.·ÇÚŸ°èÎÍèp⁄rPascal©Ÿ. qœ è˛™L²,ßå±^Kë–m™•àëL´,§±q°èKë©Ÿ. ~2.3.4. ( BanachªØK),<ùïpòk¸›ª,z›Ckªnä.¶zgëÅ—ò ›,øl•<—ò䪶^.£¶¶—ò›,uyÆò, dû,ò›•ˇ{räªV«. ):±AL´`›Æò, dûØ›•ˇ{räªØá.dÈ°5,§¶V«u2P(A).· ÇÚz—`›òg¿èòg§ı,±ξL´1n + 1g§ıû›gÍ,Kξ—lÎÍ è0.5⁄n + 1 Pascal ©Ÿ(œèzg—`›V«¥0.5).¥,ØáAu),Ö=ξ u2n − r + 1.§±§¶V«u 2P(A) = 2P(ξ = 2n − r + 1) = C n 2n−r2 r−2n . ~2.3.5. 3å­„p£•ß¶ØáE ={ng§ıu)3mgî}Éc}V«" ): PFk={1ng§ıu)31kg£},K E = n+ [m−1 k=n Fk ÖÃFk¸¸p½ß P(E) = n+ Xm−1 k=n P(Fk) = n+ Xm−1 k=n C n−1 k−1 p n q n−k . 5. Possion©Ÿ ëÅC˛XV«©Ÿè P(X = k) = λ k k! e −λ , k = 0, 1, 2, · · · . (2.3.6) °d©ŸÆèÎÍèλPoisson ©ŸßøPX ∼ P(λ)" viii