中国科学技术大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（课件讲义）第二章 随机变量及其分布

目录 第二章随机变量及其分布 进 21引言......·.. 道 2.2 随机变量的分布函数 iv 2.3常见的概率分布..... vi 2.3.1常见离散型分布 vi 2.3.2常见连续型分布 xi 2.4多维随机变量（随机向量）..· xiii 2.5条件分布和独立性···. xix 2.5.1条件分布..... xix 2.5.2随机变量的独立性 xxi 2.6随机变量的函数的分布.. xxii 27总结与讨论·.·..·· XXX 参考文献 ..。·.。.......Xxxi

8¹ 1Ÿ ëÅC˛9Ÿ©Ÿ iii 2.1 ⁄Û . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii 2.2 ëÅC˛©ŸºÍ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv 2.3 ~ÑV«©Ÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi 2.3.1 ~Ñl—.©Ÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi 2.3.2 ~ÑÎY.©Ÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi 2.4 ıëëÅC˛(ëÅï˛) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii 2.5 ^á©Ÿ⁄’·5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xix 2.5.1 ^á©Ÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xix 2.5.2 ëÅC˛’·5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxi 2.6 ëÅC˛ºÍ©Ÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxii 2.7 o(Ü?ÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxx Ωz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxxi i

第二章 随机变量及其分布 2.1引言 在很多试验中，处理一个汇总的变量要比处理原来的概率结构方便的多。例如在一次民意调 查中，我们调查50个人对某个事情的态度是支持(1)还是反对(0)。那么按照古典概型的处理方式， 所有可能的结果有20个，这是非常大的一个数字。但是如果我们用X={1的个数}，则X的可能 取值为{0,1，·，50}，这样处理起来就比原来的概率结构要方便多了， 假设我们随机投两枚骰子，根据两个骰子的点数和决定某个事情。则样本空间为 2={(,w2):w1,w2∈{1,2,3,4,5,6}} 但是我们其实只对点数和感兴趣，即对函数S:2→R的值感兴趣 S(w1,w2）=w1+w2, (w1,w2)∈2 S的可能值可以通过下表得到： W2 w1123456 1234567 2345678 3456789 45678910 567891011 6789101112 我们记事件 {S=k}={(w1,w2)∈2：w1+w2=k} 以及其概率为P(S=)

1Ÿ ëÅC˛9Ÿ©Ÿ 2.1 ⁄Û 3Èı£•ß?nòáÆoC˛á'?n5V«(êBı"~X3òg¨øN •ß·ÇN50á<È,áØú›¥|±(1)Ñ¥áÈ(0)"@oUÏ;V.?nê™ß §kåU(Jk2 50áߢ¥ö~åòáÍi"¥XJ·Ç^X={1áÍ}ßKXåU äè{0, 1, · · · , 50}ߢ?nÂ5“'5V«(áêBı . b·ÇëÅ›¸qfß䂸áf:Í⁄˚½,áØú"Kòmè Ω = {(ω1, ω2) : ω1, ω2 ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}} ¥·ÇŸ¢êÈ:Í⁄a,ß=ȺÍS : Ω → Räa, S(ω1, ω2) = ω1 + ω2, (ω1, ω2) ∈ Ω SåUä屜LeL: ω2 ω1 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 ·ÇPØá {S = k} = {(ω1, ω2) ∈ Ω : ω1 + ω2 = k} ±9ŸV«èP(S = k). ii

又若我们是根据两个骰子的最大值决定，则映射 M(w1,w2)=max{w,w2},(w1,w2）∈2 类似可以由上表定出由M决定的事件及概率。象S,M这样的函数，我们称其为离散随机变 (discrete random variable). 定义2.1.l.一个随机变量(andom variable)是从样本空间2到实数轴的一个（映射）函数。具体的 讲，称样本空间2到实数轴R的一个映射X()为随机变量，如果 {w:X(w)<x}∈F 对任意的实数x∈R。X()经常简写为X. 例2.1.1.随机事件的示性函数是随机变量。 2.2 随机变量的分布函数 定义2.2.1.称 F(x)=P(X≤x),for all x∈R 为随机变量X的（累积）分布函数(cdf,cumulative distribution function,. 例2.2.1.投掷三枚硬币，X=正面向上的个数。则X的分布函数为 0j-∞<x<0 if0≤x<1 F(x)= if1≤x<2 if2≤x<3 1f3≤x<0∞ 分布函数F(x)满足： 1.iF()=0和m。F()=1 2.F(x)是一个非降的函数： 3.F(x)是一个右连续的函数，即对任意的xo有imF(x)=F(xo): ⅲ

qe·Ç¥ä‚¸áfÅåä˚½ßKN M(ω1, ω2) = max{ω1, ω2}, (ω1, ω2) ∈ Ω aqå±d˛L½—dM˚½Øá9V«"ñS, M˘ºÍß·Ç°Ÿèl—ëÅC ˛(discrete random variable). ½¬ 2.1.1. òáëÅC˛(random variable)¥lòmΩ¢Í¶òá(N)ºÍ"‰N ˘ß°òmΩ¢Í¶RòáNX(·)èëÅC˛ßXJ {ω : X(ω) < x} ∈ F È?ø¢Íx ∈ R"X(·)²~{èX. ~2.1.1. ëÅØá´5ºÍ¥ëÅC˛" 2.2 ëÅC˛©ŸºÍ ½¬ 2.2.1. ° F(x) = P(X ≤ x), for all x ∈ R èëÅC˛X(\»)©ŸºÍ(cdf, cumulative distribution function). ~2.2.1. ›ïnqM1, X=°ï˛áÍ"KX©ŸºÍè F(x) =    0 if − ∞ < x < 0 1 8 if 0 ≤ x < 1 1 2 if 1 ≤ x < 2 7 8 if 2 ≤ x < 3 1 if 3 ≤ x < ∞ ©ŸºÍF(x)˜v: 1. lim x→−∞ F(x) = 0⁄ lim x→+∞ F(x) = 1; 2. F(x)¥òáö¸ºÍ; 3. F(x)¥òámÎYºÍ, =È?øx0klim x↓x0 F(x) = F(x0). iii

反之，若一个函数满足1-3，则这个函数是一个分布函数。 证明3：对任意的xn↓xo,事件列An={X≤xn}为单调下降的，且有∩An={X≤xo}。 rn↓x0 从而有概率的上连续性立得。 根据随机变量取值的性质，我们主要考虑如下两类随机变量。 定义22.2.若随机变量X的所有可能取值为至多可列个点值，则称X为离散型随机变量。此时， 若记X的所有取值为{1,2，…}，则称 P(X=xk)=pk;k=1,2;... 或者表示为 (也称此为密度阵) 为随机变量X的分布律概率函数、密度)： 显然，概率函数满足 1.pk≥0，k=1,2,… 22账=1 k=1 3.F(x)=P(X≤x)=∑P(X=xk)=∑Pk tk<t 反之，若有一列实数{Pk}满足如上1-2两条，则存在某个随机变量使得{Pk}为其分布律。 按照定义，只有一个可能值的常数c是离散型随机变量，其概率函数为（份）。称之为退化分 布。 定义2.2.3.若存在非负函数f(c)使得随机变量X的分布函数 F(a)=f(a)dz,for all s 则称随机变量X为连续型的，并称f(x)为X的概率密度函数(pd5,probability density function)。 概率密度f(x)满足 iv

áÉ, eòáºÍ˜v1-3ßK˘áºÍ¥òá©ŸºÍ" y²3µÈ?øxn ↓ x0, ØáAn = {X ≤ xn}è¸Ne¸, Ök T xn↓x0 An = {X ≤ x0}" l kV«˛ÎY5·" ä‚ëÅC˛ä5üß·ÇÃáƒXe¸aëÅC˛" ½¬ 2.2.2. eëÅC˛X§kåUäèñıåá:äßK°Xèl—.ëÅC˛"dûß ePX §käè{x1, x2, · · · }ßK° P(X = xk) = pk, k = 1, 2, · · · ½ˆL´è x1 x2 · · · p1 p2 · · · ! (è°dèó› ) èëÅC˛X©ŸÆ(V«ºÍ!ó›). w,ßV«ºÍ˜v 1. pk ≥ 0, k = 1, 2, · · · 2. P∞ k=1 pk = 1 3. F(x) = P(X ≤ x) = P xk≤x P(X = xk) = P xk≤x pk áÉßekò¢Í{pk}˜vX˛1-2¸^ßK3,áëÅC˛¶{pk}蟩ŸÆ" UϽ¬ßêkòáåUä~Íc¥l—.ëÅC˛ßŸV«ºÍè ￾ c 1
"°ÉèÚz© Ÿ" ½¬ 2.2.3. e3öKºÍf(x)¶ëÅC˛X©ŸºÍ F(x) = Z x −∞ f(x)dx, for all x ∈ R K°ëÅC˛XèÎY.ßø°f(x)èXV«ó›ºÍ(pdf, probability density function)" V«ó›f(x)˜v iv

1.f(x)≥0，forall x∈R. 2.f()dz =1. 3.若f(x)在x点连续，则F(x)=f(x). 4.对任意的Borl可测集合B,P(X∈B)=∫eBf(r)dz 反之，若一个函数f(x)满足如上1-2两条，则存在某个连续型随机变量使得f(x)为其概率密 度。 以上连个定义也可以表述为 定义2.2.4.称随机变量X为连续型(continuous)的，如果它的分布函数是连续的：称随机变 量X为离散型(discrete)的，如果它的分布函数是一个阶梯函数。 既非连续也非离散的随机变量是存在的，比如 例2.2.2.设随机变量Y的分布函数为 F(y) ify<0 1-e e++efy之0 其中0<∈<1.则Y既不是连续的也不是离散的。 2.3 常见的概率分布 2.3.1常见离散型分布 1.0-1分布(Bernoulli distribution) 设随机变量X只取两个值，不妨记为0和1，而且P(X=1)=p=1-P(X=0)。其概率函数 为 或者表示成 P(X=)=p(1-p)1-i,i=0,1. (2.3.1) 则称X的分布为0-1分布并称X服从0-1分布。 在0-1分布中，常把X=1成为一个“成功”。随机变量的示性函数服从的就是0-1分布。 2.二项分布(Binomial distribution)

1. f(x) ≥ 0, forall x ∈ R. 2. R ∞ −∞ f(x)dx = 1. 3. ef(x)3x:ÎYßKF 0 (x) = f(x). 4. È?øBorelåˇ8‹B, P(X ∈ B) = R x∈B f(x)dx áÉßeòáºÍf(x)˜vX˛1-2¸^ßK3,áÎY.ëÅC˛¶f(x)èŸV«ó ›" ±˛ÎὬèå±L„è ½¬ 2.2.4. °ëÅC˛XèÎY.(continuous)ßXJß©ŸºÍ¥ÎY¶°ëÅC ˛Xèl—.(discrete)ßXJß©ŸºÍ¥òáFºÍ" QöÎYèöl—ëÅC˛¥3ß'X ~2.2.2. ëÅC˛Y ©ŸºÍè F(y) = ( 1− 1+e−y if y < 0  + 1− 1+e−y if y ≥ 0 Ÿ•0 <  < 1. KY Qÿ¥ÎYèÿ¥l—" 2.3 ~ÑV«©Ÿ 2.3.1 ~Ñl—.©Ÿ 1. 0-1©Ÿ(Bernoulli distribution) ëÅC˛Xê¸áäßÿîPè0⁄1ß ÖP(X = 1) = p = 1 − P(X = 0)"ŸV«ºÍ è 0 1 1 − p p ! ½ˆL´§ P(X = i) = p i (1 − p) 1−i , i = 0, 1. (2.3.1) K°X©Ÿè0-1©Ÿø°X—l0-1©Ÿ" 30-1©Ÿ•ß~rX = 1§èòᓧı”"ëÅC˛´5ºÍ—l“¥0-1©Ÿ" 2. ë©Ÿ(Binomial distribution) v

定义2.3.1.若一个随机试验只有两个可能的结果A和A,则称这个随机试验为贝努里(Bernoulli )试验。记p=P(A)(0<p<1),将这个试验独立的重复做n次，则称这一串独立的试验为n重贝 努里试验。在一次试验中，当结果A发生时，称为一次成功。 在重贝努里试验中，若以X表示成功的次数（即随机事件A发生的次数），则X为一离散型随 机变量。易知X的概率函数为 P(X=k)= p (1 -p)"k=Chpk,=0.1.....n. (2.3.2) 其中q=1-p。称此概率分布为二项分布，并称X服从二项分布，记为X~B(n,p). 例2.3.1.按规定，某种型号的电子元件的使用寿命超过1500小时的为一级品.已知某一大批产品 的一级品率为0.2，现随机地抽查20件产品，问这20件产品中恰有k(k=0,1,·,20)件一级品的概 率是多少。 解：这是不放回抽样，但是由于产品总数很大，而抽取的20件相对于总数来说很小，故我们 可以视为是由放回的抽样。我们检查一个产品相当于作一次试验，抽查20件产品相对于做20次独 立的贝努里试验，若以X表示20件中的一级品个数，则X服从二项分布B(20,0.2),所以 P(X=)=C0.20.820-k,k=0,1,·,20. 例2.3.2.某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02。现独立的重复射击400次，求至少击中两次 的概率。 解：设X表示射击400次中的击中的次数，则X~B(400,0.02)。所以 P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-0.98400-400*0.02*0.98399=0.9972. 本例说明小概率事件在试验次数足够多时必然发生。 3.几何分布(Geometric distribution) 定义2.3.2.在n重贝努里实验中，当试验次数n→0o时，称为可列重贝努里试验。 若以X表示在可列重贝努里试验中结果A出现时的试验次数，即若以“成功”表示结果A发 生，则X表示首次成功时的试验次数，所以 P(X=k)=g-1p,k=12… (2.3.3) 称此分布为几何分布.记为X~G(p)

½¬ 2.3.1. eòáëÅ£êk¸áåU(JA⁄A¯ßK°˘áëÅ£è„p(Bernoulli )£"Pp = P(A)(0 fá¶^Æ·áL1500ûèò?¨. Æ,òå1¨ ò?¨«è0.2, yëÅ/ƒ20á¨, Ø˘20ᨕTkk(k = 0, 1, · · · , 20)áò?¨V «¥ı" ): ˘¥ÿò£ƒߥdu¨oÍÈåß ƒ20áÉÈuoÍ5`Èß·Ç 屿è¥dò£ƒ"·Çuòá¨Éuäòg£߃20á¨ÉÈuâ20g’ ·„p£ße±XL´20á•ò?¨áÍßKX—lë©ŸB(20, 0.2)ߧ± P(X = k) = C k 200.2 k 0.8 20−k , k = 0, 1, · · · , 20. ~2.3.2. ,<?1¬ßzg¬·•«è0.02"y’·­E¬400g߶ñ¬•¸g V«" ): XL´¬400g•¬•gÍßKX ∼ B(400, 0.02)"§± P(X ≥ 2) = 1 − P(X = 0) − P(X = 1) = 1 − 0.98400 − 400 ∗ 0.02 ∗ 0.98399 = 0.9972. ~`²V«Øá3£gÍv ıû7,u)" 3. A¤©Ÿ(Geometric distribution) ½¬ 2.3.2. 3n­„p¢•ß£gÍn → ∞ûß°èå­„p£" e±XL´3å­„p£•(JA—yû£gÍß=e±/§ı0L´(JAu )ßKXL´ƒg§ıû£gÍߧ± P(X = k) = q k−1 p, k = 1, 2, · · · . (2.3.3) °d©ŸèA¤©Ÿ. PèX ∼ G(p). vi

例2.3.3.一个人要开门，他共有把钥匙。其中仅有一把可以打开门。现随机地有放回的从中选取 一把开门，问这人在第S次试开成功的概率。 定理2.3.1.以所有正整数为取值集合的随机变量服从几何分布G(p),当且仅当对任何正整 数m和n,都有 P(ξ>m+n|ξ>m)=P(ξ>n). (2.3.4) 这个性质称为几何分布的无记忆性(memoryless property): 证：设随机变量服从几何分布G(p),写q=1-p,那么对任何非负整数k,都有 P>)=∑P=)=p∑g1= i=k+1 =k+ 所以对任何正整数m和n,都有 P(s>m+nlE>m)=P(>m+n,s>m) P(ξ>m) =P>m+m-+" P(ξ>m) gn=g”=P>n. 故知(2.3.4)式成立. 反之，设对任何正整数m和n,都有(2.3.4)式成立.对非负整数k,我们记pk=P(>).于是 由(2.3.4)式知，对任何正整数k,都有pk>0,并且对任何正整数m和n,都有pm+n=pm·pn·由此 等式立知，对任何正整数m,都有pm=p”.由于p1>0,而若p1=1,则必导致对一切正整数m,都 有pm=1,此为不可能，所以对某个小于1的正数q,有p1=q.由此不难得，对任何正整数m,都有 P(=m)=P(E>m-1)-P(>m)=Pm-1-Pm=qm-1-qm =pqm-1, 其中p=1-q,所以ξ服从几何分布G(p) 我们还可以证明几何分布是唯一的具有无记忆性的取值集合为正整数集的离散型分布. 4.Pascal分布（负二项分布） 在可列重贝努里试验中，若以X,表示第r次成功发生时的试验次数，则X的分布律为 P(X,=)=P({前k-1次恰有r次成功且第k次成功}) =P({前k-1次恰有r次成功})P({第k次成功}) Cgp-1q-r·p =Cgpq-r,k=r,r+1,… vii

~2.3.3. òá m + n | ξ > m) = P(ξ > n). (2.3.4) ˘á5ü°èA¤©ŸÃP£5(memoryless property). y:ëÅC˛ξ—lA¤©ŸG(p),q = 1 − p,@oÈ?¤öKÍk,—k P(ξ > k) = X∞ j=k+1 P(ξ = j) = p X∞ j=k+1 q j−1 = q k . §±È?¤Ím⁄n,—k P(ξ > m + n | ξ > m) = P(ξ > m + n, ξ > m) P(ξ > m) = P(ξ > m + n) P(ξ > m) = q m+n q n = q n = P(ξ > n). (2.3.4)™§·. áÉ,È?¤Ím⁄n,—k(2.3.4)™§·.ÈöKÍk,·ÇPpk = P(ξ > k) . u¥ d(2.3.4)™,È?¤Ík,—kpk > 0,øÖÈ?¤Ím⁄n,—kpm+n = pm · pn . dd ™·,È?¤Ím,—kpm = p m 1 .dup1 > 0, ep1 = 1,K7óÈòÉÍm, — kpm = 1,dèÿåU,§±È,áu1Íq,kp1 = q.ddÿJ,È?¤Ím,—k P(ξ = m) = P(ξ > m − 1) − P(ξ > m) = pm−1 − pm = q m−1 − q m = p qm−1 , Ÿ•p = 1 − q,§±ξ—lA¤©ŸG(p). ·ÇÑå±y²A¤©Ÿ¥çò‰kÃP£5ä8‹èÍ8l—.©Ÿ. 4. Pascal©Ÿ(Kë©Ÿ) 3å­„p£•ße±XrL´1rg§ıu)û£gÍßKXr©ŸÆè P(Xr = k) = P({ck − 1gTkrg§ıÖ1kg§ı}) = P({ck − 1gTkrg§ı})P({1kg§ı}) = C r−1 k−1 p r−1 q k−r · p = C r−1 k−1 p r q k−r , k = r, r + 1, · · · . vii

称此概率分布为Pascal分布。如果记 pk =Ck-ip'qe-,k=r;r+1.. (2.3.5) 那么显然有 立m=2c=nca=pu-gr=1. k- 所以(2.3.5)式的确是一个离散型随机变量的分布律.我们将其称为参数为p和r的Pascal分布.又因 为上式表明，它可以用负二项展开式中的各项表示，所以又称为负二项分布. 例2.3.4.(Banach.火柴问题)某人口袋里放有两盒火柴，每盒装有火柴n根.他每次随机取出一 盒，并从中拿出一根火柴使用试求他取出一盒，发现已空，而此时另一盒中尚余r根火柴的概率. 解：以A表示甲盒已空，而此时乙盒中尚余π根火柴的事件.由对称性知，所求的概率等于2P(A).我 们将每取出甲盒一次视为取得一次成功，以表示取得第+1次成功时的取盒次数，则服从参数 为0.5和n+1的Pascal分布（因为每次取出甲盒的概率是0.5）.易知，事件A发生，当且仅当等 于2n-r+1.所以所求的概率等于 2P(A)=2P(=2n-r+1)=C-r2-2m 例2.3.5.在可列重贝努里试验中，求事件E={n次成功发生在m次失败之前}的概率。 解：记F={第次成功发生在第k次试验}，则 n十m-] E=U Fk k=n 且诸F两两互斥，故 n+m-1 7+mm-1 P(E)= ∑P)=∑ CR-ip"qn-k k= -n 5.Possion分布 设随机变量X的概率分布为 入k PX=周=府e入k=01,2, (2.3.6) 称此分布律为参数为入的Poisson分布，并记X~P(A)。 viii

°dV«©ŸèPascal©Ÿ"XJP pk = C r−1 k−1 p r q k−r , k = r, r + 1, · · · (2.3.5) @ow,k X∞ k=r pk = X∞ k=r C r−1 k−1 p r q k−r = p rX∞ k=0 C r−1 r+k−1 q k = p r (1 − q) −r = 1 , §±(2.3.5)™(¥òál—.ëÅC˛©ŸÆ.·ÇÚŸ°èÎÍèp⁄rPascal©Ÿ. qœ è˛™L²,ßå±^Kë–m™•àëL´,§±q°èKë©Ÿ. ~2.3.4. ( BanachªØK),<ùïpòk¸›ª,z›Ckªnä.¶zgëÅ—ò ›,øl•<—ò䪶^.£¶¶—ò›,uyÆò, dû,ò›•ˇ{räªV«. ):±AL´`›Æò, dûØ›•ˇ{räªØá.dÈ°5,§¶V«u2P(A).· ÇÚz—`›òg¿èòg§ı,±ξL´1n + 1g§ıû›gÍ,Kξ—lÎÍ è0.5⁄n + 1 Pascal ©Ÿ(œèzg—`›V«¥0.5).¥,ØáAu),Ö=ξ u2n − r + 1.§±§¶V«u 2P(A) = 2P(ξ = 2n − r + 1) = C n 2n−r2 r−2n . ~2.3.5. 3å­„p£•ß¶ØáE ={ng§ıu)3mgî}Éc}V«" ): PFk={1ng§ıu)31kg£},K E = n+ [m−1 k=n Fk ÖÃFk¸¸p½ß P(E) = n+ Xm−1 k=n P(Fk) = n+ Xm−1 k=n C n−1 k−1 p n q n−k . 5. Possion©Ÿ ëÅC˛XV«©Ÿè P(X = k) = λ k k! e −λ , k = 0, 1, 2, · · · . (2.3.6) °d©ŸÆèÎÍèλPoisson ©ŸßøPX ∼ P(λ)" viii

定理2.3.2.(Poisson定理)设有一列二项分布B(m,pn),其中的参数满足条件 lim npn=入>0， (2.3.7） n→Cd 则对任何非负整数k都有 n,p)=lin Chpn(pn)e (2.3.8) 证：易知，对每个固定的非负整数k,有 n! cnm.-m-卡=-Pm1-ph- =(-)(-)(-,）-*ma-r. 在条件(2.3.7)之下，对固定的非负整数k,显然有 典（1-)(0-)(1-元)-t=1 和lim(npn)=Xk.因此为证结论，只需证明 n→d lim(1-pn)r=e-入 (2.3.9) 众所周知，有，1m(1-六)”=e入因此若要证明(23.9)，就只要证明 1-pn)”=1m(1-Ar 2→ → 显然有1-pn<1,而当n充分大时，也有1-<1.我们知道，对a≤1,1≤1，有初等不等 式an-b”叫≤na-b成立，结合条件(2.3.7)，便知当n→0o时，有 0-m)严-1-Ar≤nm-A=pm-川→0. 所以(2.3.9)式成立，定理证毕 例2.3.6.假设一块放射性物质在单位时间内发射出的a粒子数服从参数为λ的Poisson分布。而每 个发射出来的a粒子被记录下来的概率是p,就是说有q=1-p的概率被记数器漏记。如果各粒子 是否被记数器记录是相互独立的，试求记录下来的α粒子数n的分布。 解：以事件{ξ=n},n=01,2,…为划分，则由全概率公式有 P(I=)= ∑P==m)P飞=m) n= n=k 、eo=k 得e-0,k=0,1,2…# iX

½n 2.3.2. (Poisson ½n)kòë©ŸB(n, pn),Ÿ•Î͘v^á limn→∞ npn = λ > 0 , (2.3.7) KÈ?¤öKÍk—k limn→∞ b(k; n, pn) = limn→∞ C k npn k (1 − pn) n−k = e −λ λ k k! . (2.3.8) y:¥,Èzá½öKÍk,k C k npn k (1 − pn) n−k = n! k! (n − k)!pn k (1 − pn) n−k = 1 k!  1 − 1 n  1 − 2 n  · · ·  1 − k − 1 n  (1 − pn) −k (npn) k (1 − pn) n . 3^á(2.3.7)Ée,ȽöKÍk,w,k limn→∞  1 − 1 n  1 − 2 n  · · ·  1 − k − 1 n  (1 − pn) −k = 1 ⁄ limn→∞ (npn) k = λ k . œdèy(ÿ, êIy² limn→∞ (1 − pn) n = e −λ . (2.3.9) ا±,k limn→∞ (1 − λ n ) n = e −λ .œdeáy²(2.3.9),“êáy² limn→∞ (1 − pn) n = limn→∞ (1 − λ n ) n . w,k|1 − pn| < 1, nø©åû,èk|1 − λ n | < 1.·Ç,È|a| ≤ 1, |b| ≤ 1,k–ÿ ™|a n − b n | ≤ n|a − b|§·,(‹^á(2.3.7),Bn → ∞û,k     (1 − pn) n − (1 − λ n ) n     ≤ n|pn − λ n | = |npn − λ| → 0 . §±(2.3.9)™§·,½ny.. ~2.3.6. bò¨ò5‘ü3¸†ûmSu—α‚fÍξ—lÎÍèλPoisson©Ÿ" z áu—5α‚fP¹e5V«¥pß“¥`kq = 1 − pV«PÍ϶P"XJà‚f ¥ƒPÍÏP¹¥Ép’·ߣ¶P¹e5α‚fÍη©Ÿ" ): ±Øá{ξ = n}, n = 0, 1, 2, · · · èy©ßKdV«˙™k P(η = k) = X∞ n=0 P(η = k|ξ = n)P(ξ = n) = X∞ n=k  n k  p k q n−k λ n n! e −λ = X∞ n=k (λq) n−k k!(n − k)!e −λ (λp) k = (λp) k k! e −λp, k = 0, 1, 2, · · · .# ix

2.3.2常见连续型分布 l.均匀分布(Uniform distribution)设ab. 2.指数分布(Exponential distribution)如果分布F(x)具有密度函数 -{8 (2.3.11) 0,xs+t|ξ>s)=P(ξ>t),Hs>0,t>0. (2.3.12) 例2.3.7.设X表示某种电子元件的寿命，F(x)为其分布函数。若假设元件无老化，即元件在时 刻x正常工作的条件下，其失效率保持为某个常数入，与x无关。试证明X服从指数分布。 解：失效率即单位时间内失效的概率，因此由题设知 P(x≤X≤x+hX>x)/h=λ，h→0 因为 Pe≤X≤r+hMX>)=P{≤X≤t+X>》=Fe+)-F回 P(X>) 1-F(x) 所以有 F(x) Pe≤X≤x+X>/h=-F阿=入 即得到微分方程品=入，解此方程得到 F(x)=1-e-z X

2.3.2 ~ÑÎY.©Ÿ 1. ˛!©Ÿ(Uniform distribution) a b. 2. çÍ©Ÿ(Exponential distribution) XJ©ŸF(x)‰kó›ºÍ f(x) = ( λe−λx, x ≥ 0 0, x s + t | ξ > s) = P(ξ > t), ∀ s > 0, t > 0. (2.3.12) ~2.3.7. XL´,´>fáÆ·ßF(x)蟩ŸºÍ"ebáÃPzß=á3û èx~Ûä^áeߟè,á~ÍλßÜxÃ'"£y²X—lçÍ©Ÿ" )µî«=¸†ûmSîV«ßœddK P(x ≤ X ≤ x + h|X > x)/h = λ, h → 0 œè P(x ≤ X ≤ x + h|X > x) = P({x ≤ X ≤ x + h}{X > x}) P(X > x) = F(x + h) − F(x) 1 − F(x) §±k lim h→0 P(x ≤ X ≤ x + h|X > x)/h = F 0 (x) 1 − F(x) = λ =á©êß F 0 (x) 1−F(x) = λ,)dêß F(x) = 1 − e −λx x