第三章随机变量的数字特征 3.1数学期望（均值）及中位数 2 3.l.1数学期望(Expectation) 2 3.1.2数学期望的性质... 12 3.1.3条件期望(Conditional Mean).···. 17 3.1.4中位数(Median)........ 22 Previous Next First Last Back Forward 1
第三章随机变量的数字特征 3.1 数学期望 (均值) 及中位数 . . . . . . . . . . . 2 3.1.1 数学期望 (Expectation) . . . . . . . . 2 3.1.2 数学期望的性质 . . . . . . . . . . . . . 12 3.1.3 条件期望 (Conditional Mean) . . . . . 17 3.1.4 中位数 (Median) . . . . . . . . . . . . 22 Previous Next First Last Back Forward 1
随机变量的性质描述 1.随机变量的分布函数是对随机变量的概率性质最完整的刻画」 2.有些时候我们更关心随机变量的某方面“特征”（完全由分布函 数决定的)： ·某行业工人的平均工资（这里工资的分布情况不是最关心 的)，或者某行业工人的工资散布程度 3.能够刻画随机变量某些方面的性质特征的量称为随机变量的数 字特征。 ·度量”中心”：期望，中位数 ·度量散布程度：方差，绝对偏差，极差 ·分布形状：偏度系数，峰度系数 。相关程度：相关系数 Previous Next First Last Back Forward 1
随机变量的性质描述 1. 随机变量的分布函数是对随机变量的概率性质最完整的刻画. 2. 有些时候我们更关心随机变量的某方面 “特征”(完全由分布函 数决定的): • 某行业工人的平均工资 (这里工资的分布情况不是最关心 的), 或者某行业工人的工资散布程度 3. 能够刻画随机变量某些方面的性质特征的量称为随机变量的数 字特征。 • 度量” 中心”: 期望, 中位数 • 度量散布程度: 方差, 绝对偏差, 极差 • 分布形状: 偏度系数, 峰度系数 • 相关程度: 相关系数 Previous Next First Last Back Forward 1
3.1 ,数学期望（均值）及中位数 3.1.1 数学期望(Expectation) 数学期望也称均值(Mean),是随机变量的一个最基本的数字特 征.我们先看如下的一个例子 甲乙两人赌技相同，各出赌金100元，约定先胜三局者为胜，取 TExample 得全部200元.现在甲胜2局乙胜1局的情况下中止，问赌本该如何 分？ ⊥Example 解：如果继续赌下去而不中止，则甲有3/4的概率取胜，而乙胜的概 率为1/4.所以，在甲胜2局乙胜1局的这个情况下，甲能期望“得 到”的数目，应当确定为 3 200×二+0×三=150（元）： Previous Next First Last Back Forward 2
3.1 数学期望 (均值) 及中位数 3.1.1 数学期望 (Expectation) 数学期望也称均值 (Mean), 是随机变量的一个最基本的数字特 征. 我们先看如下的一个例子 ↑Example 一甲乙两人赌技相同, 各出赌金 100 元, 约定先胜三局者为胜, 取 得全部 200 元. 现在甲胜 2 局乙胜 1 局的情况下中止, 问赌本该如何 分? ↓Example 解: 如果继续赌下去而不中止, 则甲有 3/4 的概率取胜, 而乙胜的概 率为 1/4. 所以, 在甲胜 2 局乙胜 1 局的这个情况下, 甲能期望 “得 到” 的数目, 应当确定为 200 × 3 4 + 0 × 1 4 = 150(元), Previous Next First Last Back Forward 2
而乙能“期望”得到的数目，则为 20×+0×=50(元). 如果引进一个随机变量X,X等于在上述局面（甲值2胜乙1 胜)之下，继续赌下去甲的最终所得，则X有两个可能的值：200和 0,其概率分别为3/4和1/4.而甲的期望所得，即X的“期望”值， 即等于 X的可能值与其概率之积的累加 这就是“数学期望”这个名称的由来.另一个名称“均值”形象易懂， 也很常用。 Previous Next First Last Back Forward 3
而乙能 “期望” 得到的数目, 则为 200 × 1 4 + 0 × 3 4 = 50(元). 如果引进一个随机变量 X, X 等于在上述局面 (甲值 2 胜乙 1 胜) 之下, 继续赌下去甲的最终所得, 则 X 有两个可能的值: 200 和 0, 其概率分别为 3/4 和 1/4. 而甲的期望所得, 即 X 的 “期望” 值, 即等于 X的可能值与其概率之积的累加 这就是 “数学期望” 这个名称的由来. 另一个名称 “均值” 形象易懂, 也很常用. Previous Next First Last Back Forward 3
甲乙两人射击水平如下所示 TExample 击中环数 8 9 10 击中环数 8 9 10 甲： 乙 概率 0.3 0.10.6 概率 0.20.5 0.3 试问两人谁的水平高？ ⊥Example 假设两人分别射击N次，则他们各自射击的总环数大概为 甲：8*0.3N+9*0.1N+10*0.6N=9.3N 乙：8*0.2N+9*0.5N+10*0.3N=9.1N 因此，在N次射击后，两人的平均击中环数分别为9.3和91，因 此甲的水平稍高一些， Previous Next First Last Back Forward 4
↑Example 甲乙两人射击水平如下所示 甲: 击中环数 8 9 10 概率 0.3 0.1 0.6 乙: 击中环数 8 9 10 概率 0.2 0.5 0.3 试问两人谁的水平高? ↓Example 假设两人分别射击 N 次, 则他们各自射击的总环数大概为 甲: 8 ∗ 0.3N + 9 ∗ 0.1N + 10 ∗ 0.6N = 9.3N 乙: 8 ∗ 0.2N + 9 ∗ 0.5N + 10 ∗ 0.3N = 9.1N 因此, 在 N 次射击后, 两人的平均击中环数分别为 9.3 和 9.1, 因 此甲的水平稍高一些. Previous Next First Last Back Forward 4
下面我们就给出数学期望（均值）的定义： 对一般的离散型分布，我们有 设X为一离散型随机变量，其分布律为 P(X=x)=p,i=1,2,… 如果 云l<+o,则称 Definition 为随机变量X的数学期望（均值），用符号EX表示.若 ∑lp:=十o∞，则称X的数学期望（均值）不存在. Previous Next First Last Back Forward 5
下面我们就给出数学期望 (均值) 的定义: 对一般的离散型分布, 我们有 设 X 为一离散型随机变量, 其分布律为 P(X = xi) = pi, i = 1, 2, · · · 如果 ∑∞ i=1 |xi|pi < +∞, 则称 ∑∞ i=1 xipi 为随机变量 X 的数学期望 (均值), 用符号 EX 表示. 若 ∑∞ i=1 |xi|pi = +∞, 则称 X 的数学期望 (均值) 不存在. Definition Previous Next First Last Back Forward 5
对连续型随机变量，其数学期望的定义如下 不妨设连续型随机变量X的密度f(x)的非零取值范围为(a,b),a< b可以为干©，则可以通过将X离散化来考虑X的期望： 1.取点集{x},使得a=xo<x1<..<xm=b,区间长为 △x1=x-xi-1. 2.定义一个新的离散型随机变量X',其所有可能取值点为{t}, x-1<t:≤xa且有分布律 P(X'=t)=pi=P(xi-1<X≤xi)≈f(t)△xi 3.从而有离散型随机变量期望的定义有：（△x:→0） EX'=∑tp≈∑taJ)△r→xfe)dr=EX<o, 如果∑zp:≈∑lfta)△x:→ Ixlf(z)dx <oo. Previous Next First Last Back Forward 6
对连续型随机变量, 其数学期望的定义如下 不妨设连续型随机变量 X 的密度 f(x) 的非零取值范围为 (a, b), a < b 可以为 ∓∞, 则可以通过将 X 离散化来考虑 X 的期望: 1. 取点集 {xi}, 使得 a = x0 < x1 < . . . < xn = b, 区间长为 ∆xi = xi − xi−1. 2. 定义一个新的离散型随机变量 X′ , 其所有可能取值点为 {ti}, xi−1 < ti ≤ xi 且有分布律 P(X ′ = ti) = pi = P(xi−1 < X ≤ xi) ≈ f(ti)∆xi 3. 从而有离散型随机变量期望的定义有:(∆xi → 0) EX′ = ∑tipi ≈ ∑tif(ti)∆xi → ∫ R xf(x)dx := EX < ∞, 如果∑|xi|pi ≈ ∑|ti|f(ti)∆xi → ∫ R |x|f(x)dx < ∞. Previous Next First Last Back Forward 6
如果连续型随机变量X的概率密度函数为∫(x),则当 rlf(r)dr<oo 时，我们将积分 rf(x)dx Definition 的值称为X的数学期望，记作EX.如果 lf(x)dr =oo, 则称X的数学期望不存在. Previous Next First Last Back Forward 7
如果连续型随机变量 X 的概率密度函数为 f(x), 则当 ∫ ∞ −∞ |x|f(x)dx < ∞ 时, 我们将积分 ∫ ∞ −∞ xf(x)dx 的值称为 X 的数学期望, 记作 EX. 如果 ∫ ∞ −∞ |x|f(x)dx = ∞, 则称 X 的数学期望不存在. Definition Previous Next First Last Back Forward 7
下面求解几种常见分布的数学期望， 1.二项分布X~B(n,p 2.Poisson分布X~P(入)： 3.均匀分布X~U[a,: Previous Next First Last Back Forward 8
下面求解几种常见分布的数学期望. 1. 二项分布 X ∼ B(n, p): EX = ∑n k=0 k. n! k!(n − k)! p k (1 − p) n−k = np · n∑−1 i=0 (n − 1)! i!(n − 1 − i)! p i (1 − p) n−1−i = np. 2. Poisson 分布 X ∼ P(λ): EX = λ. 3. 均匀分布 X ∼ U[a, b]: EX = ∫ b a x 1 b − a dx = a + b 2 . Previous Next First Last Back Forward 8
4.正态分布X~N(4,o2): 5.指数分布X~Exp(A): 6.卡方分布X~X品： 7.t分布X~tn: Previous Next First Last Back Forward 9
4. 正态分布 X ∼ N(µ, σ2 ): EX = ∫ +∞ −∞ x √ 2πσ e − (x−µ) 2 2σ2 dx = ∫ +∞ −∞ (σy + µ). 1 √ 2π e −y 2/2dy = µ. 5. 指数分布 X ∼ Exp(λ): EX = ∫ ∞ 0 xλe−λxdx = 1/λ. 6. 卡方分布 X ∼ χ 2 n: EX = n. 7. t 分布 X ∼ tn: EX = 0. Previous Next First Last Back Forward 9