第二章随机变量及其分布 2.2 连续型随机变量. 1 2.2.1 正态分布 11 2.2.2 指数分布 16 2.2.3 均匀分布 21 Previous Next First Last Back Forward 1
第二章随机变量及其分布 2.2 连续型随机变量 . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2.2.1 正态分布 . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.2 指数分布 . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.3 均匀分布 . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Previous Next First Last Back Forward 1
2.2 连续型随机变量 离散随机变量只取有限个或可数无限个值，而连续型随机变量取 不可数个值.这就决定了不能用描述离散型随机变量的办法来刻划连 续型随机变量. 考虑一个例子.假定步枪射手瞄准靶子在固定的位置进行一系 列的射击.令X是命中点与过靶心垂线的水平偏离值，设X取值 【-5cm,5cm.X是一个连续随机变量. 为了计算X落在某区间的概率，将【-5，)分为长为1厘米的 小区间.对于每个小区间，以落在这个小区间的弹孔数除以弹孔总数 得到落在这个区间的弹孔的相对频数.设总弹孔数为100.我们得到 下表： Previous Next First Last Back Forward 1
2.2 连续型随机变量 离散随机变量只取有限个或可数无限个值，而连续型随机变量取 不可数个值. 这就决定了不能用描述离散型随机变量的办法来刻划连 续型随机变量. 考虑一个例子. 假定步枪射手瞄准靶子在固定的位置进行一系 列的射击. 令 X 是命中点与过靶心垂线的水平偏离值，设 X 取值 [−5cm, 5cm]. X 是一个连续随机变量. 为了计算 X 落在某区间的概率，将 [−5, 5] 分为长为 1 厘米的 小区间. 对于每个小区间，以落在这个小区间的弹孔数除以弹孔总数 得到落在这个区间的弹孔的相对频数. 设总弹孔数为 100. 我们得到 下表： Previous Next First Last Back Forward 1
区间 弹孔数 相对频数 [-5,-4 1 0.01 [-4,-3 1 0.01 [-3,-2 6 0.06 [-2,-1刂 13 0.13 【-1,0] 24 0.24 [0,1] 27 0.27 [1,2 16 0.16 [2,3 7 0.07 [3,4 3 0.03 [4,司 2 0.02 Previous Next First Last Back Forward 2
区间 弹孔数 相对频数 [−5, −4] 1 0.01 [−4, −3] 1 0.01 [−3, −2] 6 0.06 [−2, −1] 13 0.13 [−1, 0] 24 0.24 [0, 1] 27 0.27 [1, 2] 16 0.16 [2, 3] 7 0.07 [3, 4] 3 0.03 [4, 5] 2 0.02 Previous Next First Last Back Forward 2
上表可以用下图来表示： 图2.1：弹孔位点分布图 我们注意每个矩形的底等于1，高为该矩形的区间所对应的相对 频数，所以面积为相对频数.全部矩形的面积是1.对于【-5,5]的任 一子区间，我们可以根据上图估计弹孔落在该子区间的概率.例如要 估计0<X≤2的概率，只要把区间中的两个矩形面积加起来，结 Previous Next First Last Back Forward 2
上表可以用下图来表示： 图 2.1: 弹孔位点分布图 我们注意每个矩形的底等于 1，高为该矩形的区间所对应的相对 频数，所以面积为相对频数. 全部矩形的面积是 1. 对于 [−5, 5] 的任 一子区间，我们可以根据上图估计弹孔落在该子区间的概率. 例如要 估计 0 < X ≤ 2 的概率，只要把区间中的两个矩形面积加起来，结 Previous Next First Last Back Forward 3
果得到0.43.再譬如说要估计-0.25<X≤1.5中的概率，我们应 当计算该区间上的面积，结果得到： 0.06+0.27+0.08=0.41. 如果第二批的100颗子弹射在靶子上，我们就将获得另一个经 验分布.它与第一个经验分布多半是不同的，尽管它们的外表可能相 似.如果把观察到的相对频数看作为某一“真”概率的估计，则我们 假定有一个函数，它将给出任何区间中的精确概率.这些概率由曲线 下的面积给出.由此我们得到如下定义： Previous Next First Last Back Forward 4
果得到 0.43. 再譬如说要估计 −0.25 < X ≤ 1.5 中的概率，我们应 当计算该区间上的面积，结果得到： 0.06 + 0.27 + 0.08 = 0.41. 如果第二批的 100 颗子弹射在靶子上，我们就将获得另一个经 验分布. 它与第一个经验分布多半是不同的，尽管它们的外表可能相 似. 如果把观察到的相对频数看作为某一 “真” 概率的估计，则我们 假定有一个函数，它将给出任何区间中的精确概率. 这些概率由曲线 下的面积给出. 由此我们得到如下定义： Previous Next First Last Back Forward 4
X称为连续型随机变量，如果存在一个函数∫，叫做X的 概率密度函数，它满足下面的条件： 1.对所有的-oo<x<+,有f(x)≥0； Definition 2.∫f(x)d=1; 3.对于任意的-oo<a≤b<+o,有P(a≤X≤b)= f(x)dr. 注1.对于任意的-o<x<+oo,有P(X=x)=f(u)du=0. Previous Next First Last Back Forward 5
X 称为连续型随机变量，如果存在一个函数 f，叫做 X 的 概率密度函数，它满足下面的条件： 1. 对所有的 −∞ < x < +∞, 有 f(x) ≥ 0; 2. ∫ +∞ −∞ f(x)dx = 1; 3. 对于任意的 −∞ < a ≤ b < +∞, 有 P(a ≤ X ≤ b) = ∫ b a f(x)dx. Definition 注 1. 对于任意的 −∞ < x < +∞, 有 P(X = x) = ∫ x x f(u)du = 0. Previous Next First Last Back Forward 5
注2.如果∫只取某有限区间[α，)的值，令 ( f(z) x∈[a,, 其它 则了是定义在(-∞，+o©)上的密度函数，且f(x)和了(x)给出相同 的概率分布. 注3.假设有总共一个单位的质量连续地分布在a≤x≤b上.那么 f(x)表示在点x的质量密度且∫f(x)d表示在区间[c,d上的全 部质量. 由于连续随机变量的概率是用积分给出的，我们可以直接处理密 度的积分而不是密度本身 Previous Next First Last Back Forward 6
注 2. 如果 f 只取某有限区间 [a, b] 的值, 令 ˜f(x) = { f(x) x ∈ [a, b], 0 其它. 则 ˜f 是定义在 (−∞, +∞) 上的密度函数, 且 f(x) 和 ˜f(x) 给出相同 的概率分布. 注 3. 假设有总共一个单位的质量连续地分布在 a ≤ x ≤ b 上. 那么 f(x) 表示在点 x 的质量密度且 ∫ d c f(x)dx 表示在区间 [c, d] 上的全 部质量. 由于连续随机变量的概率是用积分给出的, 我们可以直接处理密 度的积分而不是密度本身. Previous Next First Last Back Forward 6
设X为一连续型随机变量.则 F)= f(u)du, -0∞<x<+0∞ (2.1) Definition 称为X的（累积）分布函数 注4.F(x)表示的是随机变量的数值小于或等于x的概率，即 F(x)=P(X≤x)-o<x<+o. (2.2) 由式(22)定义的F为X的（累积）分布函数的一般定义.它适用于 任意的随机变量.设X为一离散型随机变量，它以概率{P1,,P,…} 取值{a1,,an,}.则 F)= ai≤x Previous Next First Last Back Forward
设 X 为一连续型随机变量. 则 F(x) = ∫ x −∞ f(u)du, −∞ < x < +∞ (2.1) 称为 X 的 (累积) 分布函数. Definition 注 4. F(x) 表示的是随机变量的数值小于或等于 x 的概率, 即 F(x) = P(X ≤ x) − ∞ < x < +∞. (2.2) 由式 (2.2) 定义的 F 为 X 的 (累积) 分布函数的一般定义. 它适用于 任意的随机变量. 设 X 为一离散型随机变量, 它以概率 {p1, ..., pn, ..} 取值 {a1, ..., an, ...}. 则 F(x) = ∑ ai≤x pi. Previous Next First Last Back Forward 7
分布函数F具有下列性质： (1)F是非减的函数： 对任何x1<x2都有，F(x2)-F(x1)=P(x1<X≤c2)≥0 (2)0≤F(x)≤1，x∈R,且limF(x)=0:1imF(x)=1. (3)F(x)右连续： Previous Next First Last Back Forward 8
分布函数 F 具有下列性质: (1) F 是非减的函数; 对任何 x1 < x2 都有, F(x2) − F(x1) = P(x1 < X ≤ x2) ≥ 0 (2) 0 ≤ F(x) ≤ 1, x ∈ R, 且 lim x→−∞ F(x) = 0; lim x→+∞ F(x) = 1. (3) F(x) 右连续; Previous Next First Last Back Forward 8
F)=P(X≤x)=∑P(X=a)=∑p i:a≤ 对于连续随机变量，如果F(x)在点x的导数存在，则 f(x)=F'(x). 连续随机变量的分布函数的图象如下图所示 Previous Next First Last Back Forward 9
F(x) = P(X ≤ x) = ∑ i:ai≤x P(X = ai) = ∑ i:ai≤x pi 对于连续随机变量, 如果 F(x) 在点 x 的导数存在, 则 f(x) = F ′ (x). 连续随机变量的分布函数的图象如下图所示. Previous Next First Last Back Forward 9