第三章随机变量的数字特征 3.2 方差和矩 1 3.2.1方差(Variance 1 3.2.2矩.. 8 3.3协方差和相关系数 11 3.3.1协方差... 12 3.3.2相关系数 15 3.4其他一些数字特征与相关函数.········ 23 Previous Next First Last Back Forward 1
第三章随机变量的数字特征 3.2 方差和矩 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3.2.1 方差 (Variance) . . . . . . . . . . . . . 1 3.2.2 矩 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.3 协方差和相关系数 . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.3.1 协方差 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.3.2 相关系数 . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.4 其他一些数字特征与相关函数 . . . . . . . . . 23 Previous Next First Last Back Forward 1
3.2 方差和矩 3.2.1方差(Variance) 方差是刻画随机变量在其中心位置附近的散布程度.在实际应用 中，方差不仅是信息度量的标准也是风险度量的标准。 甲乙两人射击水平如下所示 TExample 击中环数 8 9 10 击中环数 8 9 10 甲： 乙 概率 0.3 0.1 0.6 概率 0.2 0.5 0.3 试问两人谁的水平更稳定？ ⊥Example Previous Next First Last Back Forward
3.2 方差和矩 3.2.1 方差 (Variance) 方差是刻画随机变量在其中心位置附近的散布程度. 在实际应用 中, 方差不仅是信息度量的标准也是 风险度量的标准. ↑Example 甲乙两人射击水平如下所示 甲: 击中环数 8 9 10 概率 0.3 0.1 0.6 乙: 击中环数 8 9 10 概率 0.2 0.5 0.3 试问两人谁的水平更稳定? ↓Example Previous Next First Last Back Forward 1
由上一讲知道，两人每次射击的期望击中环数分别为9.3和9.1， 因此，两人射击N次的方差为 0.3N*(8-9.3)2+0.1N*(9-9.3)2+0.6N*(10-9.3)2=0.81N 0.2W*(8-9.1)2+0.5N*(9-9.1)2+0.3N*(10-9.1)2=0.49N 所以乙的水平更稳定。 Previous Next First Last Back Forward 2
由上一讲知道, 两人每次射击的期望击中环数分别为 9.3 和 9.1, 因此, 两人射击 N 次的方差为 0.3N ∗ (8 − 9.3)2 + 0.1N ∗ (9 − 9.3)2 + 0.6N ∗ (10 − 9.3)2 = 0.81N 0.2N ∗ (8 − 9.1)2 + 0.5N ∗ (9 − 9.1)2 + 0.3N ∗ (10 − 9.1)2 = 0.49N 所以乙的水平更稳定。 Previous Next First Last Back Forward 2
设X为随机变量，分布为F,若X平方可积，则称 Var(X)=E(X-EX)2=a2 Definition 为X(或分布F)的方差，其平方根√War(X)=g(取正 值)称为X(或分布F)的标准差. 显然有 Var(X)=EX2-(EX)2. Previous Next First Last Back Forward 3
设 X 为随机变量, 分布为 F, 若 X 平方可积, 则称 V ar(X) = E(X − EX) 2 = σ 2 为 X (或分布 F) 的方差, 其平方根 √ V ar(X) = σ (取正 值) 称为 X (或分布 F) 的标准差. Definition 显然有 V ar(X) = EX2 − (EX) 2 . Previous Next First Last Back Forward 3
对随机变量的方差，我们可以得到 定理1.设c为常数.则有 1.0≤Var(X)=EX2-(EX)2,因此Var(X)≤EX2. 2.Var(cX)=c2Var(X) 3.Var(X)=0当且仅当P(X=c)=1,其中c=EX.此时， 我们称X退化到常数C. 4.对任何常数c有，Var(X)≤E(X-c)2,其中等号成立当且仅 当c=EX. 5.如果随机变量X和Y相互独立，a,b为常数.则Var(aX+ bY)=a2Var(X)+b2Var(Y). 证明上述定理，我们介绍一个引理。 Previous Next First Last Back Forward 4
对随机变量的方差, 我们可以得到 定理 1. 设 c 为常数. 则有 1. 0 ≤ V ar(X) = EX2 − (EX) 2 , 因此 V ar(X) ≤ EX2 . 2. V ar(cX) = c 2V ar(X) 3. V ar(X) = 0 当且仅当 P(X = c) = 1, 其中 c = EX. 此时, 我们称 X 退化到常数 c. 4. 对任何常数 c 有, V ar(X) ≤ E(X − c) 2 , 其中等号成立当且仅 当 c = EX. 5. 如果随机变量 X 和 Y 相互独立, a, b 为常数. 则 V ar(aX + bY ) = a 2V ar(X) + b 2V ar(Y ). 证明上述定理，我们介绍一个引理。 Previous Next First Last Back Forward 4
引理1.如果ξ为退化于0的随机变量，则有E2=0:反之，如果 随机变量的2阶矩存在而且E2=0,则E必为退化于0的随机 变量. Previous Next First Last Back Forward 5
引理 1. 如果 ξ 为退化于 0 的随机变量，则有 Eξ2 = 0；反之，如果 随机变量 ξ 的 2 阶矩存在而且 Eξ2 = 0，则 ξ 必为退化于 0 的随机 变量. Proof. 如果 ξ 为退化于 0 的随机变量，则有 P(ξ = 0) = 1, 故有 Eξ2 = 0。反之，如果随机变量 ξ 平方可积，并且 Eξ2 = 0，但是 ξ 不退化于 0，则有 P(ξ = 0) 0 和 0 δ) > ϵ，于是 Eξ2 > δ2 ϵ。导致矛盾，所以 ξ 必退化到 0. Previous Next First Last Back Forward 5
常见分布的方差： 1.二项分布X~B(m,p: Var(X)=np(1-p) 2.Poisson分布X~P(A): Var(X)=λ 3.均匀分布X~U[a,: Var(X)=(-a) 12 4.指数分布X~Exp(A): Var(X)=1/X2 5.正态分布X~N(4,σ2) Var(X)=a2 Previous Next First Last Back Forward 6
常见分布的方差： 1. 二项分布 X ∼ B(n, p): V ar(X) = np(1 − p) 2. Poisson 分布 X ∼ P(λ): V ar(X) = λ 3. 均匀分布 X ∼ U[a, b]: V ar(X) = (b − a) 2 12 4. 指数分布 X ∼ Exp(λ): V ar(X) = 1/λ 2 5. 正态分布 X ∼ N(µ, σ2 ): V ar(X) = σ 2 Previous Next First Last Back Forward 6
我们称 x*= X-EX VVar(X) Definition 为X的标准化随机变量.易见EX*=0,Var(X*)=1. 我们引入标准化随机变量是为了消除由于计量单位的不同而给随 机变量带来的影响.例如，我们考察人的身高，那么当然可以以米为单 位，得到X1,也可以以厘米为单位，得到X2.于是就有得到X2= 100X1.那么这样一来X2与X1的分布就有所不同.这当然是一个 不合理的现象.但是通过标准化，就可以消除两者之间的差别，因为我 们有X=X.对于正态分布，我们经过标准化Y=(X-)/o,就 可以得出均值为0方差为1的正态分布，即标准正态分布 Previous Next First Last Back Forward
我们称 X ∗ = X − EX √ V ar(X) 为 X 的标准化随机变量. 易见 EX∗ = 0, V ar(X ∗ ) = 1. Definition 我们引入标准化随机变量是为了消除由于计量单位的不同而给随 机变量带来的影响. 例如, 我们考察人的身高, 那么当然可以以米为单 位, 得到 X1, 也可以以厘米为单位, 得到 X2. 于是就有得到 X2 = 100X1. 那么这样一来, X2 与 X1 的分布就有所不同. 这当然是一个 不合理的现象. 但是通过标准化, 就可以消除两者之间的差别, 因为我 们有 X ∗ 2 = X ∗ 1 . 对于正态分布, 我们经过标准化 Y = (X − µ)/σ, 就 可以得出均值为 0 方差为 1 的正态分布, 即标准正态分布. Previous Next First Last Back Forward 7
3.2.2矩 下面我们引入矩(Moments)的概念，并将之与我们前面所说的 期望、方差建立联系. 设X为随机变量，c为常数，r为正整数，则E[(X-c)门 Definition 称为X关于c点的r阶矩. 比较重要的有两个情况： 1.c=0.这时ak=EXr称为X的r阶原点矩 2.c=EX.这时k=E[(X-EX)]称为X的r阶中心矩 容易看出，一阶原点矩就是期望，二阶中心矩就是X的方差Var(X). Previous Next First Last Back Forward 8
3.2.2 矩 下面我们引入矩 (Moments) 的概念，并将之与我们前面所说的 期望、方差建立联系. 设 X 为随机变量, c 为常数, r 为正整数, 则 E[(X − c) r ] 称为 X 关于 c 点的 r 阶矩. Definition 比较重要的有两个情况: 1. c = 0. 这时 αk = EXr 称为 X 的 r 阶原点矩. 2. c = EX. 这时 µk = E[(X − EX) r ] 称为 X 的 r 阶中心矩. 容易看出, 一阶原点矩就是期望, 二阶中心矩就是 X 的方差 V ar(X). Previous Next First Last Back Forward 8
·偏度系数 n=]== E[X-)3] (E[X-4)2])32 ooyk同 Negrvely skemed 企syGe Previous Next First Last Back Forward 9
• 偏度系数 γ1 = E [( X−µ σ )3 ] = µ3 σ3 = E [ (X − µ) 3 ] (E [ (X − µ) 2 ] ) 3/2 Previous Next First Last Back Forward 9