维香资锐hp:www.cqvip.com 2008年9月 哈尔滨金融高等专科学校学报 第3期 Journal of Harbin Senior Finance College 总第95期 论数学期望定义中“绝对收敛” 孙伟 (哈尔滨金融高等专科学校基础部，黑龙江哈尔滨150030) 摘要：从收敛分为条件收敛与绝收效的角度出发，通过具体例子论述了条件收敛的级数，会因为更改级数各项的顺 序而导致其和发生改变。而绝对收效的级数，更改绝对收敛级数中各项的位置，其和保持不变。离散型随机变量的期望是 一个确定的数值，期望或均值不会因为这个式子中各项积的顾序的更改，而改变其值。能够保证这个结论成立的只有绝对 收敛。 关键词：数学期望；绝对收敛；级数 我们在概率论学习中，在学习数学期望定义时，无论 是学生还是有些教师经常被数学期望定义中“绝对收敛” 1分分古日号g-12 所困惑。经常问，为什么收敛不可以？。下面以离散型随机 根据收敛的级数满足结合律并且和是不变的。将(2) 变量为例，探讨数学期望定义中“绝对收敛”的意义。 加上括号。 离散型随机变量期望定义：离散型随机变量￡的分布 律为 P(E=x}=P,(k=1,2L),若级数名P,绝对收敛， 则名P称为随机变量的数学期望，记作E8,即 “2+-L 3) 111111 E=++xP+L 24+6-8+0i2+-L 由定义，我们看到，当离散型随机变量￡的分布律为P =1-分+号+)=分 {￡=x}=P.(k=1,2L)一旦确定，且它的期望或者说均 值存在的话，x,P1+x2+L+x:P:+L就是一个确定的数值， 由此说明将条件收敛的级数(1)更改一些项的顺序 后， 该数值不会因为这个式子中，P,+x2P2+L+xk+L各项 积的顺序的更改，而改变其值。这也是要求x,P,+x,P,+L 级数的和发生了改变，且为宁： +x,P。+L“绝对收敛“，而不是“收敛”的关键所在。 由数学分析，我们知道，级数收敛分为条件收敛与绝对 我们再作如下调整。将(1)两端同乘以分。得到 收敛。对于条件收敛的级数，如果更改级数各项的位置，或 者说交换级数项的顺序所得到的新形式的级数，如果和存 分+石言+0+0立+1=分(4) 11111 在，其和是否保持不变？我们来看下面的例子 可以写成 级数三=1-7+兮-+1+(-1)女+1条件 0+分+0-++0-+0+0+0++1 1 收敛，设其和为 29 (4)》 即1-之+号+-+(-)+L=s (1) 将(1)与(4)两端对应相加得到 现在把级数(1)的一些项的顺序作如下调整 1+0+片+0~之+0+行+0+片-号+号+0+1 〔收稿日期)2004-03-31 71
2008年 9月 第 3期 哈尔滨金融高 等专科学校学报 JournalofHarbinSeniorFinanceCollege 总第 95期 论数学期望定义中“绝对收敛” 孙 伟 (哈尔滨金融高等专科学校 基础部，黑龙江 哈尔滨 150030) 摘 要 ：从 收敛分为条件收敛 与绝收敛的角度 出发 ，通过具 体例子论述 了条件收敛 的级数 ，会 因为更 改级数 各项的顺 序 而导致其和发 生改变。而绝对收敛的级数 ，更改绝对收敛 级数 中各项的位置 ，其 和保持 不变。 离散 型随机 变量的期 望是 一 个确定的数值 。期望或均值不会 因为这个式子 中各项积的顺序的更改 ，而改变其值 。能够保证 这个结论成 立的只有 绝对 收 敛 。 关 键词 ：数 学期 望 ；绝 对收 敛 ；级 数 我们在概率论 学习 中，在学 习数学 期望 定义 时 ，无 论 是 学生 还是有 些 教师经 常被数 学期望 定义 中“绝 对收敛 ” 所 困惑。经 常问 ，为什么收敛不可 以?。下面 以离散型随机 变量 为例 ，探讨数学期望定义 中“绝对收敛”的意义 。 离散型 随机 变量期 望定义 ：离散 型随机变 量￡ 的分布 律 为 P{￡ ：x)：P(k=1，2L)，若级数． ∑， P 绝 对 收 敛 ， 则 ∑xkp 称 为 随 机 变 量 的数 学 期 望 ，记 作 E￡ ．即 E￡ ： ． ∑ P =xtp1+x2p2+￡+ P +￡ 由定义 ，我 们看到 ，当离散 型随机变量￡ 的分 布律为 P {￡ = }：P (k=l，2￡)一旦 确定 ，且它 的期 望或 者说 均 值存在的话 ，。P + 2+￡+xkPI+￡就是一个 确定 的数值 ， 该数值不会因为这个式子 中 。P。+X2P。+￡+xkpk+￡各 项 积的顺序的更改 ，而改变 其值 。这也是要求 。P + P：+￡ + P + 绝对收敛 “，而不是“收敛 ”的关键所在 。 由数学分析 ，我们知道 ，级数 收敛 分为条件 收敛 与绝对 收敛 。对 于条 件收敛的级数 ，如果更改级数各项的位置 ，或 者说 交换级数 项的顺序所得 到的新形 式的级数 ，如 果和存 在 ，其和是 否保持不变 ?我们来看下面 的例子 级数霉：-一÷+÷一÷+￡+(一1)．-1÷+L条件 收敛 ，设其和为 即1一寺 ÷ 一÷ L(一1) +L=s (1) 现在把级数 (1)的一些项 的顺序作如下调整 [收稿 15t期] 2004—03—31 卜一 ÷丁一÷百+÷了一吉百一÷虿+÷了一÷+一一Lc(2，) 根据收敛 的级数满足结合 律并且和 是不 变的。将 (2) 加上括号 。 1一 —1— 一 — 1— + — 1— 一 — 1— 一 — 1— + — 1— 一 — 1— 一丁 一下 了 一百 一虿 了 一 +一一L = (1一÷)一百1+‘了1一1)～百1+‘了1一面1) 一 吉 一’L 3’ ： 一 + 一 + 一 + 一 L 2 4 。 6 8 10 12 — =丁1(卜 丁1 了1一下1+L)=丁1s 由此 说明将 条件 收敛 的 级数 (1)更 改 一些 项 的顺 序 后 ， 级数的和发生了改变，且为÷s 我们再作如下 调整 。将 (1)两端同乘以 。得到 ÷丁一÷丁+一÷百+而+o～一古百+儿L：丁1s (4) 可 以写 成 1 一 71 一 o+÷+o一÷+ +o 将 (1)与 (4)两端对应相加得到 +o+÷+o～÷+o+÷+o+÷一÷+÷+o+L ㈩ + ● 一 + O + m + O + 一0 一 维普资讯 http://www.cqvip.com
数普黄说htp:www.cqvip.com 、3 8 (5) 所以，新级数∑“：的绝对收敛，又因为 由(5)看到，左端就是在级数(1)的基础上更换了顺 8u:=名（知：-如）=-0 白1 序，然而，级数(1)的和却变为 3 即三=三“，和不变 由此看到，条件收敛的级数，如果更改级数各项的顺序 由上所述，更改绝对收敛的级数中各项的顺序所得到 所得到的新形式的级数，如果和存在，其和是改变的。但是 的新级数，是收敛的，且其和保持不变。 一个绝对收敛的级数，更改级数中各项的顺序所得到的新 事实上，由黎曼定理，如果一个级数Σ“。条件收敛，则 级数，是否收敛，如果收敛，其和是否改变？ 适当地交换各项的位置，可以作成收敛于任意给定的数。 设级数Σ绝对收敛，且∑=5，更改级数∑“中项的顺 的收敛级数，还可以作成发散级数。而由绝对收敛级数的 性质，更改绝对收敛的级数中各项的顺序所得到的新级数， 序所得到的新级数为。下面分两种情况探讨，Σ“：是否收 1 是收敛的，且其和保持不变。因此，在期望定义中，要求 敛，且是否满足三- p,+xP2+L+P+L“绝对收敛”.而不是“收敛”。 在概率论的期望定义中，要求xP1+,P,+L+xP+L 1、当级数三是正项级数；更序后的新级数三“：也是 绝对收敛的前提下，才将x,P1+x,P:+L+xP:+L定义为 正项级数 随机变量￡的数学期望。在期望定义中若不是绝对收敛， 设新级数∑部分和为u1+“:+L+u:=s 就不能将xP,+2P,+L+xP:+L作为随机变量的数学期 望。·此时我们说期望或均值不存在。看下面的例子 由于 5=ui+ui+L+u:≤：+u:+L+u。+L=5 设随机变量2的取值为与=(-1)关k=1,23山 即正项级数∑“：的部分和有界，因而 相应的概率为卫，=文，k=1,23L 8“:收敛且1m5=5≤s 同理因为4：+42+“.≤“行+u+L+u。+L有 因为P≥0，三P:=1所以P是随机变量￡的概率分 布 5≤8 所以有s=s 即豆ua=盛 此时三P:+P+L+,+L 故当级数三“，是正项级数，更序后的新级数三“：收 =(-1)2*1-5-1) k=1 “k2名k 敛，且和不变 由10答号-若1-11 2、当级数三“，是任意级数。构造如下两个级数 也=，1+丝 0,=么。二也 得到名=含-1口 2 2 一般情况下，我们可能就误认为是随机变量的期望 显然 4。=va-t0. |4。I=v。+0。 但是 1=++写+ 召++ -+L 第 三”，三”都是正项级数，又因为 1 是调和级数，是发散的。即三x4P:不是绝对收敛。因 0≤v.≤lun0≤w≤iun 而已知三“，收敛所以三三，三如，是收敛的正项 而，名P:=-12不能作为随机变量￡的数学期望。随 级数， 机变量的期望不存在。 综上所述，在数学期望定义中，要求绝对收敛。就是因 设宫和=”，三，=如，则 n-1 为随机变量的数学期望是一个确定的数值，不会因为改变 三=3(0.-w,)=0-0 x,P,+x2P:+L+xP,+L中各项的位置，致使其数值发生 改变。绝对收敛的级数具有这样的性质。而条件收敛是无 三u1=三(o,+,）=0+“ 法保证这一性质的成立的。 参考文献 对于级数三“，的更换顺序的级数三“，同样相应于 [1]袁荫堂，概率论与数理统计[M了北京：中国人民大学出版社 三，三.也有更序后的，名0：都是正项级数，且由 1989,(12). [2]同济大学数学系微积分下册[M]北京：高等教有出版社 第一种情况已证明，它们都是收敛的且和保持不变。即 2000.(1). 即80=v,u1(o+w)=0+0。 [3]赵树规微积分[M]北京：中国人民大学出版社2002，(5) 责任编校：冯晶珩 72
： 2。 (、5) 由(5)看到 ，左 端就是 在 级数 (1)的基 础上 更换 了顺 序，然而，级数(1)的和却变为÷ s 由此看到 ，条件收敛 的级数 ．如果更改级数各项 的顺序 所得到的新形式 的级数 ，如 果和存在 ，其和是改变的 。但是 一 个绝对收敛 的级数 ，更改级数 中各项 的顺 序所 得到 的新 级数 ，是 否收敛 ，如果收敛 ，其和是否改变? 设 级 数 ∑绝 对 收 敛 ，且 ∑ =s，更 改 级 数 ∑ u 中 项 的 顺 _上n un ．1 I 序所得到 的新级数为。下面分两种情况探讨 ，∑u：是否收 敛 ，且是 否满足 ∑ =∑ “ 1、当级数 ∑Ⅱn 是正 项级数 ；更 序后 的新级 数n∑1 u：也是 正项级数 设新级数 ∑部分和为 u1+u；十￡+u：：s： u 由于 s：= + ；十￡+ ：≤ l+ 2十￡+ +L=s 即正项级数 ∑u：的部 分和有界 ，因而 n = l ∑ u：收 敛 且 lims：：s≤ s n = J … 同理 因为 1+“2+ ≤ + ；十￡ + ：十￡有 所 以 有 s，：s 即 ∑ uh=∑ u 故 当 级 数 ∑． u 是正 项级数 ．更 序后 的新级 数 ∑． u：收 敛 ，且和不变 2、当级数 ∑u 是任意级数 。构造如下两个级 数 I I+ 一 n — T 显 然 ： 一W I I： 十W ∑ ，∑ W ∑ ，∑W都是正项级数 ，又 因为 0≤ v ≤ IU 1 0≤ W ≤ Iu I 而 已知 ∑ I收敛 所 以 ∑ ，∑，∑W是收敛 的正项 i n i n … 1 级数 ， 设 ∑ ：口，∑ W =W，则 ∑ = ∑． ( 一W )= 一W ∑．j I：n∑．j( +W)= +W 对于级数 ∑_u 的更 换顺序 的级数 ∑u：，同样 相 应 于 n∑i．，∑．i 也有更序后的n∑l ：，n∑lW：都是正项级数，且由 第一种情况已证明，它们都是收敛的且和保持不变。即 即 ：=V， I( ：+ ：)： +W 。 R ： 1 i 所 以，新级数 ∑u：的绝对 收敛 ．又 因为 = l ∞ ∞ ∑u：：∑ ( ：一 ：)= 一W = l 1 ∞ ∞ 即 ∑n：：∑ u和 不 变 由上所述 ，更 改绝对 收敛 的级数 中各项 的顺序所 得到 的新级数 ，是 收敛 的 ，且其和保持不变 。 事实上 ，由黎曼定理 ，如果一个 级数 ∑u 条件 收敛 ，则 适 当地交换各项 的位 置，可 以作成 收敛 于任 意给定 的数 的收敛级数 ，还可以作成发 散级 数。而 由绝 对收 敛级数 的 性质 ，更 改绝对收敛的级数中各项 的顺序所得到 的新级数 ， 是 收敛 的 ，且 其 和保 持不 变 。因此 ，在 期 望定 义 中，要求 IPI+X2P2十￡+ ^+ 绝对 收敛”．而不是“收敛 ”。 在概率论的期望定义 中，要求 xlp。+X2P：十￡+xkP^十￡ 绝对收敛 的前提 下 ，才将 XIP。+X2P：十￡+xkP 十￡定 义 为 随机变量￡ 的数学期 望。在期望 定义 中若不 是绝对 收敛 ． 就不能将 xlp。+ ： 十￡+ 十工作为 随机 变量 的数学期 望 。．此时我们说期望或均值不存在 。看 下面的例子 ' 设随机变量￡的取值为 =(一1) ，K=1，2，3，L 相应的概率为 P=去 ，k=1，2．3L 因为 P ≥0．∑P =1所 以 P 是 随机变 量￡ 的概率分 布 此 时 ∑． P + xzp2十￡ + p^十￡ = 毒( 备 = 由In(1+x)=x一等+}一÷+L一1x≤1 得到舌xkpk占÷ 一n2 一 般情况下 ，我们可能就误认为是随机变量 的期望 但 是 k量= l x·：毒÷+÷+÷+÷+L 是 调 和 级 数 ，是 发 散 的 。 即 ∑ xP 不 是 绝 对 收敛 。 因 而 ，∑XkP =一1n2不 能作 为随 机变 量￡ 的数学 期望 。随 机变量的期望不存在。 综 上所 述 ，在数学期 望定义 中 ，要求绝对 收敛 。就是 因 为随机 变量的数学期 望是 一个确定 的数 值 ，不会 因为改变 P + ：P：十￡+ P 十￡中各项 的位置 ，致使 其数值 发生 改 变。绝对 收敛 的级数具有这样 的性质 。而条件收敛是无 法保证这一性质 的成立 的。 参考文献 [1]袁 荫堂．概 率论 与数删 统 计 (iYI]北京 ：中图人 民 大学 出版社 1989，(12)． [2]同济 大 学数 学 系 微积 分 下 册 [M]北京 ：高 等教 育 出版社 2000，(1)． [3]赵树媛 微积分 [M]北京 ：中国人 民大学 出版社 2002，(5)． 一 72 一 责任 编校 ：冯 晶珩 维普资讯 http://www.cqvip.com