2000年3月 内蒙古师大学报自然科学（汉文）版 Vol.29 No.1 第29卷第1期 Journal of Inner Mongolia Normal University (Natural Science Edition) Mar.2000 数学期望的应用 斯日古楞 (内蒙古师范大学数学系，内蒙古呼和浩特010022) 摘要：通过构造概率模型或引进随机变量，给出数学期望的简单应用， 关键词：等式；不等式，概率模型，随机变量 中图分类号：0211.4文献标识码：A文章编号：1001-8735(2000)01·0013-05 等式与不等式是数学分析中一个重要内容.在数学分析中，除了用归纳法证明一些等式与 不等式外，又引用中值定理证明了一些等式与不等式.本文根据等式与不等式的特点，构造相 应的概率模型或引进恰当的随机变量，利用数学期望的性质证明了一些等式与不等式，为证明 等式与不等式提供了一种方法，并能使概率论在数学分析研究中显示出独特的作用」 1构造概率模型证明等式与不等式 问题1用概率方法求证 cn2" (10 c-n(n+12 2) （kc2≤nfn+2-v (3) 构造概率模型：一射手向某一目标独立射击n次，每次击中目标的概率为p,以表示在 n次射击中击中目标的次数 显然，随机变量服从二项分布，即 P(5==Ctp1-p以"，k=0,1,2,m 民=kcp(1-p- 设 1, 5= 第i次射击击中目标， 0,第i次射击未击中目标 1=1,2,n 则 5=51+52++5n,E5=p,i=1,2,…,n 幸收稿日期：1999.01-03 基金项目：内蒙古自然科学基金资助项目(990301·2) 作者简介：斯日古楞(1959·)，男（蒙古族），内蒙古鄂托克前旗人，内蒙古师范大学讲师 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
数学期望的应用Ξ 斯日古楞 (内蒙古师范大学 数学系 ,内蒙古 呼和浩特 010022) 摘 要 : 通过构造概率模型或引进随机变量 ,给出数学期望的简单应用. 关键词 : 等式 ; 不等式 ; 概率模型 ; 随机变量 中图分类号 : O 211. 4 文献标识码 : A 文章编号 : 1001 - 8735(2000) 01 - 0013 - 05 等式与不等式是数学分析中一个重要内容. 在数学分析中 ,除了用归纳法证明一些等式与 不等式外 ,又引用中值定理证明了一些等式与不等式. 本文根据等式与不等式的特点 ,构造相 应的概率模型或引进恰当的随机变量 ,利用数学期望的性质证明了一些等式与不等式 ,为证明 等式与不等式提供了一种方法 ,并能使概率论在数学分析研究中显示出独特的作用. 1 构造概率模型证明等式与不等式 问题 1 用概率方法求证 ∑ n k =1 k C k n = n2 n - 1 , (1) ∑ n k =1 k 2 C k n = n ( n + 1) 2 n - 2 , (2) ( ∑ n k = 1 k C k n ) 2 ≤n ( n + 1) 2 2 ( n - 1) . (3) 构造概率模型 :一射手向某一目标独立射击 n 次 ,每次击中目标的概率为 p ,以ξ表示在 n 次射击中击中目标的次数. 显然 ,随机变量ξ服从二项分布 ,即 P(ξ= k) = C k n p k (1 - p) n - k , k = 0 ,1 ,2 , …, n . Eξ= ∑ n k =0 k C k n p k (1 - p) n - k . 设 ξi = 1 , 第 i 次射击击中目标 , 0 , 第 i 次射击未击中目标. i = 1 ,2 , …, n. 则 ξ=ξ1 +ξ2 + …+ξn , Eξi = p , i = 1 ,2 , …, n. Ξ 收稿日期 : 1999 - 01 - 03 基金项目 : 内蒙古自然科学基金资助项目(990301 - 2) 作者简介 : 斯日古楞(1959 - ) ,男(蒙古族) ,内蒙古鄂托克前旗人 ,内蒙古师范大学讲师. 2000 年 3 月 第 29 卷 第 1 期 内蒙古师大学报 自然科学(汉文) 版 Journal of Inner Mongolia Normal University (Natural Science Edition) Vol. 29 No. 1 Mar. 2000 © 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
·14· 内蒙古师大学报自然科学（汉文）版 第29卷 因而E5= 线=p即XCp1:p-t=p.令p=}得.∑-21 因此1)式得证」 因为 E码=瓦(5+易++5习= 司2分+2品5到-王+2 ∑E5,5 1 E号=12p+021-p=p. 而=1(1)表示第1次和第j次都击中目标，所以 P(55=1)=p2(i≠， ,5=p2(i) 于是 Es=np+2cap2. 又因为 E8-ecpa-p.. 所以 cpp"-mp+2cp 取p=1/2,则有 22 故 c=n(n+V23 因此2)式得证 因为由方差的公式可知，D5=E子.E250.所以(E引2≤E子.而 Eg=mp+2Cap. Bs-ca.p 于是 （∑kcp1-p-y2≤mp+2cp 当p=1/2时，有 （kc2≤n1a+w22a”. 因此(3)式得证 问题2 用概率方法求证 ic(n-k (4) C(n)=k-1+kk-)n-2 (5) 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
因而 Eξ= ∑ n k = 1 Eξi = np ,即 ∑ n k = 1 k C k n p k (1 - p) n - k = np. 令 p = 1 2 得 , ∑ n k = 1 k C k n = n2 n - 1 . 因此(1) 式得证. 因为 E(ξ2 ) = E (ξ1 +ξ2 + …+ξn ) 2 = E ∑ n i =1 ξ2 i + 2 1 ≤i∑< j ≤n ξiξj = ∑ n i =1 Eξ2 i + 2 1 ≤i∑< j ≤n Eξiξj , Eξ2 i = 12·p + 02·(1 - p) = p. 而ξiξj = 1 ( i ≠j) 表示第 i 次和第 j 次都击中目标 ,所以 P(ξiξj = 1) = p 2 ( i ≠j) , Eξiξj = p 2 ( i ≠j) . 于是 Eξ2 = np + 2 C 2 n p 2 . 又因为 Eξ2 = ∑ n k =0 k 2 C k n p k (1 - p) n - k , 所以 ∑ n k = 1 k 2 C k n p k (1 - p) n - k = np + 2 C 2 n p 2 . 取 p = 1/ 2 ,则有 ∑ n k = 1 k 2 C k n ( 1 2 ) n = n ( n + 1) 2 2 , 故 ∑ n k = 1 k 2 C k n = n ( n + 1) 2 n - 2 . 因此(2) 式得证. 因为由方差的公式可知 , Dξ= Eξ2 - E 2ξ≥0. 所以( Eξ) 2 ≤Eξ2 . 而 Eξ2 = np + 2 C 2 n p 2 , Eξ= ∑ n k = 1 k C k n p k (1 - p) n - k . 于是 ( ∑ n k = 1 k C k n p k (1 - p) n - k ) 2 ≤np + 2 C 2 n p 2 . 当 p = 1/ 2 时 ,有 ( ∑ n k =1 k C k n ) 2 ≤n ( n + 1) 2 2 ( n - 1) . 因此(3) 式得证. 问题 2 用概率方法求证 ∑ k i =1 i C i k ( n - 1) k - i = k n k - 1 , (4) ∑ k i =1 i 2 C i k ( n - 1) k - i = k n k - 1 + k ( k - 1) n k - 2 , (5) · 41 · 内蒙古师大学报 自然科学(汉文) 版 第 29 卷 © 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
第1期 斯日古楞：数学期望的应用 ·15· 〔24dm-v产m+k-》n2 16) 构造概率模型：从1,2，·n个数字中任取一个，取后还原，先后取k次（每个数字每次被 取出是等可能的) 设是在k次中数字1出现的次数(5=0,1，k,由古典概率的计算公式可知 P(5=)=C(n-业k ,i=0,1,…,k 又设 1 第i次取出数字1， 0, 第1次未取出数字1.i=1,2,k) 则5=5+5++乐而E=1片+0“=1=1,2.“k,所以55=n又因 E5= i.! 故 ∑1C(n-)*‘=kn 因此(4式得证 因为 Er9=E6+5++0E9+2E,5 号=2+02m= 而5=1(i)表示第1次和第j次都取1，所以 P15==动，5-市1》. 于是 =片+2c2=4+业 n2 又因为 -2 所以 n2 故 Cn-)=n1+kk-)-2 因此(5)式得证 因为由方差的公式可知，D5=E子.E50.所以(E2≤E子.而 s8-套+2c.5s=2:S 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
∑ k i =1 i C i k ( n - 1) k - i 2 ≤k n 2 k - 1 + k ( k - 1) n 2 k - 2 . (6) 构造概率模型 :从 1 ,2 , …, n 个数字中任取一个 ,取后还原 ,先后取 k 次(每个数字每次被 取出是等可能的) . 设ξ是在 k 次中数字 1 出现的次数(ξ= 0 ,1 , …, k) ,由古典概率的计算公式可知 P(ξ= i) = C i n ( n - 1) k - i n k , i = 0 ,1 , …, k . 又设 ξi = 1 , 第 i 次取出数字 1 , 0 , 第 i 次未取出数字 1. ( i = 1 ,2 , …, k . ) 则ξ=ξ1 +ξ2 + …+ξk . 而 Eξi = 1· 1 n + 0· n - 1 n = 1 n , i = 1 ,2 , …, k ,所以 Eξ= k/ n. 又因 Eξ= ∑ k i = 1 i· C i k ( n - 1) k - i n k , 故 ∑ k i =1 i C i k ( n - 1) k - i = k n k - 1 . 因此(4) 式得证. 因为 E(ξ2 ) = E(ξ1 +ξ2 + …+ξn ) = ∑ k i =1 Eξ2 i + 2 1 ≤i∑< j ≤k Eξiξj , Eξ2 i = 12· 1 n + 02· n - 1 n = 1 n . 而ξiξj = 1 ( i ≠j) 表示第 i 次和第 j 次都取 1 ,所以 P(ξiξj = 1) = ( 1 n ) 2 ( i ≠j) , Eξiξj = 1 n 2 ( i ≠j) . 于是 Eξ2 = k n + 2 C 2 k ( 1 n ) 2 = k n + k ( k - 1) n 2 . 又因为 Eξ2 = ∑ k i = 0 i 2· C i k ( n - 1) k - i n k , 所以 ∑ k i =1 i 2· C i k ( n - 1) k - i n k = k n + k ( k - 1) n 2 . 故 ∑ k i =1 i 2·C i k ( n - 1) k - i = knk - 1 + k ( k - 1) n k - 2 . 因此(5) 式得证. 因为由方差的公式可知 , Dξ= Eξ2 - E 2ξ≥0. 所以( Eξ) 2 ≤Eξ2 . 而 Eξ2 = k n + 2 C 2 k ( 1 n ) 2 , Eξ= ∑ k i =1 i· C i k ( n - 1) k - i n k . 第 1 期 斯日古楞 : 数学期望的应用 · 51 · © 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
·16· 内蒙古师大学报自然科学汉文)版 第29卷 所以 故 21G(m-y2≤n1+kk-yr22 因此(6)式得证 2 引进随机变量证明不等式 下面要用到这一定理，证明参见1] 定理设5为(P,F,P刊上的随机变量，若f(x)为定义在某区间1上的连续的下凸函数， 则有 f(E)≤Ef(. (70 若f(x)为定义在某区间1上连续的上凸函数，则有 f(E)≥Ef(引 8) 问题3求证，当f(x)为[a,b]上的连续的下凸函数时， d (9) 当f(x为[a,b1上的连续的上凸函数时， f生b。fdx (10) 证明 设连续型随机变量的密度函数为 当a≤x≤b时， b-a 0 当xb时. 则 5-pwdx=dx-生 2 而 Ef(9-r()p(ds-(x adx-aF(x)dx. 由定理可知，当f(x)为[a,b上的下凸函数时，f()≤Ef(,亦即 f26。动dx 因此9)式得证」 当f(x)为[a,b]上的上凸函数时，f(E≥Ef(,亦即 f(x)dx. 因此(10)式得证 这两个不等式是数学分析中的两个重要积分不等式： 问题4求证，对于可积函数g(x)(g(x)>0), 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
所以 ∑ k i =1 i· C i k ( n - 1) k - i n k 2 ≤ k n + 2 C 2 k ( 1 n ) 2 . 故 ∑ k i =1 i C i k ( n - 1) k - i 2 ≤k n 2 k - 1 + k ( k - 1) n 2 k - 2 . 因此(6) 式得证. 2 引进随机变量证明不等式 下面要用到这一定理 ,证明参见[1 ]. 定理 设ξ为(Ω, F, P) 上的随机变量 ,若 f ( x) 为定义在某区间 I 上的连续的下凸函数 , 则有 f ( Eξ) ≤Ef (ξ) . (7) 若 f ( x) 为定义在某区间 I 上连续的上凸函数 ,则有 f ( Eξ) ≥Ef (ξ) . (8) 问题 3 求证 ,当 f ( x ) 为[ a , b ]上的连续的下凸函数时 , f ( a + b 2 ) ≤ 1 b - a∫ b a f ( x) d x . (9) 当 f ( x) 为[ a , b ]上的连续的上凸函数时 , f ( a + b 2 ) ≥ 1 b - a∫ b a f ( x) d x . (10) 证明 设连续型随机变量ξ的密度函数为 p ( x) = 1 b - a , 0 , 当 a ≤x ≤b 时 , 当 x b 时. 则 Eξ=∫ + ∞ - ∞ x p ( x ) d x =∫ b a x· 1 b - a d x = a + b 2 . 而 Ef (ξ) =∫ + ∞ - ∞ f ( x ) p ( x) d x =∫ b a f ( x) 1 b - a d x = 1 b - a∫ b a f ( x) d x . 由定理可知 ,当 f ( x) 为[ a , b ]上的下凸函数时 , f ( Eξ) ≤Ef (ξ) ,亦即 f ( a + b 2 ) ≤ 1 b - a∫ b a f ( x ) d x . 因此(9) 式得证. 当 f ( x ) 为[ a , b ]上的上凸函数时 , f ( Eξ) ≥Ef (ξ) ,亦即 f ( a + b 2 ) ≥ 1 b - a∫ b a f ( x ) d x . 因此(10) 式得证. 这两个不等式是数学分析中的两个重要积分不等式. 问题 4 求证 ,对于可积函数 g ( x) ( g ( x) > 0) , · 61 · 内蒙古师大学报 自然科学(汉文) 版 第 29 卷 © 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
第1期 斯日古楞：数学期望的应用 ·17· d:小2- (11) 证明令5~U[a,b1,y=g(x)为严格正函数，则I=g()为正随机变量.考察0，+网 上的连续下凸函数f(-士对该函数运用)式得≤E(中.从而55女习，而 En=了gpdx=y6dr-6a3d, 故 。wdx62gtdx斗， 亦即 jBdx了gdx≥b-a2 因此(11)式得证， 参考文献： [1]周概容.概率论与数理统计[M).北京：高等教育出版社，1984.275276 [2]郭雪柳.几个等式的概率证法U].宁夏教育学院学报，1988.(1)：46~50. THE APPLICATION OF MATHEMATICAL EXPECTATION Seriguleng (Department of Mathematics,Inner Mongolia Normal University.Huhhot 010022.China) Abstract:The aim of this paper is to give a simple application of mathematical expectation through the construction of a probability model or a random variable. Key words:equality;inequality;probability modol;random variable 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
∫ b a g ( x) d x∫ b a d x g ( x) ≥( b - a) 2 . (11) 证明 令ξ～ U [ a , b ] , y = g ( x ) 为严格正函数 ,则η= g (ξ) 为正随机变量. 考察(0 , + ∞) 上的连续下凸函数 f ( x ) = 1 x ,对该函数运用(7) 式 ,得 1 Eη≤E( 1 η ) ,从而 EηE 1 η ≥1. 而 Eη=∫ + ∞ - ∞ g ( x) p ( x) d x =∫ b a g ( x) 1 b - a d x = 1 b - a∫ b a g ( x) d x , E 1 η =∫ + ∞ - ∞ 1 g ( x) p ( x) d x =∫ b a 1 g ( x ) 1 b - a d x = 1 b - a∫ b a 1 g ( x ) d x . 故 1 b - a∫ b a g ( x) d x· 1 b - a∫ b a 1 g ( x ) d x ≥1 , 亦即 ∫ b a g ( x ) d x∫ b a 1 g ( x) d x ≥( b - a) 2 . 因此(11) 式得证. 参考文献 : [1 ] 周概容. 概率论与数理统计 [ M ]. 北京 :高等教育出版社 ,1984. 275～276. [2 ] 郭雪柳. 几个等式的概率证法 [J ]. 宁夏教育学院学报 ,1988. (1) :46～50. THE APPL ICA TION OF MA THEMA TICAL EXPECTA TION Seriguleng ( Depart ment of M athem atics , Inner Mongolia Norm al U niversity , Huhhot 010022 , China) Abstract: The aim of this paper is to give a simple application of mathematical expectation through the construction of a probability model or a random variable. Key words: equality ; inequality ; probability modol ; random variable 第 1 期 斯日古楞 : 数学期望的应用 · 71 · © 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net