第四章大数律和中心极限定理 4.1 大数律 4.1.1随机变量的收敛性 定义4.1.1.如果对任何e>0,都有 limP(lsn-ξ|2e)=0, 那么我们就称随机变量序列{S,n∈N依概率收敛到随机变量，记为n马 引理4.1.1(Chebyshev Inequality).设r.v.的r阶矩存在，则 P(II>)≤ES ,x>0 例4.1.1.如果以Cn表示n重Bernoulli试验中的成功次数，则有 马p n 4.1.2大数律 定义4.1.2.设{n}是一列随机变量，如果存在常数序列{an}使得 则称{}服从大数定律。 定理4.1.1.设随机变量序列{Xn}相互独立且具有相同的分布独立同分布，记为ii.d),具有数学 期望EXk=山，k=1,2,·则有 x=∑X马“ k=1 即{Xm}服从大数定律
1oŸ åÍÆ⁄•%4Žn 4.1 åÍÆ 4.1.1 ëÅC˛¬Ò5 ½¬ 4.1.1. XJÈ?¤ε > 0, —k limn→∞ P(|ξn − ξ| ≥ ε) = 0, @o·Ç“°ëÅC˛S{ξn, n ∈ N}ùV«¬ÒëÅC˛ξ, Pèξn p→ ξ. ⁄n 4.1.1 (Chebyshev Inequality). r.v. ξr ›3ßK P(|ξ| > x) ≤ E|ξ| r x r , ∀ x > 0 ~4.1.1. XJ±ζnL´nBernoulli£•§ıgÍ, Kk ζn n p→ p. 4.1.2 åÍÆ ½¬ 4.1.2. {ξn}¥òëÅC˛ßXJ3~ÍS{an}¶ 1 n Xn k=1 ξk − an p→ 0 K°{ξn}—låͽÆ" ½n 4.1.1. ëÅC˛S{Xn}Ép’·Ö‰kÉ”©Ÿ(’·”©Ÿ,Pèi.i.d)߉kÍÆ œ"EXk = µ, k = 1, 2, · · · . Kk X = 1 n Xn k=1 Xk p→ µ ={Xn}—låͽÆ" 1
4.2中心极限定理 我们仅叙述独立同分布场合下的中心极限定理，更一般的情形参考其它专业的概率论教材。 定理4.2.2.设{Xn}为i.i.d的随机变量序列，具有数学期望EXk=4和方差o2=D(Xk),k= 1,2,.则有 lim P n→oo (++x-≤=P(-）= x∈R 此定理我们称为独立同分布场合下的中心极限定理 Proof.由于标准正态分布的特征函数为f(t)=e-P2,因此我们只需证明nm= 的特征两 数的极限是f(t)就可以了。 记{X一μ}的共同特征函数为g(t),则 ()-1-云+（原 而nm的特征函数为g().由于 p(a)--易)川≤()-（1-引=（月）一0 所以 典r()=en 即 iP(n≤r)=Φ(r) 口 21.未报联码名 en 定理4.2.3.设X~B(n,p),则有 P(≤=，xeR 即 X-哩aN(0,1) Vnpq 2
4.2 •%4Žn ·Ç=Q„’·”©Ÿ|‹e•%4ŽnßçòÑú/Οß;íV«ÿ·" ½n 4.2.2. {Xn}èi.i.dëÅC˛S߉kÍÆœ"EXk = µ ⁄ê σ 2 = D(Xk) , k = 1, 2, · · · . Kk limn→∞ P 1 √ nσ (X1 + · · · + Xn − nµ) ≤ x = limn→∞ P √ n(Xn − µ) σ = Φ(x) ∀x ∈ R Ÿ•Xn = 1 n Pn i=1 Xi. d½n·Ç°è’·”©Ÿ|‹e•%4Žn. Proof. duIO©ŸAºÍèf(t) = e −t 2/2ßœd·ÇêIy²ηn = Pn i=1 Xi−µ σ Aº Í4Å¥f(t)“å± " P{Xi − µ}”AºÍèg(t)ßK g t σ √ n = 1 − t 2 2n + o t 2 n ηnAºÍèg n ( t σ √ n ). du g n t σ √ n − 1 − t 2 2n n ≤ n g t σ √ n − 1 − t 2 2n = not 2 n −→ 0 §± limn→∞ g n t σ √ n = e −t 2/2 = limn→∞ P(ηn ≤ x) = Φ(x) ~4.2.1. ¶4Å limn→∞ Pn k=1 n k k! e −n . ½n 4.2.3. X ∼ B(n, p)ßKk limn→∞ P( X − np √npq ≤ x) = Φ(x), ∀ x ∈ R = X − np √npq asy. ∼ N(0, 1). 2
Poo时：由二项分布随机变量和0-1分布随机变量之间的关系及中心极限定理易证。 ▣ 在仅有独立性和二阶矩有限场合下，我们有 定理4.2.4.设{X}为独立的随机变量序列，而且具有数学期望EXk=和方差D(Xk)=o?0,都有 1 ∑E{(X-a)2I(IXx-ak≥TBn)}=0, (4.2.2) 则称该随机变量序列满足Linderbergi条件. 定理4.2.5.设随机变量序列{Xn}满足Linderberg条件(4.2.2)，则{Xn}满足中心极限定理， 即(4.2.1)式成立. 参考文献 [1苏淳.，概率论，北京：科学出版社，2004. 3
Proof. dë©ŸëÅC˛⁄0-1©ŸëÅC˛Ém'X9•%4Žn¥y" 3=k’·5⁄ ›kÅ|‹eß·Çk ½n 4.2.4. {Xn}è’·ëÅC˛Sß Ö‰kÍÆœ"EXk = µk ⁄ê D(Xk) = σ 2 k 0, —k limn→∞ 1 B2 n Xn k=1 E (Xk − ak) 2 I(|Xk − ak| ≥ τBn) = 0, (4.2.2) K°TëÅC˛S˜vLinderberg^á. ½ n 4.2.5. ë Å C ˛ S {Xn}˜ vLinderberg^ á(4.2.2), K{Xn}˜ v • % 4 Å ½ n, =(4.2.1)™§·. Ωz [1] ÄW., V«ÿ, Æ: âÆ—á, 2004. 3