第一章事件与概率 1.3古典概型 2 1.4几何概型 15 Previous Next First Last Back Forward 1
第一章事件与概率 1.3 古典概型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.4 几何概型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Previous Next First Last Back Forward 1
1.3古典概型 称一个随机试验为古典概型，如果 第一，（有限性）试验结果只有有限个（记为n), 第二，（等可能性）每个基本事件发生的可能性相同. 为计算事件A的概率，设A中包含m个基本事件，则定义事件 A的概率为 P(A)-T- 4 或# #2 记号：为方便起见，以A纠或#A记事件A中基本事件的个数. 计算古典概率，主要用到排列组合的知识 Previous Next First Last Back Forward 2
1.3 古典概型 称一个随机试验为古典概型, 如果 第一, (有限性) 试验结果只有有限个 (记为 n) , 第二, (等可能性) 每个基本事件发生的可能性相同. 为计算事件 A 的概率, 设 A 中包含 m 个基本事件, 则定义事件 A 的概率为 P(A) = m n = |A| |Ω| ( 或 #A #Ω ) 记号: 为方便起见，以 |A| 或 #A 记事件 A 中基本事件的个数. 计算古典概率, 主要用到排列组合的知识. Previous Next First Last Back Forward 2
计数原理 乘法原理假定进行过程I有1中方式，而对于过程I的每一个 方式，进行过程Ⅱ都有n2种方式。那么，依次进行过程I与Ⅱ共 有n1n2种方式。 加法原理假定进行过程I有n1中方式，进行过程Ⅱ有2种 方式。那么，进行过程I或Ⅱ共有n1+n2种方式。 排列组合 ,从·个不同的元素中，有放回地取出r个元素组成的可重复排 列的种数为n种。从n个不同的元素中，不放回地取出r个 元素组成的不重复排列的种数为n(n-1)·(n-r+1)=P. 。从个不同的元素中，不放回地取r个组成的组合，种数为 n(m-1)…(m-r+1) n! r! r!(n-r)!=Ch Previous Next First Last Back Forward 3
计数原理 乘法原理 假定进行过程 I 有 n1 中方式，而对于过程 I 的每一个 方式，进行过程 II 都有 n2 种方式。那么，依次进行过程 I 与 II 共 有 n1n2 种方式。 加法原理 假定进行过程 I 有 n1 中方式，进行过程 II 有 n2 种 方式。那么，进行过程 I 或 II 共有 n1 + n2 种方式。 排列组合 • 从 n 个不同的元素中, 有放回地取出 r 个元素组成的可重复排 列的种数为 n r 种。从 n 个不同的元素中，不放回地取出 r 个 元素组成的不重复排列的种数为 n(n − 1)· · ·(n − r + 1) = P r n. • 从 n 个不同的元素中, 不放回地取 r 个组成的组合，种数为 ( n r ) = n(n − 1)· · ·(n − r + 1) r! = n! r!(n − r)! = C r n Previous Next First Last Back Forward 3
·从n个不同的元素中，有放回地取r个组成的组合（不考虑顺 序)，种数为 在运用排列组合公式时，要清楚次序问题 甲乙丙丁四人进行乒乓球双打练习，两人一对地结为对打的双方， Example 有多少种不同的结对方式？ ↓Example “组合”是一种“有编号的分组模式”，或者说，按照组合模式计算 出的分组方式数目中，已经天然地把组的不同编号方式数目计算在内 了. Previous Next First Last Back Forward
• 从 n 个不同的元素中, 有放回地取 r 个组成的组合 (不考虑顺 序)，种数为 ( n + r − 1 r ) 在运用排列组合公式时, 要清楚次序问题. ↑Example 甲乙丙丁四人进行乒乓球双打练习, 两人一对地结为对打的双方, 有多少种不同的结对方式? ↓Example 可能有人会认为这个问题是简单的组合问题: 从四人中选出两人结为 一对, 剩下的两人结为一对即可. 于是他们算得: 有 C 2 4 = 6 种方式. 但事实是否如此呢? 注意此时并不要求两队之间的顺序, 所以一 共只有 3 种结对方式: C 2 4 /2 = 3 “组合” 是一种 “有编号的分组模式”, 或者说, 按照组合模式计算 出的分组方式数目中, 已经天然地把组的不同编号方式数目计算在内 了. Previous Next First Last Back Forward 4
欲将6个人分为3组，每组2人，分别从事3项不同工作，求分 TExample 配方式数. ↓Example Previous Next First Last Back Forward 5
↑Example 欲将 6 个人分为 3 组, 每组 2 人, 分别从事 3 项不同工作, 求分 配方式数. ↓Example 解：先取出两人从事第 1 项工作, 有 C 2 6 种方式; 再取出两人从事第 2 项工作, 有 C 2 4 种方式; 剩下的两人从事第 3 项工作. 所以一共有: C 2 6 · C 2 4 = 6! 4! · 2! 4! 2! · 2! = 6! 2! · 2! · 2! = 90 种分配方式. Previous Next First Last Back Forward 5
要把7人分为3个小组，执行同一种任务，其中一个组3人，另 TExample 两个组各2人，求分组方式数 ↓Example 为了适应这种分为多个“不同的”组的问题需求，人们总结出如 下的“多组组合模式”： Previous Next First Last Back Forward 6
↑Example 要把 7 人分为 3 个小组, 执行同一种任务, 其中一个组 3 人, 另 两个组各 2 人, 求分组方式数. ↓Example 解: 显然这也是一个 “无编号分组” 问题. 但是却与上面的情况有所 不同. 因为其中有一个 3 人组, 无论是否编号, 它都与其余两个组有 所区别 (编号无非是为了对分出的组加以区分), 所以在按 “有编号分 组模式” 算出分组方式数之后, 只应再除以 2! (即除去两个不加区分 的组的排列顺序数), 故得: 共有 7! 3! · 2! · 2! · 1 2! = 7! 3! · (2!)3 种分组方式. 为了适应这种分为多个 “不同的” 组的问题需求, 人们总结出如 下的 “多组组合模式”: Previous Next First Last Back Forward 6
多组组合模式：有个不同元素，要把它们分为k个不同的组， 使得各组依次有n1,n2,…,nk个元素，其中n1+n2十…+nk= n,则一共有 n! n1！.n2!.·nk! 种不同分法 不尽相异元素的排列模式有n个元素，属于k个不同的类，同类 元素之间不可辨认，各类元素分别有n1,n2,·,nk个，其中 n1+n2+…+nk=n,要把它们排成一列，则一共有 n! n1！·n2!…nkl 种不同排法. Previous Next First Last Back Forward
多组组合模式： 有 n 个不同元素, 要把它们分为 k 个不同的组, 使得各组依次有 n1, n2, · · · , nk 个元素, 其中 n1+n2+· · ·+nk = n, 则一共有 n! n1! · n2! · ... · nk! 种不同分法. 不尽相异元素的排列模式 有 n 个元素, 属于 k 个不同的类, 同类 元素之间不可辨认, 各类元素分别有 n1, n2, · · · , nk 个, 其中 n1 + n2 + · · · + nk = n, 要把它们排成一列, 则一共有 n! n1! · n2! · · · nk! 种不同排法. Previous Next First Last Back Forward 7
批产品有N个，其中废品有M个。现从中随机取出n个 TExample 在以下两种情形下，分别求“其中恰好有m个废品”这一事件的概 率。(1)有放回地选取；(2)不放回地选取 ↓Example 解： Previous Next First Last Back Forward 8
↑Example 一批产品有 N 个，其中废品有 M 个。现从中随机取出 n 个， 在以下两种情形下，分别求“其中恰好有 m 个废品”这一事件的概 率。(1) 有放回地选取； (2) 不放回地选取 ↓Example 解:记 A = {其中恰好有 m 个废品}，则 (1) 有放回情形 |Ω| = N n , |A| = ( n m ) Mm(N − M) n−m, 所以 P(A) = ( n m ) Mm(N − M) n−m Nn = ( n m )(M N )m(N − M N )n−m (2) 不放回情形 |Ω| = (N n ) , |A| = (M m )(N−M n−m ) , 所以 P(A) = (M m )(N−M n−m ) (N n ) Previous Next First Last Back Forward 8
n个男生，m个女生排成一排(m≤n+1).求事件A= TExample 任意两个女孩不相邻}的概率。又若排成一圈，又如何？ ↓Example 解： Previous Next First Last Back Forward 9
↑Example n 个男生, m 个女生排成一排 (m ≤ n + 1). 求事件 A = {任意两个女孩不相邻} 的概率。又若排成一圈，又如何? ↓Example 解:(1) 排成一排 |Ω| = (n + m)!, |A| = n!C m n+1m! P(A) = |A| |Ω| = n!C m n+1m! (n + m)! (2) 排成一圈 |Ω| = (n + m − 1)!, |A| = (n − 1)!C m n m! P(A) = |A| |Ω| = (n − 1)!C m n m! (n + m − 1)! Previous Next First Last Back Forward 9
r个不同的球任意放入编号为1至n的n个盒子，每球入各盒 TExample 均等可能，求下列事件的概率 (1)A={指定的r个盒子各含一个球} (2)B={每盒至多有一球} (3)C={某指定盒中恰有m个球} ↓Example 解： Previous Next First Last Back Forward 10
↑Example r 个不同的球任意放入编号为 1 至 n 的 n 个盒子，每球入各盒 均等可能，求下列事件的概率 (1) A={指定的 r 个盒子各含一个球} (2) B={每盒至多有一球} (3) C={某指定盒中恰有 m 个球} ↓Example 解:|Ω| = n r (1) |A| = r! (2) |B| = C r nr! (3) |C| = C m r (n − 1)r−m 又若球是相同的，则在这里, 由于 r 个球是相同的,n 个盒子是互 不相同的. 因此我们只需要关心各个盒子中的球数, 而无需考虑哪个 球落在哪个盒子中. 我们可把问题设想为： r 个相同的小球已经一字排开, 只须在它们之间加上 n − 1 块隔 板, 把它们隔为 n 段, 然后让各段对号放入相应的盒子即可. 由于盒 子可空, 相当于要将 r + n − 1 个不尽相异的元素进行排列, 其中 1 类 Previous Next First Last Back Forward 10