第二章随机变量及其分布 2.5 随机变量的函数的概率分布. 2.5.1离散型随机变量的情形 1 2.5.2连续型随机变量的情形 5 2.5.3极小值和极大值的分布..·..·. 28 Previous Next First Last Back Forward 1
第二章随机变量及其分布 2.5 随机变量的函数的概率分布 . . . . . . . . . . 1 2.5.1 离散型随机变量的情形 . . . . . . . . . 1 2.5.2 连续型随机变量的情形 . . . . . . . . . 5 2.5.3 极小值和极大值的分布 . . . . . . . . . 28 Previous Next First Last Back Forward 1
2.5 随机变量的函数的概率分布 最简单的情形，是由一维随机变量X的概率分布去求其一给定 函数Y=g(X)的分布。较常见的，是由(X1,X2,·,Xn)的分布去 求Y=g(X1,X2,…,Xn)的分布。更一股地，由(X1,X2,…,Xn) 的分布去求(Y,Y2,…,Ym)的分布，其中Y=g(X1,X2,·,Xn), i=1,2,,mo 这一部分内容，与数理统计中求统计量的分布有密切的联系。 2.5.1离散型随机变量的情形 设X的分布律为 P(X=x)=p,i=1,2,… g:R+R,令Y=g(X),则Y的分布律为 PY=)=P(g(X)=)=∑P(X=x)=∑p xt:9(rt)=1 i:g(i)=yj Previous Next First Last Back Forward 1
2.5 随机变量的函数的概率分布 最简单的情形，是由一维随机变量 X 的概率分布去求其一给定 函数 Y = g(X) 的分布。较常见的，是由 (X1, X2, · · · , Xn) 的分布去 求 Y = g(X1, X2, · · · , Xn) 的分布。更一般地，由 (X1, X2, · · · , Xn) 的分布去求 (Y1, Y2, · · · , Ym) 的分布，其中 Yi = gi(X1, X2, · · · , Xn), i = 1, 2, · · · , m。 这一部分内容，与数理统计中求统计量的分布有密切的联系。 2.5.1 离散型随机变量的情形 设 X 的分布律为 P(X = xi) = pi, i = 1, 2, · · · g : R → R，令 Y = g(X)，则 Y 的分布律为 P(Y = yj ) = P(g(X) = yj ) = ∑ xi:g(xi)=yj P(X = xi) = ∑ i:g(xi)=yj pi Previous Next First Last Back Forward 1
设X的概率函数为 TExample X -1 0 1 2 P 1/4 1/2 1/81/8 试求Y=X2,Z=X3+1的分布律。 ⊥Example 解： Previous Next First Last Back Forward 2
↑Example 设 X 的概率函数为 X -1 0 1 2 P 1/4 1/2 1/8 1/8 试求 Y = X 2 , Z = X 3 + 1 的分布律。 ↓Example 解: 容易求得 Y 的分布律为: Y 0 1 4 P 1/2 3/8 1/8 Z 的分布律 Z 0 1 2 9 P 1/4 1/2 1/8 1/8 Previous Next First Last Back Forward 2
上述结论可以推广到多维随机变量的情形： 设随机向量X的分布律为P(X=x),则X的函数Y=g(X) 的分布律为 P(Y=y)=P(g(X)=)=>P(X=z) t:9(E)=y 特别当5，n是相互独立的非负整值随机变量，各有分布律{k}与 {b:.那么ξ+n有分布律 P+n=m=∑atb- 7 k0 称此公式为离散卷积公式 Previous Next First Last Back Forward 3
上述结论可以推广到多维随机变量的情形: 设随机向量 X 的分布律为 P(X = x)，则 X 的函数 Y = g(X) 的分布律为 P(Y = y) = P(g(X) = y) = ∑ x:g(x)=y P(X = x) 特别当 ξ, η 是相互独立的非负整值随机变量，各有分布律 {ak} 与 {bk}. 那么 ξ + η 有分布律 P(ξ + η = n) = ∑n k=0 akbn−k 称此公式为离散卷积公式 Previous Next First Last Back Forward 3
设XB(n,p),Y~B(m,p)且X和Y相互独立，则X+Y~ TExample B(n+m,p)。 ↓Example 这种性质称为再生性。可推广至多项和：设X:~B(,p),(i= 1,2m,且X,X2,,Xm独立，则有：店X心B(公n,p 特别，若X1,X2,…,Xn为独立同分布，且X:~B(1,pi= 1,…,n.则有：∑X,~B(n,p)。此结论揭示了二项分布与0-1分 布之间的密切关系。 设X~P(),Y~P(),且X和Y独立，则有X+Y TExample P(A+)。即Poisson分布亦具有再生性。 ⊥Example Previous Next First Last Back Forward 4
↑Example 设 X ∼ B(n, p)，Y ∼ B(m, p) 且 X 和 Y 相互独立，则 X+Y ∼ B(n + m, p)。 ↓Example 这种性质称为再生性。可推广至多项和：设 Xi ∼ B(ni, p),(i = 1, 2, · · · , m)，且 X1, X2, · · · , Xm 独立，则有: ∑m i=1 Xi ∼ B( ∑m i=1 ni, p)。 特别，若 X1, X2, · · · , Xn 为独立同分布，且 Xi ∼ B(1, p), i = 1, · · · , n. 则有: ∑n i=1 Xi ∼ B(n, p)。此结论揭示了二项分布与 0 − 1 分 布之间的密切关系。 ↑Example 设 X ∼ P(λ)，Y ∼ P(µ)，且 X 和 Y 独立，则有 X + Y ∼ P(λ + µ)。即 P oisson 分布亦具有再生性。 ↓Example Previous Next First Last Back Forward 4
2.5.2 连续型随机变量的情形 定理1.密度变换公式]设随机变量X有概率密度函数∫(x),x∈ (a,b)(a,b可以为o,而y=g(x)在x∈(a,b)上是严格单调的连 续函数，存在唯一的反函数x=h(),y∈（α，）并且'(y)存在且 连续，那么Y=9(X)也是连续型随机变量且有概率密度函数 p(y)=f(h(y))h'(y)l,y(a,B). Previous Next First Last Back Forward 5
2.5.2 连续型随机变量的情形 定理 1. [密度变换公式] 设随机变量 X 有概率密度函数 f(x), x ∈ (a, b)(a, b 可以为 ∞), 而 y = g(x) 在 x ∈ (a, b) 上是严格单调的连 续函数，存在唯一的反函数 x = h(y), y ∈ (α, β) 并且 h ′ (y) 存在且 连续，那么 Y = g(X) 也是连续型随机变量且有概率密度函数 p(y) = f(h(y))|h ′ (y)|, y ∈ (α, β). Previous Next First Last Back Forward 5
设随机变量X~U(-,),求Y=tgX的概率密度函数。 TExample ↓Example 解： Previous Next First Last Back Forward 6
↑Example 设随机变量 X ∼ U(− π 2 , π 2 ), 求 Y = tgX 的概率密度函数。 ↓Example 解: 由于函数 g(x) = tg(x) = y 为单调可微函数，其反函数 x = arctg(y) 连续可微，因此由密度变换公式知 Y 的概率密度函数为 f(y) = 1 π arctg′ (y) = 1 π(1 + y 2) , −∞ < y < ∞ 此分布称为 Cauchy 分布。本题我们也可以用一般的方法求解，即先 求出分布函数，然后对分布函数求导数得到。 F(y) = P(Y ≤ y) = P(tg(X) ≤ y) = P(X ≤ arctg(y)) = ∫ arctg(y) − π 2 1 π dy = 1 π arctg(y) + 1 2 . 所以 Y 的概率密度为 f(y) = F ′ (y) = 1 π(1 + y 2) . Previous Next First Last Back Forward 6
这种方法更具有一般性。 注：当g不是在全区间上单调而是逐段单调时，密度变换公式为 下面的形式： 设随机变量ξ的密度函数为p(x),a<x<b.如果可 以把(a,b)分割为一些（有限个或可列个）互不重叠的子 区间的和(a,b)=U,I,使得函数u=g(),t∈(a,b) 在每个子区间上有唯一的反函数h(u),并且h,(u)存 在连续，则？=g()是连续型随机变量，其密度函数为： pm()=∑p(h,(训b(e Previous Next First Last Back Forward
这种方法更具有一般性。 注: 当 g 不是在全区间上单调而是逐段单调时，密度变换公式为 下面的形式: 设随机变量 ξ 的密度函数为 pξ(x), a < x < b. 如果可 以把 (a, b) 分割为一些 (有限个或可列个) 互不重叠的子 区间的和 (a, b) = ∪ j Ij , 使得函数 u = g(t), t ∈ (a, b) 在每个子区间上有唯一的反函数 hj (u), 并且 h ′ j (u) 存 在连续, 则 η = g(ξ) 是连续型随机变量, 其密度函数为: pη(x) = ∑ j pξ(hj (x))|h ′ j (x)| . Previous Next First Last Back Forward 7
设X~N(0,1),求Y=X2的概率密度。 TExample ↓Example 解： Previous Next First Last Back Forward f
↑Example 设 X ∼ N(0, 1)，求 Y = X 2 的概率密度。 ↓Example 解: 由于函数 y = x 2 在 (−∞, 0) 和 [0, ∞) 上严格单调，因此由上述 定理知 Y 的概率密度为 f(y) = ϕ(− √ y)| − √ y ′ |I{y>0} + ϕ( √ y)| √ y ′ |I{y>0} = 1 √ 2π y − 1 2 e − y 2 I{y>0} Previous Next First Last Back Forward 8
定理2.设(51,2)是2维连续型随机向量，具有联合密度函数 p(x1,x2),设S=(51,2),j=1,2.若(51,2)与(G1,2)一一对 应，逆映射5=h(G,2),j=1,2.假定每个h(1,2)都有一阶连 续偏导数.则(G,2)亦为连续型随机向量，且其联合概率密度为 p(h(h,),hn(1,2)J八，(，2）∈D, (2.1) 0, (12)年D, 其中D是随机向量(G1,G2)的所有可能值的集合，J是变换的Jaccobi 行列式，即 8h1 8h1 0y1 0y2 8h2 8h2 8y1 y2 Previous Next First Last Back Forward 9
定理 2. 设 (ξ1, ξ2) 是 2 维连续型随机向量, 具有联合密度函数 p(x1, x2), 设 ζj = fj (ξ1, ξ2), j = 1, 2. 若 (ξ1, ξ2) 与 (ζ1, ζ2) 一一对 应, 逆映射 ξj = hj (ζ1, ζ2), j = 1, 2. 假定每个 hj (y1, y2) 都有一阶连 续偏导数. 则 (ζ1, ζ2) 亦为连续型随机向量, 且其联合概率密度为 q(y1, y2) = { p (h1(y1, y2), hn(y1, y2))|J|, (y1, y2) ∈ D, 0, (y1, y2) ̸∈ D, (2.1) 其中 D 是随机向量 (ζ1, ζ2) 的所有可能值的集合, J 是变换的 Jaccobi 行列式，即 J = ∂h1 ∂y1 ∂h1 ∂y2 ∂h2 ∂y1 ∂h2 ∂y2 Previous Next First Last Back Forward 9