第三章 随机变量的数字特征 3.1数学期望及分位数 3.1.1数学期望 数学期望是随机变量的一个最基本的数字特征。我们先看如下的一个例子 例3.1.1.一个石油公司在一个钻探项目中所使用的钻头持续工作2,3,4小时的可能性为0.1， 0.T和0.2。现该公司有10个此类型的钻头，则此钻探项目可以持续多长时间？ 解：人们一般使用加权平均 2.0.1+3.0.7+4.0.2=3.1 然后得到可以持续10.3.1=31小时。 这里的加权平均我们称为期望值或者如下随机变量的数学期望： 34 P0.10.70.2 对一般的离散型分布，我们有 定义3.1.1.设X为一离散型随机变量，其分布律为 P(X=x)=P,i=1,2,… 如果2，m<+o,则称 i=1 p i=1 为随机变量X的数学期望（简称为期望或者均值，用符号EX表示X的数学期望。若km:= +∞，则称X的数学期望不存在
1nŸ ëÅC˛ÍiA 3.1 ÍÆœ"9©†Í 3.1.1 ÍÆœ" ÍÆœ"¥ëÅC˛òáŃ ÍiA"·ÇkwXeòá~f ~3.1.1. òáúh˙i3òá}&ë8•§¶^}fi±YÛä2ß3ß4ûåU5è0.1, 0.7⁄0.2"yT˙ik10áda.}fißKd}&ë8å±±Yıûmº ): <ÇòѶ^\²˛ 2 · 0.1 + 3 · 0.7 + 4 · 0.2 = 3.1 ,å±±Y10 · 3.1 = 31û" ˘p\²˛·Ç°èœ"佈XeëÅC˛ÍÆœ"µ X 2 3 4 P 0.1 0.7 0.2 ÈòÑl—.©Ÿß·Çk ½¬ 3.1.1. Xèòl—.ëÅC˛ßŸ©ŸÆè P(X = xi) = pi , i = 1, 2, · · · XJ P∞ i=1 |xi |pi < +∞ßK° X∞ i=1 xipi èëÅC˛XÍÆœ"({°èœ"½ˆ˛ä), ^Œ“EXL´XÍÆœ""e P∞ i=1 |xi |pi = +∞ßK°XÍÆœ"ÿ3" 1
例3.1.2.设r.v.X的分布律为 r(x=←)==12 则X的数学期望不存在。 解：由于 立-装安- 因此X的数学期望不存在。而尽管 k=1 对连续型随机变量，其数学期望的定义如下 定义3.1.2.如果连续型随机变量具有密度函数(x),则当 广te< 时，我们将积分 o xp(x)dx 的值称为的数学期望，记作E.如果 oo xp(x)dx=oo, 则称ξ的数学期望不存在. 例3.1.3.(Cauchy分布)设 1 l四=1+：xeR, 则：该分布的期望不存在 解：容易看出，p(x)非负，并且 所以p(x)是一个密度函数（称为Cauchy分布），但是 所以Cauchy分布的期望不存在.# 一般，我们把上述两个定义写在一起： 2
~3.1.2. r.v. X©ŸÆè P X = (−1)k 2 k k = 1 2 k , k = 1, 2, · · · KXÍÆœ"ÿ3" ): du X∞ k=1 |(−1)k 2 k k | 1 2 k = X∞ k=1 1 k = +∞ œdXÍÆœ"ÿ3" ¶+ X∞ k=1 (−1)k 2 k k 1 2 k = X∞ k=1 (−1)k 1 k = −ln2. ÈÎY.ëÅC˛ßŸÍÆœ"½¬Xe ½¬ 3.1.2. XJÎY.ëÅC˛ξ‰kó›ºÍp(x), K Z ∞ −∞ |x|p(x)dx < ∞ û, ·ÇÚ»© Z ∞ −∞ xp(x)dx ä°èξÍÆœ", PäEξ. XJ Z ∞ −∞ |x|p(x)dx = ∞, K°ξÍÆœ"ÿ3. ~3.1.3. (Cauchy©Ÿ) p(x) = 1 π(1 + x 2) , x ∈ R, K: T©Ÿœ"ÿ3. ):N¥w—,p(x)öK, øÖ Z ∞ −∞ p(x)dx = 1 π Z ∞ −∞ 1 1 + x 2 dx = 1 π arctan x ∞ −∞ = 1, §±p(x)¥òáó›ºÍ(°èCauchy©Ÿ), ¥ Z ∞ −∞ |x|p(x)dx = 2 π Z ∞ 0 x 1 + x 2 dx = ∞, §±Cauchy©Ÿœ"ÿ3. # òÑß·Çr˛„¸á½¬3òµ 2
定义3.1.3.设为一随机变量，其分布函数为F(),如果∫1zdF()<oo,则称 xdF(x) 为随机变量的数学期望，记为E。 数学期望的一般性质如下 假设c为常数，并且下面涉及的期望都是存在的。我们有 1.Ec=c 2.EcE=cEξ 3.E(ξ+n)=EE+Em 4.若ξ≥0，则Eξ≥0 5.若ξ≥，则Eξ≥Em: 6.设g(x)为一Borl可测函数（包括了连续函数、阶梯函数等），则 Eg()= g(x)dF(x) 性质6说明了计算随机变量函数的期望直接从原来的随机变量分布出发. 例3.1.4.设r.v.XN(0,1),求Y=X2+1的数学期望。 例3.1.5.飞机场载客汽车上有20位乘客，离开机场后共有10个车站可以下车，若某个车站没有人 下车则该车站不停车。设乘客在每个车站下车的可能性相等，以X表示停车的次数，求EX。 解：设 1 第i个车站有人下车 Yi= 0 i=1,…,20. 第i个车站无人下车 20 则显然X= Y,所以 1 20 20 EX EY=P(第i个车站有人下车) i 20 1-0.920=8.784 i-l 3
½¬ 3.1.3. ξèòëÅC˛ßŸ©ŸºÍèF(x)ßXJ R +∞ −∞ |x|dF(x) < ∞ßK° Z +∞ −∞ xdF(x) èëÅC˛ξÍÆœ"ßPèEξ" ÍÆœ"òÑ5üXe bcè~Í, øÖe°9œ"—¥3"·Çk 1. Ec = c 2. Ecξ = cEξ 3. E(ξ + η) = Eξ + Eη 4. eξ ≥ 0ßKEξ ≥ 0 5. eξ ≥ ηßKEξ ≥ Eη. 6. g(x)èòBorelåˇºÍ(ù) ÎYºÍ! FºÍ )ßK Eg(ξ) = Z ∞ −∞ g(x)dFξ(x) 5ü6`² OéëÅC˛ºÍœ"Ül5ëÅC˛©Ÿ—u. ~3.1.4. r.v. X ∼ N(0, 1)߶Y = X2 + 1ÍÆœ"" ~3.1.5. úÅ|1êðê˛k20†¶êßlmÅ|k10áê’å±eêße,áê’vk< eêKTê’ÿ ê"¶ê3záê’eêåU5É ß±XL´ êgÍ߶EX" ): Yi = ( 1, 1 i áê’k<eê 0, 1 i áê’Ã<eê i = 1, · · · , 20. Kw,X = P 20 i=1 Yiߧ± EX = X 20 i=1 EYi = X 20 i=1 P(1 i áê’k<eê) = X 20 i=1 [1 − 0.9 20] = 8.784. 3
定理3.1.1.如果和η是定义在同一个概率空间上的相互独立的随机变量，它们的数学期望都存 在，则它们的乘积)的数学期望也存在，并且有 EEn=EEEn. 3.1.2 条件期望 我们知道条件分布也是一个概率分布，因此类似数学期望的定义，我们可以定义条件期望。 定义3.1.4.设m.w.X在r.v.Y=y的条件下的条件分布为F(xY=)。则当lzdF(Y=)< 0时，我们称 E(xir -)f"rdr(air 为随机变量X在给定条件Y=y下的条件期望。 期望所具有的性质条件期望同样满足。 例3.1.6.设(X,Y)~M(N,p1,p2),试计算E(XY=) 解：由于XY=k~B(N-k,P),所以由二项分布的性质知E(XY=)=(N-)2 定理3.1.2.设X,Y为两个随机变量，9(X)为可积的随机变量。则有 Eg(X)=EE[g(XY]} 全期望公式1 Poof.我们仅在连续型随机变量的情形下证明此定理。设Y的p.d.f为p(y),XY=y的p.d.f为q(xly)。 则 Eg(X)= g(x)q(xly)p(y)drdy g(x)q(xly)dxp(y)dy= Elg(X)Y =yp(y)dy 00 E(E[g(X)Y]} 口 例3.1.7.一窃贼被关在有3个门的地牢里，其中第一个门通向自由。出这门走3个小时便可以回到 地面：第2个门通向另一个地道，走5个小时将返回到地牢：第3个门通向更长的地道，走7个小时 也回到地牢。若窃贼每次选择3个门的可能性总相同，求他为获得自由而奔走的平均时间。 4
½n 3.1.1. XJξ⁄η¥½¬3”òáV«òm˛Ép’·ëÅC˛, ßÇÍÆœ"— 3, KßǶ»ξηÍÆœ"è3, øÖk Eξη = EξEη. 3.1.2 ^áœ" ·Ç^á©Ÿè¥òáV«©ŸßœdaqÍÆœ"½¬ß·Çå±½¬^áœ"" ½¬ 3.1.4. r.v. X3r.v. Y = y^áe^á©ŸèF(x|Y = y)"K R ∞ −∞ |x|dF(x|Y = y) < ∞ûß·Ç° E(X|Y = y) = Z ∞ −∞ xdF(x|Y = y) èëÅC˛X3â½^áY = ye^áœ"" œ"§‰k5ü^áœ"”˜v" ~3.1.6. (X, Y ) ∼ M(N, p1, p2)ߣOéE(X|Y = k)" )µduX|Y = k ∼ B(N − k, p1 1−p2 ), §±dë©Ÿ5üE(X|Y = k) = (N − k) p1 1−p2 . ½n 3.1.2. X, Y è¸áëÅC˛ßg(X)èå»ëÅC˛"Kk Eg(X) = E{E[g(X)|Y ]} [ œ"˙™] Proof. ·Ç=3ÎY.ëÅC˛ú/ey²d½n"Y p.d.f èp(y)ßX|Y = yp.d.fèq(x|y)" K Eg(X) = Z Z ∞ −∞ g(x)q(x|y)p(y)dxdy = Z Z ∞ −∞ g(x)q(x|y)dxp(y)dy = Z ∞ −∞ E[g(X)|Y = y]p(y)dy = E{E[g(X)|Y ]} ~3.1.7. òáM'3k3áÄ/Opߟ•1òáÄœïgd"—˘Är3áûBå±£ /°¶12áÄœï,òá/ßr5áûÚà£/O¶13áÄœïç/ßr7áû è£/O"eáMzg¿J3áÄåU5oɔ߶¶èºgd r²˛ûm" 4
解：设这个窃贼需要走X小时才能到达地面，并设Y代表他每次对3个门的选择情况，Y各 以1/3的概率取值1,2,3。则 3 EX=EE(XIY)】=∑E(XIY=)P(Y=) i=1 注意到E(XY=1)=3,E(XY=2)=5+EX,E(XY=3)=7+EX,所以 EX=33+5+EX+7+EX 即得到EX=15. 3.1.3分位数和p分位数 我们已经知道，随机变量的数学期望就是它的平均值，因此从一定意义上，数学期望刻画 了随机变量所取之值的”中心位置”。但是，我们也可以用别的数字特征来刻画随机变量的“中心 位置”。中位数就是这样一种数字特征。在不存在数学期望的随机变量，这种刻画工具显得尤为 重要，即使对于存在数学期望的随机变量，中位数也是一种相当有用的数字特征。 定义3.1.5.称μ为随机变量的中位数，如果 PE≤)≥行PE≥A-司 例3.1.8.设r.U.~B(1,),求的中位数。 解：由于的分布函数为 0, x≤0 F(x)= 0<x<1 1, x≥1 由中位数的定义知区间(0,1)内的每一个数都是的中位数。 定义3.1.6.设0<p<1,称p是随机变量的p分位数，如果 P(ξ≤p)≥p,P(ξ≥p)≥1-p 3.2方差、协方差和矩 3.2.1随机变量的矩与方差 除了期望外，如果随机变量为r次可积时，我们还可以考虑E”及E一E'。分别称为随机 变量的阶原点矩和中心矩。定义如下 5
)µ˘ááMIárXû‚Uà/°ßøY ìL¶zgÈ3áÄ¿Jú¹ßY à ±1/3V«ä1ß2ß3"K EX = E[E(X|Y )] = X 3 i=1 E(X|Y = i)P(Y = i) 5øE(X|Y = 1) = 3, E(X|Y = 2) = 5 + EX, E(X|Y = 3) = 7 + EXߧ± EX = 1 3 [3 + 5 + EX + 7 + EX] =EX = 15" 3.1.3 ©†Í⁄p©†Í ·ÇƲßëÅC˛ξÍÆœ"“¥ß²˛äßœdlò½ø¬˛ßÍÆœ"èx ëÅC˛§É䔕%†ò”"¥ß·Çèå±^OÍiA5èxëÅC˛/•% †ò0"•†Í“¥˘ò´ÍiA"3ÿ3ÍÆœ"ëÅC˛ß˘´èxÛ‰wcè áß=¶Èu3ÍÆœ"ëÅC˛ß•†Íè¥ò´Ék^ÍiA" ½¬ 3.1.5. °µèëÅC˛ξ•†ÍßXJ P(ξ ≤ µ) ≥ 1 2 , P(ξ ≥ µ) = 1 2 . ~3.1.8. r.v. ξ ∼ B(1, 1 2 )ß¶ξ•†Í" )µduξ©ŸºÍè F(x) = 0, x ≤ 0 1 2 , 0 < x < 1 1, x ≥ 1 d•†Í½¬´m(0,1)SzòáÍ—¥ξ•†Í" ½¬ 3.1.6. 0 < p < 1ß°µp¥ëÅC˛ξp©†ÍßXJ P(ξ ≤ µp) ≥ p, P(ξ ≥ µp) ≥ 1 − p. 3.2 ê !ê ⁄› 3.2.1 ëÅC˛›Üê ÿ œ" ßXJëÅC˛ξèrgå»ûß·ÇÑ屃Eξr9E|ξ − Eξ| r"©O°èëÅ C˛ξr :›⁄•%›"½¬Xe 5
定义3.2.1.设随机变量r次可积，即 El=rdF) 则我们称 g=ra回 联-r=k-ra版回 分别为随机变量的r阶原点矩和中心矩。当r=2时，称E(传一E)为随机变量的方差，记 为D()或者Var()。显然有 D(5)=EE2-(E5)2 对随机变量的方差，我们可以得到 定理3.2.3.设以下随机变量的2阶矩存在有限，c为常数.则有 1.0≤D(E)=E2-(E)2,因此D(E)≤E2. 2.D(cE)=c2D(E) 3.D()=0当且仅当P(E=c)=1,其中c=Eξ。 4.对任何常数c有，D()≤E(传-c)2,其中等号成立当且仅当c=E。 5.如果随机变量ξ和m相互独立，a,b为常数。则D(aE+bm)=a2D()+2D()。 为证明上述定理，我们介绍一个引理。 引理3.2.1.如果为退化于0的随机变量，则有E2=0:反之，如果随机变量的2阶矩存在而 且E2=0,则必为退化于0的随机变量. Poof:如果ξ为退化于0的随机变量，则有P(ξ=0)=1，故有E2=0。反之，如果随机变量平 方可积，并且E2=0,但是不退化于0，则有P(5=0)0和06)>e,于是E2>2e。导致矛盾，所以必退化到0. ▣ 例3.2.1.Possion分布P(A)的方差是入，二项分布B(n,p)的方差是np(1-p),正态分布N(a,σ2)的 方差为σ2
½¬ 3.2.1. ëÅC˛ξ rgå»ß= E|ξ| r = Z ∞ −∞ |x| r dFξ(x) 0 ⁄0 δ) > ßu¥Eξ2 > δ2 "ógÒߧ±ξ7Úz0. ~3.2.1. P ossion©ŸP(λ)ê ¥λ, ë©ŸB(n, p)ê ¥np(1 − p)ß©ŸN(a, σ2 ) ê èσ 2" 6
定义3.2.2.设非退化的随机变量平方可积，我们称 *=S-E5 VD(E) 为的标准化随机变量，其中VD(S)成为E的标准差。易见E*=0,D(*)=1. 我们引入标准化随机变量是为了消除由于计量单位的不同而给随机变量带来的影响.例如，我 们考察人的身高，那么当然可以以米为单位，得到1，也可以以厘米为单位，得到2.于是就有得 到2=1001.那么这样一来，2与1的分布就有所不同.这当然是一个不合理的现象.但是通过标 准化，就可以消除两者之间的差别，因为我们有楚= 3.2.2协方差和协方差阵 如果和η是定义在同一个概率空间上的两个随机变量，且ξ，平方可积，那么我们就可以 求+n的方差： D(E+)=E(ξ+)-E(E+)2=E(传-E)+(-E)2 =E(ξ-E)2+E(ξ-E)(m-En)+E(n-En)2 =DE+E(ξ-Eξ)(m-Em)+Dm. 在上式中出现了加项E(飞-E)(们-En),由于对任何实数x,y,都有x别≤(x2+y),所以我们有 IE(ξ-E(-En川≤E-EIlM-Enl≤(D+Dm) 所以只要ξ，平方可积，那么就有E(ξ-E)()一Em)存在. 定义3.2.3.设随机变量ξ，η平方可积，我们称 cou(ξ，n)=E(ξ-Eξ)()-Em) 为E与n的协方差，其中cou是英文单词Covariancet的缩写. 由协方差的定义我们可以得到
½¬ 3.2.2. öÚzëÅC˛ξ²êå»ß·Ç° ξ ∗ = ξ − Eξ p D(ξ) èξIOzëÅC˛ßŸ• p D(ξ)§èξIO "¥ÑEξ∗ = 0, D(ξ ∗ ) = 1. ·Ç⁄\IOzëÅC˛¥è ûÿduO˛¸†ÿ” âëÅC˛ë5Kè. ~X, · Ç < p, @o,å±±í踆, ξ1, èå±±fí踆, ξ2. u¥“k ξ2 = 100ξ1. @o˘ò5, ξ2Üξ1©Ÿ“k§ÿ”. ˘,¥òáÿ‹nyñ. ¥œLI Oz, “å±ûÿ¸ˆÉm O, œè·Çkξ ∗ 2 = ξ ∗ 1 . 3.2.2 ê ⁄ê XJξ⁄η¥½¬3”òáV«òm˛¸áëÅC˛, Öξ, η²êå», @o·Ç“å± ¶ξ + ηê : D(ξ + η) = E ((ξ + η) − E(ξ + η))2 = E ((ξ − Eξ) + (η − Eη))2 = E(ξ − Eξ) 2 + E(ξ − Eξ)(η − Eη) + E(η − Eη) 2 = Dξ + E(ξ − Eξ)(η − Eη) + Dη. 3˛™•—y \ëE(ξ − Eξ)(η − Eη), duÈ?¤¢Íx, y, —k|xy| ≤ 1 2 (x 2 + y 2 ), §±·Çk |E(ξ − Eξ)(η − Eη)| ≤ E|ξ − Eξ||η − Eη| ≤ 1 2 (Dξ + Dη). §±êáξ, η²êå», @o“kE(ξ − Eξ)(η − Eη)3. ½¬ 3.2.3. ëÅC˛ξ, η²êå», ·Ç° cov(ξ, η) = E(ξ − Eξ)(η − Eη) èξÜηê , Ÿ•cov¥=©¸cCovariance†. dê ½¬·Çå± 7
协方差具有如下性质： 1.cow(ξ，n)=cow(7,ξ) 2.D(ξ+n)=D()+cow(ξ，n)+D(n 3.cov(ξ，n)=E(En)-(E)(En) 4.对任何实数a1,a2,b1,b2,有 cou(a1E1+a252,bim +b2n2) aibjcov(Einj) i=1j=1 如果1，·，ξ是定义在同一概率空间下的随机变量，并且其中每个随机变量都是平方可积 的。称矩阵 ∑=(b）=(cow(ξ，ξ) D(1) cow(51,2)·cou(51,≤n) cow(ξ2,51) D(2) cov(ξ2，ξn) : cou(ξn,ξ1)cow(ξn,52）… D(En) 为1，…，n的协方差矩阵。显然∑≥0。 例3.2.2.设(X,Y)~N(a,bo,o2,p),则(X,Y)的协方差矩阵为 = p0102 p0102 3.2.3相关系数 在介绍相关系数的定义之前，我们看如下引理。 引理3.2.2.[Cauchy-Schwarz Inequality划设ξ，n均平方可积，则有 [Eξn2≤E2Em2 等号成立当且仅当P(5=ton)=1,其中to为一常数。 Poof.易知，对任何t∈R,都有 g():=E.t2-2En·t+Eξ2=E(5-tn)2≥0， 8
ê ‰kXe5üµ 1. cov(ξ, η) = cov(η, ξ) 2. D(ξ + η) = D(ξ) + cov(ξ, η) + D(η) 3. cov(ξ, η) = E(ξη) − (Eξ)(Eη) 4. È?¤¢Ía1, a2, b1, b2ßk cov(a1ξ1 + a2ξ2, b1η1 + b2η2) = X 2 i=1 X 2 j=1 aibjcov(ξi , ηj ) XJξ1, · · · , ξn¥½¬3”òV«òmeëÅC˛ßøÖŸ•záëÅC˛—¥²êå» "°› Σ = (bij ) = (cov(ξi , ξj )) = D(ξ1) cov(ξ1, ξ2) · · · cov(ξ1, ξn) cov(ξ2, ξ1) D(ξ2) · · · cov(ξ2, ξn) . . . . . . . . . . . . cov(ξn, ξ1) cov(ξn, ξ2) · · · D(ξn) èξ1, · · · , ξnê › "w,Σ ≥ 0" ~3.2.2. (X, Y ) ∼ N(a, b, σ2 1 , σ2 2 , ρ)ßK(X, Y )ê › è Σ = σ 2 1 ρσ1σ2 ρσ1σ2 σ 2 2 ! 3.2.3 É'XÍ 30 É'Xͽ¬Écß·ÇwXe⁄n" ⁄n 3.2.2. [Cauchy − Schwarz Inequality] ξ, η˛²êå»ßKk [Eξη] 2 ≤ Eξ2Eη2 “§·Ö=P(ξ = t0η) = 1ߟ•t0èò~Í" Proof. ¥, È?¤t ∈ R, —k g(t) := Eη2 · t 2 − 2Eξη · t + Eξ2 = E(ξ − tη) 2 ≥ 0 , 8
所以二次函数g(t)的判别式 △=4(E5)2-4Eξ2.En2≤0， 故得不等式 如果存在to∈R,使得P(ξ=ton)=1,显然就有 (Eξn)2=E2En2 反之，如果不等式等号成立，那么方程g(t)=0有唯一的实根t0,即有 E(ξ-ton2=g(to)=0, 于是由引理3.2.1知-ton是退化于0的随机变量，即有P(ξ=ton)=1. ▣ 推论3.2.1.设随机变量，n平方可积，则有 cow(ξ，)≤VDE.VDm 并且等号成立，当且仅当存在to∈R,使得P(E=ton)=1. 现在我们来给出相关系数的定义： 定义3.2.4.设随机变量，n平方可积，我们称 cow(ξ，n) Pn=√D·VD7 为与n的相关系数.如果r初=0，则称5与n不相关. 由此定义，我们可以立即得到 相关系数的性质 1.若和n相互独立，则Pp:,初=0 2.P:l≤1，等号成立当且仅当，n之间存在严格的线性关系，即 Pe,=1, 则存在a>0,b∈R使得ξ=am+b (正相关) Pen=-1, 则存在a<0,b∈R使得ξ=an+b (负相关) 例3.2.3.设X~U(-2,),而Y=cosX,则 1/2 cov(X,Y)=EXY= xcosxd =0 -1/2 所以X,Y不相关。但是X,Y之间存在着非线性的函数关系。 9
§±gºÍg(t)O™ ∆ = 4(Eξη) 2 − 4Eξ2 · Eη2 ≤ 0, ÿ ™. XJ3t0 ∈ R, ¶P(ξ = t0η) = 1, w,“k (Eξη) 2 = Eξ2Eη2 . áÉ, XJÿ ™ “§·, @oêßg(t) = 0kçò¢ät0, =k E(ξ − t0η) 2 = g(t0) = 0, u¥d⁄n3.2.1ξ − t0η¥Úzu0ëÅC˛, =kP(ξ = t0η) = 1. Ìÿ 3.2.1. ëÅC˛ξ, η²êå», Kk cov(ξ, η) ≤ p Dξ · p Dη, øÖ “§·, Ö=3t0 ∈ R, ¶P(ξ = t0η) = 1. y3·Ç5â—É'Xͽ¬: ½¬ 3.2.4. ëÅC˛ξ, η²êå», ·Ç° ρξ,η = cov(ξ, η) √ Dξ · √ Dη , èξÜηÉ'XÍ. XJrξ,η = 0, K°ξÜηÿÉ'. dd½¬ß·Çå±·= É'XÍ5ü 1. eξ⁄ηÉp’·ßKρξ,η = 0 2. |ρξ,η| ≤ 1, “§·Ö=ξ, ηÉm3ÓÇÇ5'Xß= ρξ,η = 1, K3 a > 0, b ∈ R ¶ ξ = aη + b (É') ρξ,η = −1, K3 a < 0, b ∈ R ¶ ξ = aη + b (KÉ') ~3.2.3. X ∼ U(− 1 2 , 1 2 )ß Y = cosXßK cov(X, Y ) = EXY = Z 1/2 −1/2 xcosxdx = 0 §±X, Y ÿÉ'"¥X, Y Ém3XöÇ5ºÍ'X" 9
此例说明相关系数是衡量随机变量之间的线性关系的： 定理3.2.4.对任何非退化的随机变量ξ，门平方可积，如下四个命题相互等价： (1)与n不相关； (2)cow(ξ，n)=0; (3)EEn=EEn; (4)D(ξ+n)=DE+Dm 我们来讨论不相关与独立性之间的关系， 定理3.2.5.对任何非退化的平方可积的随机变量，n而言，如果与n独立，那么它们不相关；但是 如果它们不相关却未必相互独立. 例3.2.4.试证明若(X,Y)服从单位圆内的均匀分布，则X,Y不相关但不独立。 例3.2.5.设随机变量和n的分布律分别为 () ( 并且P(·η=0)=1.则与n不独立，也不相关， 解：由和n的分布律，知E=0,Em=1/2.又因为P(ξ·？=0)=1，所以E(ξ·)=0.因 此cou(ξ，)=E(ξ·n)-Eξ·Em=0,故知ξ与m不相关.但是 P帐=)=P=)=5P6=1,n=1)≤P5n=1)≤P长7≠0=0， 所以 1 P(=1)P=1)=8≠0=P(=1,n=1, 可见与n不独立 事实上，利用与的边缘分布和条件P(·)=0)=1,不难求出（ξ，）的联合分布律为： Pij -1 0 1 Pi. 0 1/4 0 1/41/2 1 0 1/2 0 1/2 p.i 1/41/2 1/41 这是一个利用条件P(ξ·？=0)=1，由边缘分布律反推联合分布律的例子.其做法是：先在表中 填入P.和p,再在两个随机变量的乘积等于0的位置上填上概率0，然后利用第i行概率之和等于P, 第列概率之和等于p,推断出其余各处的概率值. 10
d~`²É'XÍ¥Ô˛ëÅC˛ÉmÇ5'X. ½n 3.2.4. È?¤öÚzëÅC˛ξ, η²êå», Xeoá·KÉp d: (1) ξÜηÿÉ'; (2) cov(ξ, η) = 0; (3) Eξη = EξEη ; (4) D(ξ + η) = Dξ + Dη. ·Ç5?ÿÿÉ'Ü’·5Ém'X. ½n 3.2.5. È?¤öÚz²êå»ëÅC˛ξ, η Û, XJξÜη’·, @oßÇÿÉ'; ¥ XJßÇÿÉ'%ô7Ép’·. ~3.2.4. £y²e(X, Y )—l¸† S˛!©ŸßKX, Y ÿÉ'ÿ’·" ~3.2.5. ëÅC˛ξ⁄η©ŸÆ©Oè ξ ∼ −1 0 1 1 4 1 2 1 4 ! , η ∼ 0 1 1 2 1 2 ! øÖP(ξ · η = 0) = 1. KξÜηÿ’·, èÿÉ'. ): dξ⁄η©ŸÆ, Eξ = 0, Eη = 1/2. qœèP(ξ · η = 0) = 1, §±E(ξ · η) = 0. œ dcov(ξ, η) = E(ξ · η) − Eξ · Eη = 0, ξÜηÿÉ'. ¥ P(ξ = 1) = 1 4 , P(η = 1) = 1 2 , P(ξ = 1, η = 1) ≤ P(ξ · η = 1) ≤ P(ξ · η 6= 0) = 0, §± P(ξ = 1)P(η = 1) = 1 8 6= 0 = P(ξ = 1, η = 1), åÑξÜηÿ’·. Ø¢˛, |^ξÜη>©Ÿ⁄^áP(ξ · η = 0) = 1, ÿJ¶—(ξ, η)È‹©ŸÆè: pij -1 0 1 pi· 0 1/4 0 1/4 1/2 1 0 1/2 0 1/2 p·j 1/4 1/2 1/4 1 ˘¥òá|^^áP(ξ · η = 0) = 1, d>©ŸÆáÌÈ‹©ŸÆ~f. Ÿâ{¥: k3L• W\pi·⁄p·j , 23¸áëÅC˛¶» u0†ò˛W˛V«0, ,|^1i1V«É⁄ upi· , 1jV«É⁄ up·j , ̉—Ÿ{à?V«ä. 10