第一章事件与概率 1.5条件概率 2 1.5.1全概率公式和Bayes公式 10 1.5.2事件的独立性 20 Previous Next First Last Back Forward 1
第一章事件与概率 1.5 条件概率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.5.1 全概率公式和 Bayes 公式 . . . . . . . 10 1.5.2 事件的独立性 . . . . . . . . . . . . . . 20 Previous Next First Last Back Forward 1
1.5条件概率 1.条件概率的定义 一般讲，条件概率就是在知道了一定的信息下所得到的随机事件 的概率.如两个工厂A和B生产同一品牌的电视机，商场中该品牌 有个统一的次品率，比如0.5%，如果你从某个途径知道该商场的这批 电视机是A厂生产的，则你买到的电视机的次品率不再是0.5%，这 个概率就是条件概率 设事件A和B是随机试验2中的两个事件，P(B)>0, 称 P(AB)= P(AB) Definition P(B) 为事件B发生条件下事件A发生的条件概率. Previous Next First Last Back Forward 2
1.5 条件概率 1. 条件概率的定义 一般讲, 条件概率就是在知道了一定的信息下所得到的随机事件 的概率. 如两个工厂 A 和 B 生产同一品牌的电视机, 商场中该品牌 有个统一的次品率, 比如 0.5%, 如果你从某个途径知道该商场的这批 电视机是 A 厂生产的, 则你买到的电视机的次品率不再是 0.5%, 这 个概率就是条件概率. 设事件 A 和 B 是随机试验 Ω 中的两个事件, P(B) > 0 , 称 P(A|B) = P(AB) P(B) 为事件 B 发生条件下事件 A 发生的条件概率. Definition Previous Next First Last Back Forward 2
注1.P(A)和P(AB)是不同的两个概率.如图，设矩形A的面积 为1，则P(A)表示A的面积，而P(AB)表示在B中，A所占的比 例，即AB这块面积在B中所占的比例. AB B B Previous Next First Last Back Forward 2
注 1. P(A) 和 P(A|B) 是不同的两个概率. 如图, 设矩形 A 的面积 为 1, 则 P(A) 表示 A 的面积, 而 P(A|B) 表示在 B 中, A 所占的比 例, 即 AB 这块面积在 B 中所占的比例. Previous Next First Last Back Forward 3
注2.可以从概率的统计定义，即用频率来近似概率这一角度来理解 条件概率.设在n次独立试验中，事件A发生了nA次，事件B发 生了nB次，事件AB发生了nAB次，事件B发生下事件A发生 的频率为 AE≈PAB n P(B) 注3.事实上，我们所考虑的概率都是在一定条件下计算的，因为随 机试验就是在一定的条件下进行的，所以样本空间是相对而言的.如 果把在一定条件下的随机试脸看成无条件的，则在补充条件下进行的 随机试验的结果一般而言相对于原有结果要少，即样本空间改变了 所以所得随机事件的概率一般是不相同的. Previous Next First Last Back Forward 4
注 2. 可以从概率的统计定义, 即用频率来近似概率这一角度来理解 条件概率. 设在 n 次独立试验中, 事件 A 发生了 nA 次, 事件 B 发 生了 nB 次, 事件 AB 发生了 nAB 次, 事件 B 发生下事件 A 发生 的频率为 nAB nB ≈ P(AB) P(B) 注 3. 事实上, 我们所考虑的概率都是在一定条件下计算的, 因为随 机试验就是在一定的条件下进行的, 所以样本空间是相对而言的. 如 果把在一定条件下的随机试验看成无条件的, 则在补充条件下进行的 随机试验的结果一般而言相对于原有结果要少, 即样本空间改变了. 所以所得随机事件的概率一般是不相同的. Previous Next First Last Back Forward 4
TExample 有10个产品，内有3个次品，从中一个个地抽取（不放回）检验 问第一次取到次品后第二次再取到次品的概率 ↓Example 解 Previous Next First Last Back Forward 5
↑Example 有 10 个产品, 内有 3 个次品, 从中一个个地抽取 (不放回) 检验, 问第一次取到次品后第二次再取到次品的概率. ↓Example 解: 样本空间 Ω 是从 10 个产品中有序取出 2 个产品的不同方法, 这 是一个排列问题, 易知 |Ω| = 10 × 9 = 90, 记 A ={第一次取出的是次 品}, B ={第二次取出的是次品}, |AB| = 6, |A| = 3, 故 P(B|A) = P(AB) P(A) = 6/90 3/10 = 2/9 注意, P(B|A) = 2/9 ̸= P(A) = 3/10. Previous Next First Last Back Forward 5
2.乘法定理 由P(AB)=P→P(AB)=P(AB)P(B) 由归纳法容易推广为n个事件同时发生的概率有如下公式： P(A1A2·An)=P(A)P(A2lA)…P(AnlA…An-1) 上面公式的右边看似麻烦，其实在实际中很容易算出.在没有给 出n个事件之间相互关系时，这是计算n个事件同时发生的一个重 要公式 Previous Next First Last Back Forward
2. 乘法定理 由 P(A|B) = P (AB) P (B) ⇒ P(AB) = P(A|B)P(B) 由归纳法容易推广为 n 个事件同时发生的概率有如下公式: P(A1A2 · · · An) = P(A1)P(A2|A1)· · · P(An|A1 · · · An−1) 上面公式的右边看似麻烦, 其实在实际中很容易算出. 在没有给 出 n 个事件之间相互关系时, 这是计算 n 个事件同时发生的一个重 要公式. Previous Next First Last Back Forward 6
TExample 某人忘了某饭店电话号码的最后一个数字，因而随意拨号，问他 三次之内拨通电话的概率. ↓Example 解 Previous Next First Last Back Forward
↑Example 某人忘了某饭店电话号码的最后一个数字, 因而随意拨号, 问他 三次之内拨通电话的概率. ↓Example 解:令 Ai={第 i 次打通电话}, i = 1, 2, 3 , 则 P(3次内拨通电话) = P(A1 ∪ A2 ∪ A3) = 1 − P(A¯1A¯2A¯3) = 1 − 9 10 8 9 7 8 = 0.3 Previous Next First Last Back Forward 7
TExample 将n根短绳的2n个端头任意两两连接，试求恰好连成n个圈的 概率。 ↓Example 解： Previous Next First Last Back Forward 8
↑Example 将 n 根短绳的 2n 个端头任意两两连接, 试求恰好连成 n 个圈的 概率. ↓Example 解: 以 Ω 表示所有不同连结结果的集合, 设想把 2n 个端头排成一 行, 然后规定将第 2k−1 个端头与第 2k 个端头相连接,k = 1, 2, · · · , n. 于是每一种排法对应一种连结结果, 从而 |Ω| = (2n)!. 以 A 表示恰好 连成 n 个圈的事件. 设想已将 n 根短绳作了编号, 以 Ak 表示第 k 号 短绳被连成 1 个圈的事件, 于是有 A = ∩n k=1 Ak. 当 A1 发生时,1 号短绳被连成 1 个圈, 这相当于有一个 k ∈ {1, 2, · · · , n}, 使得在 2n 个端头的排列中,1 号短绳的两个端头排在 第 2k − 1 和第 2k 个位置上, 所以 |A1| = 2n(2n − 2)!. 因此 P(A1) = |A1| |Ω| = 1 2n − 1 . Previous Next First Last Back Forward 8
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我们来求 P(A2|A1), 即要在已知 1 号短绳被连成 1 个圈的情况下, 求 2 号短绳也被连成 1 个圈的概率. 既然 1 号短绳已经自成 1 个圈, 我们就可以不考虑它, 只要对剩下的 n − 1 根短绳讨论其中的头一号 短绳被连成 1 个圈的问题就行了. 即知 P(A2|A1) = 1 2(n − 1) − 1 = 1 2n − 3 . 同理可得 P(Ak|A1A2 · · · Ak−1) = 1 2[n − (k − 1)] − 1 = 1 2n − 2k + 1 , k = 3, 4, · · · , n. 于是由概率乘法定理中的 (2.3.6) 式得到 P(A) = P( ∩n k=1 Ak) = ∏n k=1 1 2n − 2k + 1 = 1 (2n − 1)!! . 在这个解法中, 充分体现了利用变化了的概率空间计算条件概率 的好处. Previous Next First Last Back Forward 9
1.5.1全概率公式和Bayes公式 1.全概率公式 设B1,B2,…Bn是样本空间2中的两两不相容的一组事 件，即B:B=中，i≠j,且满足U片1B:=2,则称 Definition B1,B2,…Bn是样本空间的一个分割. 全概率公式： 设{B,B2,…Bn}是样本空间2的一个分割，且P(B)> 0(=1,…,n),A为2中的一个事件，则 P=2 P(AB:)P(B:) Previous Next First Last Back Forward 10
1.5.1 全概率公式和 Bayes 公式 1. 全概率公式 设 B1, B2, · · · Bn 是样本空间 Ω 中的两两不相容的一组事 件, 即 BiBj = ϕ, i ̸= j, 且满足 ∪n i=1 Bi = Ω, 则称 B1, B2, · · · Bn 是样本空间 Ω 的一个分割. Definition 全概率公式: 设 {B1, B2, · · · Bn} 是样本空间 Ω 的一个分割, 且 P(Bi) > 0(i = 1, · · · , n), A 为 Ω 中的一个事件, 则 P(A) = ∑n i=1 P(A|Bi)P(Bi) Previous Next First Last Back Forward 10