概率论与数理统计讲义 数理统计部分 张伟平 2007 Fall
V«ÿÜÍn⁄O˘¬ ——Ín⁄O‹© ‹ï² 2007 Fall
目录 第一章基本概念 1.1引言 1 1.2基本概念 3 1.2.1总体(Population),样本(Sample) 4 1.2.2统计量(Statistic) 6 1.3收集和加工有用的数据* 8 1.3.1数据的有效性.. 8 1.3.2充分统计量··· 8 1.3.3对数据作预处理 10 1.4统计三大分布...... 10 1.4.1X2,t,F分布··· 10 1.4.2 正态总体下京与S2的分布 12 1.5总结 14 参考文献 15 i
8¹ 1òŸ ƒ Vg 1 1.1 ⁄Û . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 ƒ Vg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1 oN(Population), (Sample) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 ⁄O˛(Statistic) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 ¬8⁄\Ûk^Í‚* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.1 Í‚k5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.2 ø©⁄O˛ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.3 ÈÍ‚ä˝?n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 ⁄Onå©Ÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4.1 χ 2 , t, F©Ÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4.2 oNeX¯ÜS 2©Ÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5 o( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Ωz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 i
Statistics is itself a sciencethe science of learning from data. -From Statistics:Challenges and Opportunities for the Twenty-First Century We are drowing in information and starving for knowledge. —Rutherford D.Roger iⅱ
Statistics is itself a science—– the science of learning from data. ——From Statistics: Challenges and Opportunities for the Twenty-First Century We are drowing in information and starving for knowledge. ——Rutherford D. Roger ii
第一章 基本概念 数理统计学是一门应用性很强的学科.它是研究怎样以有效的方式收集、整理和分 析带有随机性的数据，以便对所考察的问题作出推断和预测，直至为采取一定的决策 和行动提供依据和建议， 数理统计不同于一般的资料统计，它更侧重于应用随机现象本身的规律性进行资 料的收集、整理和分析.由于大量随机现象必然呈现出它的规律性，因而从理论上讲， 只要对随机现象进行足够多次观察，被研究的随机现象的规律性一定能清楚地呈现出 来.但客观情况只允许我们对随机现象进行次数不多的观察试验，也就是说，我们获得 的只是局部观察资料. 数理统计的任务就是研究怎样有效地收集、整理、分析所获得的有限的资料，对 所研究的问题，尽可能地作出精确而可靠的结论， 1.1 引言 1.1.Who Are Those Speedy Drivers? 在Penn.State University作了一个调查，被调查者要回答他们开车的最大速度？ 随机采访了87位男士和102位女士，得到数据如下：（单位：mp) male 1101099014010515012011011090115951451401101058595100 11512495100125140851201151051251028512011012011594125 80851401209213012511090110110959511010580100110130 10512090100105100120100100801001201056012512010011595 110101801121201101151255590105 female 8075838010010090759585908590901208510012075 85807085110857510595757090708285100907590 11080801101109575130951101108090105901107510090 1
1òŸ ƒ Vg Ín⁄OÆ¥òÄA^5ÈrÆâ. ߥԃN±kꙬ8!n⁄© ¤ëkëÅ5Í‚ß±Bȧ ØKä—̉⁄˝ˇßÜñèÊò½˚¸ ⁄1ƒJ¯ù‚⁄ÔÆ. Ín⁄Oÿ”uòÑ]⁄Oßßç˝uA^ëÅyñ 5Æ5?1] ¬8!n⁄©¤. duå˛ëÅyñ7,•y—ß5Æ5ßœ lnÿ˛˘ß êáÈëÅyñ?1v ıg* ßÔƒëÅyñ5Æ5ò½UòŸ/•y— 5. ê*ú¹ê#N·ÇÈëÅyñ?1gÍÿı* £ßè“¥`, ·Çº ꥤ‹* ]. Ín⁄O?÷“¥ÔƒNk/¬8!n!©¤§ºkÅ]ßÈ §ÔƒØK, ¶åU/ä—°( åÇ(ÿ. 1.1 ⁄Û ~1.1. Who Are Those Speedy Drivers? 3Penn. State University ä òáNßNˆá£â¶ÇmêÅåÑ›º ëÅÊñ 87†I¨⁄102†Â¨ßÍ‚Xeµ(¸†: mph) > male 110 109 90 140 105 150 120 110 110 90 115 95 145 140 110 105 85 95 100 115 124 95 100 125 140 85 120 115 105 125 102 85 120 110 120 115 94 125 80 85 140 120 92 130 125 110 90 110 110 95 95 110 105 80 100 110 130 105 120 90 100 105 100 120 100 100 80 100 120 105 60 125 120 100 115 95 110 101 80 112 120 110 115 125 55 90 105 > female 80 75 83 80 100 100 90 75 95 85 90 85 90 90 120 85 100 120 75 85 80 70 85 110 85 75 105 95 75 70 90 70 82 85 100 90 75 90 110 80 80 110 110 95 75 130 95 110 110 80 90 105 90 110 75 100 90 1
110859080808550809010080808095100901009580 805088909085709030858587859085759010280 1008095908095110 从这些数据中我们能了解到什么呢？男士和女士开车最快速度有什么特点？ 简单的数据总结得到 male Female Min.: 55.0 30.0 1st Qu.: 95.0 80.0 Median 110.0 89.0 Mean 107.4 88.4 3rdQu.:120.0 95.0 Max. 150.0 130.0 显然，有一半的男士开车的最快速度>110，有3/4的人最快速度>95，而开车最快 的速度为150，最慢的速度为55.对女士而言，有一半的人开车的最快速度≥89，有3/4的 人的最快速度≥80，而开车最快的速度为130，最慢的速度为30. 进一一步，我们还以对这些数据的分布有如下了解 从这些分析我们可以认为男性开车速度数据是服从某个正态分布的。 例1.2.在卢瑟福试验中，每隔一段时间观察一次由某种铀所放射的到达计数器的粒子 数，共观察100次，得到结果如下： i01234567891011≥12 15161726119921210 其中；表示观察到i个粒子的次数。由理论知识认为放射粒子数服从Poisse0n分布，试问 是否真是这样？ 例1和例2反映了统计的两个方面：描述性统计(Descriptive Statistics)和推断性统 计(Inferential Statistics)。 像例1那样对数据的特点（中心、方差、分位数、直方图等等）进行描述或者总结的 方法，我们称为描述性统计。而像例2那样，利用观察到的（部分）数据对总体作出某种 2
110 85 90 80 80 85 50 80 90 100 80 80 80 95 100 90 100 95 80 80 50 88 90 90 85 70 90 30 85 85 87 85 90 85 75 90 102 80 100 80 95 90 80 95 110 l˘ Í‚•·ÇU )üoQ? I¨⁄¨mêÅØÑ›küoA:º {¸Í‚o( male Female Min. : 55.0 30.0 1st Qu.: 95.0 80.0 Median : 110.0 89.0 Mean : 107.4 88.4 3rd Qu.: 120.0 95.0 Max. : 150.0 130.0 w,, kòåI¨mêÅØÑ›≥110, k3/4 <ÅØÑ›≥ 95, mêÅØ Ñ›è150, Å˙Ñ›è55. Ȩ Û, kòå<mêÅØÑ›≥89, k3/4 <ÅØÑ›≥ 80, mêÅØÑ›è130,Å˙Ñ›è30. ?ò⁄ß·ÇÑ±È˘ Í‚©ŸkXe ) l˘ ©¤·Çå±@èI5mêћ͂¥—l,á©Ÿ" ~1.2. 3©Ÿ4£•,zÖò„ûm* ògd,´f§òàOÍÏ‚f Í, * 100g, (JXe: i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ≥ 12 vi 1 5 16 17 26 11 9 9 2 1 2 1 0 Ÿ•viL´* iá‚fgÍ"dnÿ£@èò‚fÍ—lPoisson©Ÿß£Ø ¥ƒ˝¥˘º ~1⁄~2áN ⁄O¸áê°µ£„5⁄O(Descriptive Statistics) ⁄̉5⁄ O(Inferential Statistics )" î~1@ÈÍ‚A:(•%!ê !©†Í!Üê„ )?1£„½ˆo( ê{߷ǰ裄5⁄O" î~2 @ß|^* (‹©)Í‚ÈoNä—,´ 2
Histogram of male Histogram of female 6080t00120140 406080t00120 Normal Q-Q Plot Normal Q-Q Plot Theeroncal Queneaes 图1.1：直方图和正态Q-Q图 推断我们称为推断统计。概率论在推断统计中起着极其重要的作用。 因此，我们 也可以这样定义数理统计学： 定义1.1.1.数理统计学是一门使用概率论和数学的方法，研究怎样有效地收集带有随 机误差的数据，并在设定的模型下，对这种数据进行分析，以对所研究的问题作出推 断的一门学科。 1.2 基本概念 现实世界中存在着形形色色的数据，分析这些数据需要多种多样的方法.因此，数理 统计中的方法和支持这些方法的相应理论是相当丰富的.对推断性统计而言，主要有 如下两大类： 。参数估计一估计一些我们感兴趣的量.表现为：在概率模型（分布）假定下，根据 数据用一些方法对分布的未知参数进行估计. ·假设检验一对某种假设做出推断.表现为：根据数据，用一些方法对分布或分布 3
„ 1.1: Üê„⁄Q-Q„ ̉·Ç°è̉⁄O"V«ÿ3̉⁄O•ÂX4Ÿáä^" œdß·Ç èå±˘½¬Ín⁄OƵ ½¬ 1.1.1. Ín⁄OÆ¥òĶ^V«ÿ⁄ÍÆê{ßÔƒNk/¬8ëkë Åÿ Í‚ßø3½ .eßÈ˘´Í‚?1©¤ß±È§ÔƒØKä—Ì ‰òÄÆâ" 1.2 ƒ Vg y¢.•3X//⁄⁄Í‚,©¤˘ Í‚Iáı´ıê{. œd,Ín ⁄O•ê{⁄|±˘ ê{ÉAnÿ¥É¥L. È̉5⁄O ÛßÃák Xe¸åa: • ÎÍOOò ·Ça,˛. Lyè: 3V« .(©Ÿ)b½eßä‚ Í‚^ò ê{È©ŸôÎÍ?1O. • buÈ,´bâ—̉. Lyè: ä‚Í‚,^ò ê{È©Ÿ½©Ÿ 3
中的未知参数进行检验。 这两种推断渗透到了数理统计的每个分支， 在统计学里，有一些专门的术语来描述一个统计问题。我们来介绍一些常见的术 语和一个问题的统计描述。 ·总体 。样本 ·统计量 1.2.1总体(Population),样本(Sample) 在统计学中，将我们研究的问题所涉及的对象的全体称为总体，而把总体中的每个成 员称为个体.例如：我们想要研究一家工厂的某种产品的废品率.这种产品的全体就是 我们的总体，而每件产品则是个体 因此直观上讲，总体就是所考察对象的全体。但是实际上，我们真正关心的并不是 总体或个体的本身，而是其某项数量指标。比如例l,我们要考察Penn.State University 男士和女士开车的最快速度，因此总体就是该校所有人。而我们真正关心的是该校每个 人开车的最快速度这个数量指标。因此，我们应该把总体理解为那些研究对象上的某项 数量指标的全体 为了研究开车最快速度和性别之间的关系，通常的做法是从该校所有人中随机调 查一些人，被调查人的全体就是一个样本。同上，我们实际是把样本理解为个体的数 量指标.因此从总体中抽出的一部分个体组成一个样本，总体包含个体的数目称为总体 容量，样本包含个体的数目称为样本容量或者样本大小(Sample size)。 例1.3.研究某地区N个农户的年收人.在这里，总体既指这N个农户，又指我们关心的数 量指标一他们的年收入这N个数字.如果我们从这N个农户中随机地抽出个农户作 为调查对象，那么，这个农户以及我们关心的数量指标一他们的年收入这个数字就 是样本。 注意：在上面的例子中，总体是很直观的，是看得见摸得着的.但是客观情况并不 总是这样 4
•ôÎÍ?1u. ˘¸´Ì‰'fl Ín⁄Ozá©|. 3⁄OÆpßkò ;Ä‚ä5£„òá⁄OØK"·Ç50 ò ~Ñ‚ ä⁄òáØK⁄O£„" • oN • • ⁄O˛ 1.2.1 oN(Population), (Sample) 3⁄OÆ•,Ú·ÇÔƒØK§9Èñ N°èoN, roN•z᧠°èáN. ~X: ·ÇéáÔƒò[ÛÇ,´¨¢¨«. ˘´¨ N“¥ ·ÇoN, zá¨K¥áN. œdÜ*˛˘ßoN“¥§ Èñ N"¥¢S˛, ·Ç˝'%øÿ¥ oN½áN , ¥Ÿ,ëͲçI"'X~1, ·Çá Penn. State University I¨⁄¨mêÅØÑ›, œdoN“¥T§k<" ·Ç˝'%¥Tzá <mêÅØÑ›˘áͲçI"œd,·ÇATroNn)è@ ÔƒÈñ˛,ë ͲçI N. è ÔƒmêÅØÑ›⁄5OÉm'Xßœ~â{¥lT§k<•ëÅN ò <ßN< N“¥òá "”˛ß·Ç¢S¥r n)èáNÍ ˛çI. œdloN•ƒ—ò‹©áN|§òá ßoNù¹áNÍ8°èoN N˛ß ù¹áNÍ8°è N˛½ˆ å(Sample size)" ~1.3. Ôƒ,/´Ná‡rc¬<. 3˘p,oNQç˘Ná‡r,qç·Ç'%Í ˛çI¶Çc¬\˘NáÍi. XJ·Çl˘Ná‡r•ëÅ/ƒ—ná‡rä èNÈñ, @o, ˘ná‡r±9·Ç'%ͲçI¶Çc¬\˘náÍi“ ¥ . 5øµ3˛°~f•, oN¥ÈÜ*, ¥wѹX. ¥ê*ú¹øÿ o¥˘. 4
例1.4.用一把尺子去量一个物体的长度.假定次测量值为X1,·,Xn。显然，在这个 问题中，我们把测量值X1,·,X看成了样本，但是，总体是什么呢？事实上，这里没有 一个现实存在的个体的集合可以作为我们的总体.可是，我们可以这样考虑，既然个测 量值X1,·,X是样本，那么总体就应该理解为一切所有可能的测量值的全体 对一个总体，如果我们用X表示它的数量指标，那么X的值对不同的个体取不同的 值.因此，如果我们随机地抽取个体，则X的值也就随着抽取的个体的不同而不同. 所以X是一个随机变量！ 既然总体是随机变量X,自然就有其概率分布.我们把X的分布称为总体的分布.总 体的特性是由总体分布来刻画的.因此，我们常把总体和总体分布视为同义语， 例1.5.例1.3中，若农户年收入以万元计，假定N户中收入X为以下几种取值： 0.5,0.8,1,1.2和1.5. 取这些值的农户个数分别为：n1,n2,n3,n4,n5,(这里n1+n2+ng+n4+n5=N): 则总体X的分布为离散型分布，其分布律为： X 0.5 0.8 1 1.2 1.5 n1/N n2/N n3/N na/N ns/N 因此抽象地说，总体是一个分布。从总体中抽取一个个体就是做一次随机试验， 而抽取样本容量为n的一个样本，就是做n次随机试验，记为X1,·,Xn。而试验得到 的值x1,·,x则称为该样本的观察值。如下表所示： X (population) X2 (sample) X1 2 Xn (sample values) ·如果总体所包含的个体数量是有限的，则称该总体为有限总体.有限总体的分布显 然是离散型的，如例1.5. 5
~1.4. ^òrºf˛òá‘N›. b½ngˇ˛äèX1, · · · , Xn"w,, 3˘á ØK•, ·Çrˇ˛äX1, · · · , Xnw§ , ¥, oN¥üoQ? Ø¢˛, ˘pvk òáy¢3áN8‹å±äè·ÇoN. å¥, ·Çå±˘ƒ, Q,nᡠ˛äX1, · · · , Xn¥ , @ooN“ATn)èòɧkåUˇ˛ä N. ÈòáoN,XJ·Ç^XL´ßͲçI, @oXäÈÿ”áNÿ” ä. œd, XJ·ÇëÅ/ƒáN, KXäè“ëXƒáNÿ” ÿ”. §±X¥òáëÅC˛! Q,oN¥ëÅC˛X,g,“kŸV«©Ÿ. ·ÇrX©Ÿ°èoN©Ÿ. o NA5¥doN©Ÿ5èx. œd, ·Ç~roN⁄oN©Ÿ¿è”¬ä. ~1.5. ~1.3•ße‡rc¬\±O, b½Nr•¬\Xè±eA´ä: 0.5, 0.8, 1, 1.2⁄1.5. ˘ ä‡ráÍ©Oèµn1, n2, n3, n4, n5,(˘pn1 + n2 + n3 + n4 + n5 = N). KoNX©Ÿèl—.©Ÿ,Ÿ©ŸÆè: X 0.5 0.8 1 1.2 1.5 P n1/N n2/N n3/N n4/N n5/N œdƒñ/`ßoN¥òá©Ÿ"loN•ƒòááN“¥âògëÅ£ß ƒ N˛ènòá ß“¥ângëÅ£ßPèX1, · · · , Xn" £ äx1, · · · , xnK°èT * ä"XeL§´: • XJoN§ù¹áNͲ¥kÅ, K°ToNèkÅoN. kÅoN©Ÿw ,¥l—.,X~1.5. 5
·如果总体所包含的个体数量是无限的，则称该总体为无限总体.无限总体的分布可 以是连续型的，也可以是离散型的.通常在总体所含个体数量比较大时，我们就把 它近似地视为无限总体，并且用连续型分布去逼近总体的分布，这样便于做进一步 的统计分析.这种逼近所带来的误差，从应用观点来看，可以忽略不计， 当总体为某个确定的分布F时，则也称该总体为F总体。比如总体分布为正态分布 时，则称为正态总体：而总体分布为指数分布时，则称为指数总体等等。 。样本的二重性 1.假设X1,X2,·,X是从总体X中抽取的样本，在一次具体的观测或试验中，它们 是一批测量值，是一些已得到的数.这就是说，样本具有数的属性， 2.另一方面，由于在具体的试验或观测中，受到各种随机因素的影响，在不同的观测 中样本取值可能不同.因此，当脱离开特定的具体试验或观测时，我们并不知道样 本X1,X2,·,X的具体取值到底是多少，因此，可以把它们看成随机变量 样本X1,X2,·,X既可被看成数又可被看成随机变量，这就是所谓样本的二重性， 当试验是独立重复的进行时，则称样本X1,·,Xn为简单样本。即X1,…,Xn独 立同分布。以后我们若无特殊说明，所说的样本都是指简单样本。 综上，我们给出如下定义 定义1.2.2.若用r.v.X表示所研究对象的某一指标，则总体即为r.v.X(的分布)。从此 总体中抽取的n个随机变量X1,…,Xn称为样本，而样本X1,·,Xn的值1，·，xn称 为样本的观察值。 设总体X有概率函数（离散型即为分布律，连续场合下即为概率密度）f(x),则在简 单样本情形下，样本X1,·,X的联合分布为 p(c1,·,xn)= 1.2.2统计量(Statistic) 只依赖于样本的量称为统计量。比如设X1,·,Xn为从总体Fa(x)中抽取的一个样 本，其中为未知的参数，则公X为一个统计量，而乃X:-日就不是统计量。 —1 i=1 6
• XJoN§ù¹áNͲ¥ÃÅ,K°ToNèÃÅoN. ÃÅoN©Ÿå ±¥ÎY., èå±¥l—.. œ~3oN§¹áNͲ'åû, ·Ç“r ßCq/¿èÃÅoN, øÖ^ÎY.©Ÿ%CoN©Ÿ,˘Buâ?ò⁄ ⁄O©¤. ˘´%C§ë5ÿ ,lA^*:5w,å±—ÿO. oNè,á(½©ŸFû, Kè°ToNèFoN"'XoN©Ÿè©Ÿ û, K°èoN¶ oN©ŸèçÍ©Ÿû, K°èçÍoN " • 5 1. bX1, X2, · · · , Xn¥loNX•ƒ , 3òg‰N*ˇ½£•,ßÇ ¥ò1ˇ˛ä, ¥ò ÆÍ. ˘“¥`, ‰kÍ·5© 2. ,òê°,du3‰N£½*ˇ•,…à´ëÅœÉKè,3ÿ”*ˇ • äåUÿ”. œd,¯lmA½‰N£½*ˇû,·Çøÿ X1, X2, · · · , Xn‰Nä.¥ı, œd,å±rßÇw§ëÅC˛. X1, X2, · · · , XnQåw§Íqåw§ëÅC˛, ˘“¥§¢ 5. £¥’·E?1ûßK° X1, · · · , Xnè{¸ "=X1, · · · , Xn’ ·”©Ÿ"±·ÇeÃAœ`²ß§` —¥ç{¸ " n˛ß·Çâ—Xe½¬ ½¬ 1.2.2. e^r.v.XL´§ÔƒÈñ,òçIßKoN=èr.v.X(©Ÿ)"ld oN•ƒnáëÅC˛X1, · · · , Xn°è ß X1, · · · , Xnäx1, · · · , xn° è * ä" oNXkV«ºÍ(l—.=è©ŸÆßÎY|‹e=èV«ó›)f(x)ßK3{ ¸ ú/eß X1, · · · , XnÈ‹©Ÿè p(x1, · · · , xn) = Yn i=1 f(xi) 1.2.2 ⁄O˛(Statistic) êù6u ˛°è⁄O˛"'XX1, · · · , XnèloNFθ(x)•ƒòá ߟ•θèôÎÍßK Pn i=1 Xièòá⁄O˛ß Pn i=1 Xi − θ “ÿ¥⁄O˛" 6
统计量既然是依赖于样本的，而后者又是随机变量，故统计量也是随机变量，因 而就有一定的分布，这个分布叫做统计量的“抽样分布” 抽样分布就是通常的随机变量函数的分布.只是强调这一分布是由一个统计量所 产生的.研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良性，完全取决于其抽样分布的 性质.抽样分布有精确抽样分布（小样本问题中使用）和渐近分布（大样本问题中使 用)。 统计量的作用在于集中有用的信息，降低数据的维数。 。常见的统计量 以下我们设X1,·,Xn为样本。 1. 样本均值了=名X,反碳了总体均值的信总 2. 样本方差S2=高宫(X:-)反映了总体方差的信息 次序统计量X山≤X2≤…≤Xm,反映了总体分布的分位数信息 3-1.样本中位数 X(岁) n is odd m三 X()+X(爱+il,nis even 3-2.样本p(0<p<1)分位数Xn+1),此处[a表示不超过a的最大整数. 3-3.样本极大值和样本极小值： X(m和X 3-4.极差： X(n)X (1) 4. 样本阶矩，反映了总体k阶矩的信息 1样本阶限点矩欧=名套双 42.样本k阶中心矩m=是∑(X:-X)水 =1 5. 经验分布函数 Fn(x)={X1,·,Xn中≤x的个数}/n 例1.6.公司用机器向瓶子里灌装液体洗净剂，规定每瓶装毫升.但实际灌装量总有一 定的波动.假定灌装量的方差σ2=1，如果每箱装25瓶这样的洗净剂.求：这25瓶洗净剂 的平均灌装量与标定值m相差不超过0.3毫升的概率是多少？又：如果每箱装50瓶时呢？ 7
⁄O˛Q,¥ù6u ß ˆq¥ëÅC˛ß⁄O˛è¥ëÅC˛ßœ “kò½©Ÿß˘á©Ÿâ⁄O˛/ƒ©Ÿ0. ƒ©Ÿ“¥œ~ëÅC˛ºÍ©Ÿ. ê¥rN˘ò©Ÿ¥dòá⁄O˛§ ). Ôƒ⁄O˛5ü⁄µdòá⁄Ỏ`˚5ß ˚uŸƒ©Ÿ 5ü. ƒ©Ÿk°(ƒ©Ÿ£ ØK•¶^§⁄ÏC©Ÿ£å ØK•¶ ^§" ⁄O˛ä^3u8•k^&E߸$Í‚ëÍ" • ~Ñ⁄O˛ ±e·ÇX1, · · · , Xnè " 1. ˛ä X¯ = 1 n Pn i=1 Xi , áN oN˛ä&E 2. ê S 2 = 1 n−1 Pn i=1 (Xi − X¯) 2 , áN oNê &E 3. gS⁄O˛X(1) ≤ X(2) ≤ · · · ≤ X(n) , áN oN©Ÿ©†Í&E 3-1. •†Í m = X( n+1 2 ) , n is odd 1 2 [X( n 2 ) + X( n 2 +1)], n is even 3-2. p (0 < p < 1)©†ÍX[(n+1)p] , d?[a]L´ÿáLaÅåÍ. 3-3. 4åä⁄ 4ä: X(n)⁄X(1) 3-4. 4 : X(n) − X(1) 4. k ›, áN oNk ›&E 4-1. k :› ak = 1 n Pn i=1 Xk i 4-2. k •%› mk = 1 n Pn i=1 (Xi − X¯) k 5. ²©ŸºÍ Fn(x) = {X1, · · · , Xn• ≤ xáÍ}/n ~1.6. ˙i^ÅÏï¥fp/CóNW¿J, 5½z¥CmŒ,. ¢S/C˛okò ½Åƒ. b½/C˛ê σ 2 = 1, XJzáC25¥˘W¿J. ¶: ˘25¥W¿J ²˛/C˛ÜI½ämÉ ÿáL0.3Œ,V«¥ıºq: XJzáC50¥ûQ? 7