2007年第4期 牡丹江师范学院学报（自然科学版） No.4,2007 (总第60期) Journal of Mudanjiang Normal University Total No 60 数学期望的应用 廖飞，李楠 (牡丹江师范学院数学系，黑龙江牡丹江157012) 摘要：数学期望是概率论的一个重要概念应用数学期望讨论某些实际问题，从而得到一些有意义的结论， 关键词：数学期望：随机变量：应用 [中图分类法]0142 [文献标识码]A [文章编号]1003,6180(2007)04,0063.02 在实际生活中，有许多问题都可以直接或间接的 至关重要的，在实际活动中，人们往往不自觉地利 利用数学期望来解决.数学期望是随机变量的数字特 用它.以下通过具体的事例来说明数学期望在实 征之一，它代表了随机变量总体取值的平均水平. 际问题中的应用 1数学期望的定义 2.1保险公司获利问题 例1一年中一个家庭万元被盗的概率是 1.1离散型随机变量的数学期望 0.001,保险公司开办一年期万元以上家庭财产保 设离散型随机变量X的分布律为P(X= 险，参加者需缴保险费1000元，若在一年内，万 x)=p,(i=1,2,,若级数xp,绝对收敛， 元以上财产被盗，保险公司赔偿α元.为了最大限 度地给参保家庭以实惠，同时又保证保险公司有 则称∑x,p:的值为X的数学期望（或均值），记作 利润，试问保险赔偿金α如何确定，才能使保险公 E(X),即E(X)=∑xp 司获利？（不计其他费用） 解只需考察保险公司对任一参保家庭的获利 1.2连续型随机变量的数学期望 情况，设X表示保险公司对任一参保家庭的收益，则 X的取值为1000或1000-0，其概率分布为： 设X为连续型随机变量，其概率密度为 f(W,若。f(xWdx绝对收敛称。f(wdx 1000 1000-a 0.999 0.001 为X的数学期望（或均值），记作E(x),即 根据题意 E(X)=10000.999+(1000-a)0.001 1.3随机变量函数的数学期望 =1000-0.001a>0 设X是随机变量，Y=g(X)是X的连续实 解得a<10所以a<10时保险公司才能获利 函数，当X是离散型随机变量，其分布律为 2.2免费抽奖问题 P(X=x)=pmi=1,2,,当级数xp 例2袋中装有大小相同的球20个，10个 绝对收敛时，随机变量y=g(X)的数学期望为 10分，10个5分，从中摸出10个球，摸出的10个 球分数之和即为中奖分数，获奖如下： E(y=E(8W)=,8(xWp:.当X是连 一等奖100分，家电一件，价值2500元， 续型随机变量，概率密度是f(x),若积分 二等奖50分，家电一件，价值1000元， .。f(Wdx绝对收敛，随机变量y=g()的 三等奖95分，洗发精8瓶，价值176元， 四等奖55分，洗发精4瓶，价值88元， 数学期望为 五等奖60分，洗发精2瓶，价值44元， E(Y)=E(g(X)) g(x(dx 六等奖65分，牙膏一盒，价值8元， 七等奖70分，洗衣粉一袋，价值5元， 2 数学期望在实际问题中的应用 八等奖85分，香皂一块，价值3元， 九等奖90分，毛巾一条，价值2元， 数学期望无论从计划还是从决策观点看都是 十等奖75分与80分为优惠奖，仅收成本 收稿日期：2007-03-25 基金项目：黑龙江省教育厅科学技术研究项目(11511423) *数学系2002级学生 ·63· 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
收稿日期 :2007203225 基金项目 :黑龙江省教育厅科学技术研究项目(11511423) 3 数学系 2002 级学生 数学期望的应用 廖 飞 ,李 楠3 (牡丹江师范学院数学系 ,黑龙江 牡丹江 157012) 摘 要 :数学期望是概率论的一个重要概念 ,应用数学期望讨论某些实际问题 ,从而得到一些有意义的结论. 关键词 :数学期望 ;随机变量 ;应用 [中图分类法]O142 [文献标识码]A [文章编号]1003 - 6180 (2007) 04 - 0063 - 02 在实际生活中 ,有许多问题都可以直接或间接的 利用数学期望来解决.数学期望是随机变量的数字特 征之一 ,它代表了随机变量总体取值的平均水平. 1 数学期望的定义 1. 1 离散型随机变量的数学期望 设离散型随机变量 X 的分布律为 P ( X = xi) = pi ( i = 1 ,2 , …) ,若级数 ∑ ∞ i = 1 xi p i 绝对收敛 , 则称 ∑ ∞ i = 1 xi p i 的值为 X 的数学期望(或均值) ,记作 E( X) ,即 E( X) = ∑ ∞ i = 1 xi p i . 1. 2 连续型随机变量的数学期望 设 X 为连续型随机变量 , 其概率密度为 f ( x) ,若 + ∞ - ∞ x f ( x) d x 绝对收敛 ,称 + ∞ - ∞ xf ( x) dx 为 X 的数学期望(或均值) ,记作 E( X) ,即 E( X) = + ∞ - ∞ x f ( x) d x . 1. 3 随机变量函数的数学期望 设 X 是随机变量 , Y = g ( X) 是 X 的连续实 函数 ,当 X 是离散型随机变量 ,其分布律为 P( X = xi) = pi ( i = 1 ,2 , …) ,当级数 ∑ ∞ i = 1 xi p i 绝对收敛时 ,随机变量 Y = g ( X) 的数学期望为 E( Y) = E( g ( X) ) = ∑ ∞ i = 1 g ( xi) pi . 当 X 是连 续型 随 机 变 量 , 概 率 密 度 是 f ( x) , 若 积 分 + ∞ - ∞ x f ( x) d x 绝对收敛 ,随机变量 Y = g ( X) 的 数学期望为 E( Y) = E( g ( X) ) = + ∞ - ∞ g ( x) f ( x) d x . 2 数学期望在实际问题中的应用 数学期望无论从计划还是从决策观点看都是 至关重要的 ,在实际活动中 ,人们往往不自觉地利 用它. 以下通过具体的事例来说明数学期望在实 际问题中的应用. 2. 1 保险公司获利问题 例 1 一年中一个家庭万元被盗的概率是 0. 001 ,保险公司开办一年期万元以上家庭财产保 险 ,参加者需缴保险费 1 000 元 ,若在一年内 ,万 元以上财产被盗 ,保险公司赔偿 ɑ元. 为了最大限 度地给参保家庭以实惠 ,同时又保证保险公司有 利润 ,试问保险赔偿金 ɑ如何确定 ,才能使保险公 司获利 ? (不计其他费用) 解 只需考察保险公司对任一参保家庭的获利 情况 ,设 X 表示保险公司对任一参保家庭的收益 ,则 X 的取值为 1 000 或 1 000 - ɑ,其概率分布为: X 1 000 1 000 - ɑ P 0. 999 0. 001 根据题意 E( X) = 1 000 ×0. 999 + (1 000 - ɑ) ×0. 001 = 1 000 - 0. 001 ɑ> 0 解得 ɑ< 10 6 ,所以 ɑ< 10 6 时保险公司才能获利. 2. 2 免费抽奖问题 例 2 袋中装有大小相同的球 20 个 ,10 个 10 分 ,10 个 5 分 ,从中摸出 10 个球 ,摸出的 10 个 球分数之和即为中奖分数 ,获奖如下 : 一等奖 100 分 ,家电一件 ,价值 2500 元 , 二等奖 50 分 ,家电一件 ,价值 1000 元 , 三等奖 95 分 ,洗发精 8 瓶 ,价值 176 元 , 四等奖 55 分 ,洗发精 4 瓶 ,价值 88 元 , 五等奖 60 分 ,洗发精 2 瓶 ,价值 44 元 , 六等奖 65 分 ,牙膏一盒 ,价值 8 元 , 七等奖 70 分 ,洗衣粉一袋 ,价值 5 元 , 八等奖 85 分 ,香皂一块 ,价值 3 元 , 九等奖 90 分 ,毛巾一条 ,价值 2 元 , 十等奖 75 分与 80 分为优惠奖 ,仅收成本 · 36 · 2007 年第 4 期 牡丹江师范学院学报(自然科学版) No. 4 ,2007 (总第 60 期) Journal of Mudanjiang Normal University Total No 60
2007年第4期 牡丹江师范学院学报（自然科学版） No.4,2007 (总第60期) Journal of Mudanjiang Normal University Total No 60 22元，将得到洗发精一瓶 以1表示所获利润，则n的概率分布为 解表面上看整个活动对顾客有利，一等奖 到九等奖是白得的，只有十等奖收费，也仅收成 10 5 0 -2 本。事实上，用概率知识分析一下：摸出10个球 0.328 0.410 0.205 0.057 的分值只有11种情况，用X表示摸奖者获得的 奖励金额数，一等奖即得分100分，对应事件 Em=10×0.328+5×0.410+0×0.205+ (X=2500),该事件的概率服从超几何分布， （-2)0.057=5.216(万元) x=250)=6X取值为2500,100 故工厂一周内期望利润是5.216万元 176,88,44,8,5,3,2,22,概率可以类似求出，其 2.4投资效益问题 概率分布为： 例4某人用10万元进行为期一年的投资 X25001000 176 88 44 有两种投资方案：一是购买股票；二是存入银行 P0.0000050.0000050.0005410.0005410.01096 获取利息.买股票的收益取决于经济形势，若经 X 8 3 2 .22 济形势好可获利4万元，形势中等可获利1万 P0.0779410.2386930.0779410010960.582411 元，形势不好要损失2万元.如果存入银行，假设 利率为8%，可得利息8000元，又设经济形势好、 E(X)=∑xp:=·10.098,表明商家在平 中、差的概率分别为30%、50%、20%.试问应选 择哪一种方案可使投资的效益较大？ 均每一次的抽奖中获得10.098元钱，而平均每个 解由题设可知，在经济形势好和中等的情 抽奖者将花10.098元钱来享受这种免费抽奖，却 况下，购买股票是合算的；但如果经济形势不 没有机会获得大奖 好，那么采取存银行的方案合算.然而现实是不 知道哪种情况会出现，因此，要比较两种投资方 2.3生产利润问题 案获利的期望大小 例3一部机器在一天内发生故障的概率为 购买股票的获利期望是 0.2,机器发生故障则全天停止工作.若一周5个 E=40.3+1×1.5+(-2)0.2 工作日里无故障，可获利润10万元；发生1次故 =1.3(万元) 障仍可获利润5万元；发生2次故障所获利润 存入银行的获利期望是五=0.8（万元） 0元；发生3次或3次以上故障就要亏损2万元， 因为E>B,所以购买股票的期望收益比存入 求这个工厂一周的期望利润 银行的期望收益大，应采用购买股票的方案」 解设为一周内机器发生故障的天数，则 总之，知识来源于人类的实践活动，又反过 二项分布B(5,0.2), 来运用到改造世界的实践活动中，其价值也就在 P(5==CGX0.2X0.85.k 于此。教师在教授概率论的理论知识的时候，若 k=0,1,2,3,4,5 能结合学生所学专业举出相应的实例，不仅可以 P(5=0)=C80.2°0.85=0.328， 极大地调动学生学习的积极性，还能让学生了解 P(5=1)=C×0.21×0.84=0.410 知识与人类实践紧密联系的丰富底蕴，使学生切 P(=2)=C0.220.83=0.205 身体会到“数学的确有用”。本文通过探讨数学期 P(5≥3)=1-P(g=0)-P(g=1)-P(5=2) 望这一随机变量的重要数字特征在实际问题中的 =0.057 些应用以期起到抛砖引玉的作用。 参考文献 [1]严士健.概率论基础[M].北京：科学出版社，1982 [2]杨宗磐.概率入门[M].北京：科学出版社，1981. [3]胡细宝，王丽霞.概率论与数理统计[M).北京：北京邮电大学出版社，2003. [4]陈东明.离散型随机变量的期望与方差的应用[卩].数学通讯，2003(11). 编辑：文心 64 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
22 元 ,将得到洗发精一瓶. 解 表面上看整个活动对顾客有利 ,一等奖 到九等奖是白得的 ,只有十等奖收费 ,也仅收成 本。事实上 ,用概率知识分析一下 :摸出 10 个球 的分值只有 11 种情况 ,用 X 表示摸奖者获得的 奖励金额数 ,一等奖即得分 100 分 ,对应事件 ( X = 2 500) ,该事件的概率服从超几何分布 , P( X = 2 500) = C 10 10 C 10 10 C 10 20 , X 取值为 2 500 ,1 000 , 176 ,88 ,44 ,8 ,5 ,3 ,2 , - 22 ,概率可以类似求出 ,其 概率分布为 : X 2 500 1 000 176 88 44 P 0. 000 005 0. 000 005 0. 000 541 0. 000 541 0. 010 96 X 8 5 3 2 - 22 P 0. 077 941 0. 238 693 0. 077 941 0. 010 96 0. 582 411 E( X) = ∑ ∞ i = 1 xi p i = - 10. 098 ,表明商家在平 均每一次的抽奖中获得 10. 098 元钱 ,而平均每个 抽奖者将花 10. 098 元钱来享受这种免费抽奖 ,却 没有机会获得大奖. 2. 3 生产利润问题 例 3 一部机器在一天内发生故障的概率为 0. 2 ,机器发生故障则全天停止工作. 若一周 5 个 工作日里无故障 ,可获利润 10 万元 ;发生 1 次故 障仍可获利润 5 万元 ;发生 2 次故障所获利润 0 元 ;发生 3 次或 3 次以上故障就要亏损 2 万元 , 求这个工厂一周的期望利润. 解 设ζ为一周内机器发生故障的天数 ,则 ζ二项分布 B (5 , 0. 2) , P(ζ = k) = C k 5 ×0. 2 k ×0. 8 5 - k , k = 0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,5 P(ζ= 0) = C 0 5 ×0. 2 0 ×0. 8 5 = 0. 328 , P(ζ = 1) = C 1 5 ×0. 2 1 ×0. 8 4 = 0. 410 , P(ζ= 2) = C 2 5 ×0. 2 2 ×0. 8 3 = 0. 205 , P(ζ ≥3) = 1 - P(ζ = 0) - P(ζ= 1) - P(ζ= 2) = 0. 057. 以η表示所获利润 ,则η的概率分布为 : η 10 5 0 - 2 P 0. 328 0. 410 0. 205 0. 057 Eη = 10 ×0. 328 + 5 ×0. 410 + 0 ×0. 205 + ( - 2) ×0. 057 = 5. 216 (万元) . 故工厂一周内期望利润是 5. 216 万元. 2. 4 投资效益问题 例 4 某人用 10 万元进行为期一年的投资 , 有两种投资方案 : 一是购买股票 ; 二是存入银行 获取利息. 买股票的收益取决于经济形势 , 若经 济形势好可获利 4 万元 , 形势中等可获利 1 万 元 , 形势不好要损失 2 万元. 如果存入银行 ,假设 利率为 8 % ,可得利息 8000 元 , 又设经济形势好、 中、差的概率分别为 30 %、50 %、20 %. 试问应选 择哪一种方案可使投资的效益较大 ? 解 由题设可知 , 在经济形势好和中等的情 况下 , 购买股票是合算的 ; 但如果经济形势不 好 , 那么采取存银行的方案合算. 然而现实是不 知道哪种情况会出现 , 因此 ,要比较两种投资方 案获利的期望大小. 购买股票的获利期望是 E1 = 4 ×0. 3 + 1 ×1. 5 + ( - 2) ×0. 2 = 1. 3 (万元) ; 存入银行的获利期望是 E2 = 0. 8 (万元) . 因为 E1 > E2 , 所以购买股票的期望收益比存入 银行的期望收益大 , 应采用购买股票的方案. 总之 ,知识来源于人类的实践活动 , 又反过 来运用到改造世界的实践活动中 , 其价值也就在 于此。教师在教授概率论的理论知识的时候 , 若 能结合学生所学专业举出相应的实例 , 不仅可以 极大地调动学生学习的积极性 , 还能让学生了解 知识与人类实践紧密联系的丰富底蕴 , 使学生切 身体会到“数学的确有用”。本文通过探讨数学期 望这一随机变量的重要数字特征在实际问题中的 一些应用以期起到抛砖引玉的作用。 参考文献 [ 1 ] 严士健. 概率论基础[ M]. 北京 :科学出版社 ,1982. [ 2 ] 杨宗磐. 概率入门[ M]. 北京 :科学出版社 ,1981. [ 3 ] 胡细宝 , 王丽霞. 概率论与数理统计[ M]. 北京 : 北京邮电大学出版社 , 2003. [ 4 ] 陈东明. 离散型随机变量的期望与方差的应用[J ]. 数学通讯 ,2003 (11) . 编辑 :文心 · 46 · 2007 年第 4 期 牡丹江师范学院学报(自然科学版) No. 4 ,2007 (总第 60 期) Journal of Mudanjiang Normal University Total No 60