中国科学技术大学 2010一2011学年第二学期考试试卷 考试科目概率论与数理统计 得分 所在系 姓名 学号 考试时间：2011年6月4日下午2：30一4：30：使用简单计算器 一.填空判断选择题（每题3分，答题请写在试卷上）： 1设A,B,C是三个相互独立的随机事件，且0<P(C)<1,则在下列给定的四对事件 中不相互独立的是 (A)A+B和C (B)AC和C (C)A-B和C (D)AB和C 2设A,B,C为三个事件，则下面等式中正确的是 (A)AUB-B=A-B (B)(A-B)UB=A : (C)(AUB)-C=AU(B-C) (D)AUB=(AB)U(AB) 3设f(x)和g(x)为两个概率密度函数，则af(x)+bg(x)也是概率密度函数的充分必要 条件为 4随机变量X和Y不相关，则必有 (A)Var(XY)=Var(X)Var(Y) (B)F(x,y）=Fx(x)Fy(y (C)X和Y相互独立 (D)EXY=EX·EY 5设0n为未知参数0的一个估计量，如果1imEn-川=0，则6n为9的 (A)无偏估计(B)有效估计(C)相合估计(D)渐近正态估计 6在实验次数无穷大时，某个事件发生的频率就等于其发生的概率.该说法 浆 (A)正确 (B)错误 7连续型随机变量就是取值为连续区间的随机变量.该说法 (A)正确 (B)错误 8设X1…,Xnii.d~V(4,1),考虑假设检验问题Ho:μ=0分H1:μ=1，则 由的极大似然估计可以得到一个水平α检验法则为 ：该检验法则 犯二型错误的概率为 9设基于某组样本得到的总体均值μ的95%置信区间为0.234,1.03)，则我们可以在显 著性水平 下 (接受或拒绝)零假设Ho:4=0, 10设某种产品的质量等级可以划分为“优”，“合格”和“不合格”，则使用拟合优度检 验方法在检验生产此产品的三家工厂的产品没有差异这一假设时，检验统计量的 渐近卡方分布的自由度为 2010—2011学年第二学期概率论与数理统计试卷共2页第1页
• I â Æ E ‚ å Æ 2010—2011Æc1Æœ££Ú £â8 V«ÿÜÍn⁄O © §3X 6¶ Æ“ £ûm: 2011c64FeÃ2:30—4:30; ¶^{¸OéÏ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . æ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ç . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ò. Wò‰¿JK(zK3©,âKû3£Ú˛)µ 1 A, B, C¥náÉp’·ëÅØá, Ö0 < P(C) < 1, K3eâ½oÈØá •ÿÉp’·¥ . (A) A + B ⁄C (B) AC ⁄C (C) A − B ⁄C¯ (D) AB ⁄C¯ 2 A, B, C ènáØá, Ke° ™•(¥ . (A) A ∪ B − B = A − B (B) (A − B) ∪ B = A (C) (A ∪ B) − C = A ∪ (B − C) (D) A ∪ B = (AB¯) ∪ (AB¯ ) 3 f(x)⁄g(x)è¸áV«ó›ºÍ, Kaf(x) + bg(x)è¥V«ó›ºÍø©7á ^áè . 4 ëÅC˛ X ⁄ Y ÿÉ', K7k (A) V ar(XY ) = V ar(X)V ar(Y ) (B) F(x, y) = FX(x)FY (y) (C) X⁄Y Ép’· (D) EXY = EX · EY 5 ˆθnèôÎÍθòáO˛, XJ limn→∞ E| ˆθn−θ| = 0, Kˆθnèθ . (A) ÆO (B) kO (C) É‹O (D) ÏCO 6 3¢gÍðåû, ,áØáu)™«“ uŸu)V«. T`{ . (A) ( (B) Üÿ 7 ÎY.ëÅC˛“¥äèÎY´mëÅC˛. T`{ . (A) ( (B) Üÿ 8 X1, · · · , Xn i.i.d ∼ N(µ, 1), ƒbuØKH0 : µ = 0 ↔ H1 : µ = 1, K dµ4åq,Oå±òáY²αu{Kè ; Tu{K ã.ÜÿV«è . 9 ƒu,| oN˛äµ95%ò&´mè[0.234, 1.03], K·Çå±3w Õ5Y² e (…½·˝)"bH0 : µ = 0. 10 ,´¨ü˛ ?å±y©è“`”, “‹Ç” ⁄“ÿ‹Ç”, K¶^[‹`›u ê{3u)d¨n[ÛǨvk …˘òbû, u⁄O˛ ÏCkê©Ÿgd›è . 2010—2011Æc1ÆœV«ÿÜÍn⁄O£Ú 2 ê 11 ê
二.(15分)假设有4个罐子，其中第k个罐子里有k-1个红球和4-k个蓝球，k=1,2,3,4. 现随机取出一个罐子，然后不放回地从中取出两球，求 (1)取出的两个球颜色不同的概率， (2)若已知其中一个球为红球，则另外一个球也为红球的概率， 三.(15分)设二维随机变量X,Y的联合概率密度函数为 f,)= 1. 0<x<1,0<y<2x 0,其他 (1)试求出X,Y的边际概率密度函数∫x(x)和fx(y): (2)试求Z=2X-Y的概率密度函数fz(z): (3)试求P(Y≤X=): 四.(10分)设某种疾病的发病率为0.005，现随机调查1000人，考虑事件A=“在调查的人中 发病人数在3至7个人”，试 (1)使用Poisson逼近方法求P(A) (2)使用中心极限定理求P(A): 五.(15分)设样本Yi,·,Yn相互独立，Y心N(a4,o2),i=1,·,n,其中a1,·,an为已 知不全为零的常数。 (1)求和σ2的极大似然估计和2 (2)是否为μ的无偏估计？ (3)02是否为σ的无偏估计？若是请加以证明，说不是请据此构造一个无偏估计. 六.(15分)为了解甲乙两企业的职工工资水平，分别从两企业各随机抽取若干名职工调 查，得如下数据（单位：元： 甲企业 7501060750 1820114010501000 乙企业 10001900 9001800 12001700 19501200 假设两个企业的工资分别服从正态分布，且总体独立而均值方差均未知.试根据以上 数据判断： (1)两企业职工工资的方差是否相等（α=0.05）？ (2)甲企业职工平均工资是否低于乙企业职工平均工资（α=0.05）： 附录分布及分位数：④(0.897)=0.815，u0.025=1.960,0.05=1.645,t0.025(13)=2.16, t0.025(14)=2.145,to.05(13)=1.771,t0.05(14)=1.761,X6.05(1)=3.841,X.05(2)=5.991, F.025(6,7)=5.119,0.025(7,6)=5.695. 2010一2011学年第二学期概率论与数理统计试卷共2页第2页
. (15©) bk4á-f, Ÿ•1ká-fpkk − 1ᢕ⁄4 − ká7•, k = 1, 2, 3, 4. yëÅ—òá-f, ,ÿò£/l•—¸•, ¶ (1) —¸á•Ù⁄ÿ”V«. (2) eÆŸ•òá•è˘•, K, òá•èè˘•V«. n. (15©) ëëÅC˛X, Y È‹V«ó›ºÍè f(x, y) = ( 1, 0 SV«ó›ºÍfX(x)⁄fY (y); (2) £¶Z = 2X − Y V«ó›ºÍfZ(z). (3) £¶P(Y ≤ 1 2 |X = 1 2 ). o. (10©) ,´;æuæ«è0.005, yëÅN1000<, ƒØáA =“3N<• uæ<Í33ñ7á<”, £ (1) ¶^Poisson%Cê{¶P(A). (2) ¶^•%4Žn¶P(A). . (15©) Y1, · · · , YnÉp’·, Yi ∼ N(aiµ, σ2 ), i = 1, · · · , n, Ÿ•a1, · · · , anèÆ ÿ è"~Í. (1) ¶µ⁄σ 24åq,Oµˆ⁄ bσ 2 . (2) ˆµ¥ƒèµÃ†O? (3) bσ 2¥ƒèσ 2ÆO? e¥û\±y², `ÿ¥û‚dEòáÆO. 8. (15©) è )`ظËíÖÛÛ]Y², ©Ol¸ËíàëŃeZ¶ÖÛN , XeÍ‚(¸†: ): `Ëí 750 1060 750 1820 1140 1050 1000 ØËí 1000 1900 900 1800 1200 1700 1950 1200 b¸áËíÛ]©O—l©Ÿ, ÖoN’· ˛äê ˛ô. £ä‚±˛ Í‚‰µ (1) ¸ËíÖÛÛ]ê ¥ƒÉ (α = 0.05)? (2) `ËíÖÛ²˛Û]¥ƒ$uØËíÖÛ²˛Û](α = 0.05). N¹ ©Ÿ9©†Í: Φ(0.897) = 0.815, u0.025 = 1.960, u0.05 = 1.645, t0.025(13) = 2.16, t0.025(14) = 2.145, t0.05(13) = 1.771, t0.05(14) = 1.761, χ 2 0.05(1) = 3.841, χ 2 0.05(2) = 5.991, F0.025(6, 7) = 5.119, F0.025(7, 6) = 5.695. 2010—2011Æc1ÆœV«ÿÜÍn⁄O£Ú 2 ê 12 ê
