中国科学技术大学 2010一2011学年第一学期考试试卷 考试科目概率论与数理统计 得分 所在系 姓名 学号 考试时间：2010年12月26日下午2：30一4：30；使用简单计算器 一.填空判断选择题（每题3分，答题请写在试卷上）： 1掷3个骰子，恰好有两枚点数相同的概率为 2设X1,…,Xm为相互独立的N(0,o2)变量，其中a2未知.令求=是∑1X,S2= 是∑”1X?,则下的分布为 nS2/o2的分布为 3设随机变量X和Y相互独立，同分布于期望为三的指数分布，则min{X,Y}服从 舒 参数为 的 分布 4设Var(X)=4Var(Y)=1,Com(X,Y)=0.25,则X-Y与X+Y的相关系数 Px-YX+Y= 5设A,B为互斥事件，则A,B相互独立的充分必要条件为 6参数估计量优良性的准则有 (写出至少两个) 7假设X,Y分别服从标准正态分布，则X+Y的分布仍为正态分布.该说法 (A)正确 (B)错误 8总体参数的置信水平为95%的置信区间是指 : (A)总体参数落在一个特定的样本所构造的区间内的概率为95% (B)总体参数落在一个特定的样本所构造的区间内的概率为5% (C)在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，包含总体参数的区间比例 热 为95% (D)在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，包含总体参数的区间比例为5% 9设X1,·,Xn为来自于正态总体N(4,1)的简单随机样本，若要求参数μ的置信系 数为0.95的置信区间长度不超过1，则至少需要抽取的样本量n为 (A)14 (B)16(C)18(D)20 10进行1000次独立重复实验，每次实验中事件A要么发生，要么不发生，且发生 的概率为0.5，则可以近似于95%的概率认为事件A发生的频率与概率相差不超 过 (A)2.12%(B)2.68% (C)1.08% (D)3.24% 二.(15分)假定某种病菌在群体中的带菌率为1%.在检测时，带菌者和不带菌者被检测出 阳性的概率分别为0.98和0.02. (1)现有某人被测出呈阳性反应，则他是带菌者的概率是多少？ 2010一2011学年第一学期概率论与数理统计试卷共2页第1页
• I â Æ E ‚ å Æ 2010—2011Æc1òÆœ££Ú £â8 V«ÿÜÍn⁄O © §3X 6¶ Æ“ £ûm: 2010c1226FeÃ2:30—4:30; ¶^{¸OéÏ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . æ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ç . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ò. Wò‰¿JK(zK3©,âKû3£Ú˛)µ 1 ï3áfßT–k¸q:ÍÉ”V«è . 2 X1, · · · , Xn èÉp’· N(0, σ2 ) C˛, Ÿ•σ 2ô. -X¯ = 1 n Pn i=1 Xi , S2 = 1 n Pn i=1 X2 i , KX¯©Ÿè , nS2/σ2©Ÿè . 3 ëÅC˛ X ⁄ Y Ép’·, ”©Ÿuœ"è 1 λ çÍ©Ÿ, Kmin{X, Y }—l ÎÍè ©Ÿ. 4 V ar(X) = 4V ar(Y ) = 1, Cov(X, Y ) = 0.25, KX − Y ÜX + Y É'XÍ ρX−Y,X+Y = . 5 A, B èp½Øá, KA, B Ép’·ø©7á^áè . 6 ÎÍO˛`˚5OKk (—ñ¸á). 7 bX, Y ©O—lIO©Ÿ, KX+Y ©ŸEè©Ÿ. T`{ . (A) ( (B) Üÿ 8 oNÎÍò&Y²è95%ò&´m¥ç (A)oNÎÍ·3òáA½ §E´mSV«è95% (B)oNÎÍ·3òáA½ §E´mSV«è5% (C)3^”ê{EoNÎÍıá´m•ßù¹oNÎÍ´m'~ è95% (D)3^”ê{EoNÎÍıá´m•ßù¹oNÎÍ´m'~è5% 9 X1, · · · , Xn è5guoNN(µ, 1){¸ëÅ , eá¶ÎÍ µ ò&X Íè0.95ò&´m›ÿáL1, KñIრ˛n è . (A) 14 (B) 16 (C) 18 (D) 20 10 ?11000g’·E¢, zg¢•ØáAáou), áoÿu), Öu) V«è0.5, Kå±Cqu95%V«@èØáAu)™«ÜV«É ÿá L . (A) 2.12% (B) 2.68% (C) 1.08% (D) 3.24% . (15©) b½,´æˇ3+N•ëˇ«è1%. 3uˇû, ëˇˆ⁄ÿëˇˆuˇ— 5V«©Oè0.98⁄0.02. (1) yk,<ˇ—•5áA, K¶¥ëˇˆV«¥ı? 2010—2011Æc1òÆœV«ÿÜÍn⁄O£Ú 2 ê 1 1 ê
(2)为了进一步确认，这个人决定再独立的做一次测试，检测结果依然是阳性，问在两 次检测结果都呈阳性反应的情况下，他确实为带菌者的概率是多少？ 三.(15分)设随机变量(X,Y)服从A={(x,y):x+≤1，x-≤1}内的均匀分布，则 (1)试求出X和Y的边际分布： (2)X和Y是否相互独立？不相关？ (3)求在X=x(0<x<1)时Y的条件密度 四.(15分)设总体X的分布律为 X 1 2 3 PP 2p1-3p 现从此总体中抽出一样本量为n的样本，发现其中1出现了1次，2出现了n2次，3出现 了ng次.试 (1)求p的极大似然估计量和矩估计量p. (2)证明所得的估计量均为无偏估计，并说明两个估计量何者最优. 五.(15分)某针灸减肥机构宣称疗程结束后可以使参加者平均减少体重5kg以上，为检验 该广告是否可信，调查人员随机调查跟踪了10名参加者，测得他们参加前和参加后的 体重(kg)为 参加前65.3962.8963.5060.8363.0762.8857.8063.07 66.0570.78 参加后61.7259.4359.6457.3058.5060.8451.89 60.0263.6765.67 假设参加前和参加后的体重服从正态分布，试 (1)在显著性水平0.05下检验该机构的宣传是否可信. (2)给出平均减少体重的95%置信区间 六.(10分)为研究女性和男性在美国选举中的偏好差异，1991年美国普通社会调查随 机调查了577名女性和403名男性，询问每人是倾向于“支持民主党”，“支持共和 党”以及“中立”，得到的调查数据如下： 所支持政党(Party) 性别(Gender)民主党(O)中立(I)共和党(2)总计 女性(1) 279 73 225 577 男性(O) 165 47 191 403 总数 444 120 416 980 (1)为了检验选民政治倾向是否与性别有关，试写出此问题的原假设， (2)在显著性水平0.05下，可否认为选民的政治倾向与性别无关？ 附录分位数：u0.025=1.960,u0.05=1.645,t0.025(10)=2.228,t0.025(9)=2.262,t0.05(10)= 1.812,to.05(9)=1.833,X605(1)=3.841,X05(2)=5.991 2010一2011学年第一学期概率论与数理统计试卷共2页第2页
(2) è ?ò⁄(@, ˘áS©Ÿ; (2) X⁄Y ¥ƒÉp’·? ÿÉ'? (3) ¶3X = x (0 < x < 1) ûY ^áó›. o. (15©) oNX©ŸÆè X 1 2 3 P p 2p 1 − 3p yldoN•ƒ—ò ˛èn , uyŸ•1—y n1g, 2—y n2g, 3—y n3g. £ (1) ¶p4åq,O˛pˆ⁄›O˛p˜. (2) y²§O˛˛èÆO, ø`²¸áO˛¤ˆÅ`. . (15©) ,…~ùÅ\°ß(Â屶Î\ˆ²˛~N5kg±˛, èu T2w¥ƒå&, N< ëÅNãl 10¶Î\ˆ, ˇ¶ÇÎ\c⁄Î\ N(kg)è Î\c 65.39 62.89 63.50 60.83 63.07 62.88 57.80 63.07 66.05 70.78 Î\ 61.72 59.43 59.64 57.30 58.50 60.84 51.89 60.02 63.67 65.67 bÎ\c⁄Î\N—l©Ÿ, £ (1) 3wÕ5Y²0.05euTÅ\D¥ƒå&. (2) â—²˛~N95%ò&´m. 8. (10©) èÔƒÂ5⁄I53{I¿fi•†– …ß1991c{I œ¨Në ÅN 577¶Â5⁄403¶I5ߌØz<¥ñïu/|±¨Ã 0ß/|±⁄ 0±9/•·0ßNÍ‚Xeµ §|± (Party) 5O(Gender) ¨Ã (0) •·(1) ⁄ (2) oO Â5(1) 279 73 225 577 I5(0) 165 47 191 403 oÍ 444 120 416 980 (1) è u¿¨£ñ弄Ü5Ok', £—dØKb. (2) 3wÕ5Y²0.05e, åƒ@迨£ñïÜ5OÃ'? N¹ ©†Í: u0.025 = 1.960, u0.05 = 1.645, t0.025(10) = 2.228, t0.025(9) = 2.262, t0.05(10) = 1.812, t0.05(9) = 1.833, χ 2 0.05(1) = 3.841, χ 2 0.05(2) = 5.991. 2010—2011Æc1òÆœV«ÿÜÍn⁄O£Ú 2 ê 1 2 ê