第七讲：假设检验 7.1基本概念和问题的提法 1 7.1.1基本概念 7.1. 2原假设的提法.·· 9 7.1.3检验统计量的选取及假设检验的步骤.11 Previous Next First Last Back Forward 1
第七讲: 假设检验 7.1 基本概念和问题的提法 . . . . . . . . . . . . . 1 7.1.1 基本概念 . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7.1.2 原假设的提法 . . . . . . . . . . . . . . 9 7.1.3 检验统计量的选取及假设检验的步骤 . 11 Previous Next First Last Back Forward 1
7.1基本概念和问题的提法 ·(统计)假设：在数理统计中，关于总体分布的概率性质的假 定.例如假设正态总体，二项总体等，或者二项总体中成功概率 p≤0.5等等. 。(统计)检验：使用样本对所作出的假设进行检查的方法和过程。 7.1.1基本概念 假设检验问题就是研究如何根据抽样后获得的样本来检查抽样前 所作假设是否合理， 首先，由一个例子引出一些基本概念。 某厂产品出厂检验规定：每批产品次品率p不超过4%才能出 下Example 厂。现从某批产品10000件中任意抽查12件发现4件次品，问该批 产品能否出厂？若抽得结果是1件次品呢？ ⊥Example Previous Next First Last Back Forward
7.1 基本概念和问题的提法 • (统计) 假设: 在数理统计中, 关于总体分布的概率性质的假 定. 例如假设正态总体, 二项总体等, 或者二项总体中成功概率 p ≤ 0.5 等等. • (统计) 检验: 使用样本对所作出的假设进行检查的方法和过程. 7.1.1 基本概念 假设检验问题就是研究如何根据抽样后获得的样本来检查抽样前 所作假设是否合理. 首先, 由一个例子引出一些基本概念. ↑Example 某厂产品出厂检验规定：每批产品次品率 p 不超过 4% 才能出 厂。现从某批产品 10000 件中任意抽查 12 件发现 4 件次品，问该批 产品能否出厂？若抽得结果是 1 件次品呢？ ↓Example Previous Next First Last Back Forward 1
解：若以p表示此批产品的次品率，则问该批产品能否出厂等价于 即要检验次品率p是否不超过4%。我们假设“p≤4%”，并记Y为 12件中的次品数，由于总产品数很大，故可以认为Y~B(12,p), 此时当p≤0.04时， P(Y=4) 19 0.0440.96=0.000914 这是一个小概率事件，即当p≤0.04时，12件产品中有4件是次 品的概率不到1/1000，这样的事件在一次试验中几乎是不可能发生 的，但确实发生了（我们观察到了4件次品），因此更倾向于怀疑假设 “p≤0.04”的正确性，即认为它不成立。而由于 P(Y=1) 0.040.9612=0.306 即此时当假设“p≤0.04”成立时，“12个产品中有一个次品”这一 事件的概率最大为0.306，这个事件不是小概率事件。因此我们没有 足够的证据支持原假设不成立这一说法。 Previous Next First Last Back Forward
解: 若以 p 表示此批产品的次品率，则问该批产品能否出厂等价于 即要检验次品率 p 是否不超过 4%。我们假设“p ≤ 4%”，并记 Y 为 12 件中的次品数，由于总产品数很大，故可以认为 Y ∼ B(12, p)， 此时当 p ≤ 0.04 时， P(Y = 4) = ( 12 4 ) p 4 q 8 < ( 12 4 ) 0.044 0.968 = 0.000914 这是一个小概率事件，即当 p ≤ 0.04 时，12 件产品中有 4 件是次 品的概率不到 1/1000，这样的事件在一次试验中几乎是不可能发生 的，但确实发生了 (我们观察到了 4 件次品), 因此更倾向于怀疑假设 “p ≤ 0.04”的正确性，即认为它不成立。而由于 P(Y = 1) ≤ ( 12 1 ) 0.041 0.9612 = 0.306 即此时当假设“p ≤ 0.04”成立时，“12 个产品中有一个次品”这一 事件的概率最大为 0.306，这个事件不是小概率事件。因此我们没有 足够的证据支持原假设不成立这一说法。 Previous Next First Last Back Forward 2
某饮料厂在自动流水线上罐装饮料.在正常生产情况下，每瓶饮 下Example 料的容量（单位：毫升）X服从正态分布N(500,10)(由以往的经验 得知).经过一段时间之后，有人觉得每瓶饮料的平均容量减小到490， 于是抽取了9瓶样品，称得它们的平均值为元=492毫升.试问此断 言是否正确？即问平均每瓶饮料的容量仍是500毫升还是变成490 毫升？假定标准差10毫升不变 ⊥Example 在这个问题中， 统计假设：罐装饮料容量X~N(4,10) 问题：根据样本来在“μ=500”和“μ=490”之间作判断. 数理统计中，把它们看成两个假设.习惯上，称前者为原假设或零 假设，记作Ho:后者称为备择假设或对立假设，记作H1或H。·所谓 检验 H0:μ=500←+H1:4=490. Previous Next First Last Back Forward 3
↑Example 某饮料厂在自动流水线上罐装饮料. 在正常生产情况下, 每瓶饮 料的容量 (单位: 毫升) X 服从正态分布 N(500, 102 ) (由以往的经验 得知). 经过一段时间之后, 有人觉得每瓶饮料的平均容量减小到 490, 于是抽取了 9 瓶样品, 称得它们的平均值为 x¯ = 492 毫升. 试问此断 言是否正确? 即问平均每瓶饮料的容量仍是 500 毫升还是变成 490 毫升? 假定标准差 10 毫升不变. ↓Example 在这个问题中, 统计假设: 罐装饮料容量 X ∼ N(µ, 102 ). 问题: 根据样本来在 “µ = 500” 和 “µ = 490” 之间作判断. 数理统计中, 把它们看成两个假设. 习惯上, 称前者为原假设或零 假设, 记作 H0; 后者称为备择假设或对立假设, 记作 H1 或 Ha. 所谓 检验 H0 : µ = 500 ↔ H1 : µ = 490. Previous Next First Last Back Forward 3
就是要根据样本判断究竟是“Ho成立”还是“H1成立”.断言“Ho 成立”称为不能拒绝Ho;断言“H1成立”称为拒绝Ho. 下面讨论如何检验上述假设，即给定一个接受或者拒绝零假设的 准则.设从总体中抽取一个样本X1,·,X,我们可以用极大似然估 计T=(称之为检验统计量)来估计4.由于该估计值接近μ（尤 其是当样本量较大时)，故当T的绝对值小的时候有利于H1而不利 于Ho,此时应该拒绝Ho.我们可以事先取定一个常数T,称之为临 界值，当T的取值小于该临界值时拒绝Ho,即样本满足 W={区<} 中时拒绝Ho,称W为拒绝域.即样本的取值落在拒绝域中，就拒绝 Ho,否则不能拒绝之.一个拒绝域就对应于一个检验方法.现在的问 题是T应该取多大？这涉及到两类错误 Previous Next First Last Back Forward 4
就是要根据样本判断究竟是 “H0 成立” 还是 “H1 成立”. 断言 “H0 成立” 称为不能拒绝 H0; 断言 “H1 成立” 称为拒绝 H0. 下面讨论如何检验上述假设, 即给定一个接受或者拒绝零假设的 准则. 设从总体中抽取一个样本 X1, · · · , Xn, 我们可以用极大似然估 计 T = X¯ (称之为检验统计量) 来估计 µ. 由于该估计值接近 µ (尤 其是当样本量较大时), 故当 T 的绝对值小的时候有利于 H1 而不利 于 H0, 此时应该拒绝 H0. 我们可以事先取定一个常数 τ , 称之为临 界值, 当 T 的取值小于该临界值时拒绝 H0, 即样本满足 W = {X < τ ¯ } 中时拒绝 H0, 称 W 为拒绝域. 即样本的取值落在拒绝域中, 就拒绝 H0, 否则不能拒绝之. 一个拒绝域就对应于一个检验方法. 现在的问 题是 τ 应该取多大? 这涉及到两类错误. Previous Next First Last Back Forward 4
事实 Ho成立 H1成立 决策 不拒绝Ho 不犯错 第Ⅱ类错误 拒绝Ho 第I类错误 不犯错 ·称“实际上Ho成立但是它被拒绝”这个错误为第I类错误 (弃真) ·“实际上Ho不成立但是它没有被拒绝”这样一类错误为第IⅡ 类错误（存伪） 而由于我们的方法是基于观测数据，而观测数据是带有随机误差的， 故难免在做出决策的时候犯错，我们能做的是控制犯错的概率， 一个理想的检验应该使这两类错误的概率都小，但是在实际问题 中不可能使这两类错误一致地小：要让犯第I类错误的概率小，应该 让T小，而要让犯第Ⅱ类错误的概率小，则T不能太小.解决这个 矛盾的一个方法是在控制I类错误的基础上，尽量少犯第II类错误 Previous Next First Last Back Forward
P 决策 PPPPPPPP 事实 H0 成立 H1 成立 不拒绝 H0 不犯错 第 II 类错误 拒绝 H0 第 I 类错误 不犯错 • 称 “实际上 H0 成立但是它被拒绝” 这个错误为第 I 类错误 (弃真) • “实际上 H0 不成立但是它没有被拒绝” 这样一类错误为 第 II 类错误 (存伪). 而由于我们的方法是基于观测数据, 而观测数据是带有随机误差的, 故难免在做出决策的时候犯错, 我们能做的是控制犯错的概率. 一个理想的检验应该使这两类错误的概率都小, 但是在实际问题 中不可能使这两类错误一致地小: 要让犯第 I 类错误的概率小, 应该 让 τ 小, 而要让犯第 II 类错误的概率小, 则 τ 不能太小. 解决这个 矛盾的一个方法是在控制 I 类错误的基础上, 尽量少犯第 II 类错误 Previous Next First Last Back Forward 5
(在下一小节中我们讨论如何设定假设时会提到，应该将受保护对象设 为零假设，故犯第I类错误的严重性更大，因此必须尽量避免犯第1 类错误).因此，这种在只限制第一类错误的原则下的检验方法，就称 为“显著性检验”(Significance Test)。 具体地，给定一个允许的犯第一类错误概率的最大值α，选取T 使得 PH(T<T)≤a 连续场合下，等号可以达到.这样的x可以通过T在H。下的分布及 上式条件下求得 称a为显著性水平.通常将a取为0.1,0.05,0.01等较小的数 具体取值视实际需要而定，有时候要求α很小，比如在涉及到数十万 个基因标记的基因关联分析中，单个位点检验的α一般是10~7这样 的量级 Previous Next First Last Back Forward 6
(在下一小节中我们讨论如何设定假设时会提到, 应该将受保护对象设 为零假设, 故犯第 I 类错误的严重性更大, 因此必须尽量避免犯第 I 类错误). 因此，这种在只限制第一类错误的原则下的检验方法，就称 为“显著性检验”(Significance Test)。 具体地, 给定一个允许的犯第一类错误概率的最大值 α, 选取 τ 使得 PH0 (T < τ ) ≤ α 连续场合下, 等号可以达到. 这样的 τ 可以通过 T 在 H0 下的分布及 上式条件下求得. 称 α 为显著性水平. 通常将 α 取为 0.1, 0.05, 0.01 等较小的数, 具体取值视实际需要而定, 有时候要求 α 很小, 比如在涉及到数十万 个基因标记的基因关联分析中, 单个位点检验的 α 一般是 10−7 这样 的量级. Previous Next First Last Back Forward 6
现在将问题一般化 1.根据问题，提出假设检验问题 Ho:0∈⊙0←+H1:0∈Θ1. 其中Ho为零假设或原假设，而H1为对立假设或备择假设， 2.根据参数的估计方法构造一个适当的检验统计量T=T(X1,·,X), 其中X1,·,Xn为从总体中抽得的一个样本 3.根据对立假设的形状构造一个检验的拒绝域W={T(X1,·,X)∈ A},其中A为一个集合，通常是一个区间.比如拒绝域可取为 {T(X1,·,Xn)>r},则称r为临界值 4.对任意的0∈Oo,犯第I类错误的概率Pa(T(X1,·,Xn)∈ A)小于或等于某个指定正的常数a),则称a为显著性水平. 5.结合T在Ho下的分布，定出A. Previous Next First Last Back Forward
现在将问题一般化: 1. 根据问题, 提出假设检验问题 H0 : θ ∈ Θ0 ↔ H1 : θ ∈ Θ1. 其中 H0 为零假设或原假设, 而 H1 为对立假设或备择假设. 2. 根据参数的估计方法构造一个适当的检验统计量 T = T(X1, · · · , Xn), 其中 X1, · · · , Xn 为从总体中抽得的一个样本. 3. 根据对立假设的形状构造一个检验的拒绝域 W = {T(X1, · · · , Xn) ∈ A}, 其中 A 为一个集合, 通常是一个区间. 比如拒绝域可取为 {T(X1, · · · , Xn) > τ}, 则称 τ 为 临界值. 4. 对任意的 θ ∈ Θ0, 犯第 I 类错误的概率 Pθ(T(X1, · · · , Xn) ∈ A) 小于或等于某个指定正的常数 α), 则称 α 为显著性水平. 5. 结合 T 在 H0 下的分布, 定出 A. Previous Next First Last Back Forward 7
显然显著性水平不是唯一的，事实上，如果α是一个显著性水平， 则任意大于α的数都是显著性水平.实际中通常采用显著性水平最小 的那一个 称B()=P6(Ho被拒绝)为检验的功效函数。 Definition 如果检验的显著性水平为a,则当0∈90时，B(0)≤a.而当 0∈日1时，我们希望功效值越大越好（这样犯第Ⅱ类错误的概率 1一()就越小)，所以功效可以作为评价一个检验优劣的准则， 显著性检验方法由于只控制第一类错误，因此保护了原假设不被 轻易拒绝，从而原假设和对立假设地位不相同！ Previous Next First Last Back Forward 8
显然显著性水平不是唯一的, 事实上, 如果 α 是一个显著性水平, 则任意大于 α 的数都是显著性水平. 实际中通常采用显著性水平最小 的那一个. 称 β(θ) = Pθ (H0 被拒绝) 为检验的功效函数. Definition 如果检验的显著性水平为 α, 则当 θ ∈ Θ0 时, β(θ) ≤ α. 而当 θ ∈ Θ1 时, 我们希望功效值越大越好 (这样犯第 II 类错误的概率 1 − β(θ) 就越小), 所以功效可以作为评价一个检验优劣的准则. 显著性检验方法由于只控制第一类错误, 因此保护了原假设不被 轻易拒绝, 从而原假设和对立假设地位不相同! Previous Next First Last Back Forward 8
7.1.2 原假设的提法 在有时候需要自己判断如何提假设检验问题.在建立原假设时有 两个原则。 原则一：将受保护的对象置为零假设.将已经存在的事实，或者 错误拒绝会带来很大后果的事情作为原假设.例如，司法上的无罪推 断.这样做大大地有利于保护公民的利益.又若对新药的批准，显然 使用药品的病人是应该受保护的对象，这时应该设定一个有利于病人 的命题作为零假设，这个命题就是“新药不比安慰剂效果好”，以尽量 避免病人用无效甚至有副作用的新药.将检验的显著性水平α设定得 较小，以保证零假设不被轻易推翻. 在实际问题中，如果根据某个合理的检验方法发现零假设被推翻， 则有充分的理由认为零假设不成立而对立假设成立，这是因为万一零 假设成立而被误据的概率不会超过α：另一方面，如果发现零假设未 被拒绝，并不表明有充分理由接受零假设，而是因为零假设被保护得 较严密以至于未被拒绝. Previous Next First Last Back Forward 9
7.1.2 原假设的提法 在有时候需要自己判断如何提假设检验问题. 在建立原假设时有 两个原则。 原则一: 将受保护的对象置为零假设. 将已经存在的事实, 或者 错误拒绝会带来很大后果的事情作为原假设. 例如, 司法上的无罪推 断. 这样做大大地有利于保护公民的利益. 又若对新药的批准, 显然 使用药品的病人是应该受保护的对象, 这时应该设定一个有利于病人 的命题作为零假设, 这个命题就是 “新药不比安慰剂效果好”, 以尽量 避免病人用无效甚至有副作用的新药. 将检验的显著性水平 α 设定得 较小, 以保证零假设不被轻易推翻. 在实际问题中, 如果根据某个合理的检验方法发现零假设被推翻, 则有充分的理由认为零假设不成立而对立假设成立, 这是因为万一零 假设成立而被误据的概率不会超过 α; 另一方面, 如果发现零假设未 被拒绝, 并不表明有充分理由接受零假设, 而是因为零假设被保护得 较严密以至于未被拒绝. Previous Next First Last Back Forward 9