概率论与数理统计讲义 —概率论部分 张伟平 2007 Fall
V«ÿÜÍn⁄O˘¬ ——V«ÿ‹© ‹ï² 2007 Fall
目录 第一章样本空间与概率 1 1.1序言...... 1 1.2样本空间与事件 1 1.3概率及概率模型... 4 1.4古典概型 7 1.5条件概率 12 1.6全概率公式和Bayes公式 14 1.7独立性..····· 17 1.8求概率的一些方法 20 参考文献........ 23 i
8¹ 1òŸ òmÜV« 1 1.1 SÛ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 òmÜØá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.3 V«9V« . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 ;V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5 ^áV« . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6 V«˙™⁄Bayes˙™ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.7 ’·5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.8 ¶V«ò ê{ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Ωz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 i
第一章 样本空间与概率 1.1序言 我们周围的世界充满了我们认为是随机的或者不可预知的现象。我们把这些现象当作某 种”实验”（随机实验）的结果，这里的“实验”应该从最广泛的角度理解。我们把这种实验的可能 结果视为是一个“样本空间”的元素，而“样本空间”的子集称为“事件”，每个“事件”被赋 予一个“概率”值，这个值位于0和1之间，来表示此“事件”发生的可能性大小。 1.2样本空间与事件 定义1.2.l.样本空间(Sample Space)是一个集合，其元素描述了我们所感兴趣的实验结果。常记 为；样本空间的元素，称为样本，点，记为w 例1.2.1.抛一枚色子，观察出现的点数。则2={1,2,34,5,6} 例1.2.2.考察某一地区的年降雨量，则2={x0≤x<T},这里T表示某个常数，表示降雨量不 会超过T 例1.2.3.若我们从四个人那收到4封信，则样本空间是什么？ 选择合适的样本空间 样本空间的元素应该是相互不同的，根据试验的不同目的，样本空间应该予以不同的选择.但 是总的原则是样本空间应该尽可能详细，即尽可能包含所有可能的结果.看下面的例子 例1.2.4.1).将一枚硬币抛三次，考察正反面出现的情况； 2).将一枚硬币抛三次，考察正面出现的次数。 这两个试验的目的不同，因此样本空间的选取也不同。 1
1òŸ òmÜV« 1.1 SÛ ·Ç±å.ø˜ ·Ç@è¥ëŽˆÿå˝yñ"·Çr˘ yñä, ´”¢”(ëÅ¢)(Jߢp/¢0ATlÅ2ç›n)"·Çr˘´¢åU (J¿è¥òá/ òm0Éß / òm0f8°è/Øá0ßzá/Øá0D Éòá/V«0äߢáä†u0⁄1Émß5L´d/Øá0u)åU5å" 1.2 òmÜØá ½¬ 1.2.1. òm(Sample Space)¥òá8‹ßŸÉ£„ ·Ç§a,¢(J"~P èΩ; òmÉß°è :ßPèω. ~1.2.1. òq⁄fß* —y:Í"KΩ = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. ~1.2.2. ,ò/´c¸Ö˛ßKΩ = {x|0 ≤ x < T}ߢpTL´,á~ÍßL´¸Ö˛ÿ ¨áLT. ~1.2.3. e·Çloá<@¬4µ&ßK òm¥üoº ¿J‹· òm òmÉAT¥Épÿ”, ä‚£ÿ”8, òmATɱÿ”¿J. ¥oK¥ òmAT¶åUç[, =¶åUù¹§kåU(J. we°~f ~1.2.4. (1). ÚòqM1ngß á°—yú¹; (2). ÚòqM1ngß °—ygÍ" ˘¸á£8ÿ”ßœd òm¿èÿ”" 1
定义1.2.2.样本空间的子集称为随机事件，简称为事件Event)。事件通常用大写字母A,B,C等 表示。我们称事件A发生，当且仅当该次实验的结果是事件A中的元素。特别，由一个样本点组 成的事件称为基本事件：由于2二2且在每次试验中2必然发生，故称2为必然事件：空集中不包 含任何样本点但中C2,故称其为不可能事件。 集合与事件的运算事件是一个集合，因此集合之间的关系及运算法则同样适用于事件。集合的 运算法则： SUT-TUS SU(TUU)=(SUT)UU sn(TUU)=(snT)U(snU) Su(TnU)=(SUT)n(SUU) (Sc)c=S SU2=2 S∩2=S (Us)=ns ns)=Us (de Morgan's laws) 事件之间也满足同样的运算法则。在概率论中，集合的关系赋予了特殊的表示意义：以 下A,B,C等表示事件。 1.ACB:表示当事件A发生时事件B必发生。若ACB,BCA,则称事件A,B是相等的，记 为A=B。 2.AnB(或者AB:表示事件A,B同时发生，类似的对多个事件A1,A2,·,A,,则这些事 件同时发生表示为∩mAn或者nAn 3.AUB(或者A+B):表示事件A发生或者事件B发生或者称为事件A,B中至少发生一个。类 似的对多个事件A1,A2,·,An,,则这些事件至少发生一个表示UnAn或者∑mAn: 4.A-B:表示事件A发生而事件B不发生。 5.A(或者A):表示A不发生，称为A的对立事件。显然，Ac=2-A。 6.若事件A,B不可能在同一次试验中同时发生，则称A,B是互斥的（此时AB=)。若一些事 件中任意两个事件都是互斥的，则称这些事件是两两互斥的。 通过事件的关系我们可以表示一些复杂的事件，如 2
½¬ 1.2.2. òmf8°èëÅØáß{°èØá(Event)"Øáœ~^åi1A, B, C L´"·Ç°ØáAu)ßÖ=Tg¢(J¥ØáA•É"AOßdòá :| §Øá°èƒ Øá¶duΩ ⊆ ΩÖ3zg£•Ω7,u)ß°Ωè7,Øá¶ò8φÿù ¹?¤ :φ ⊂ Ωß°ŸèÿåUØá" 8‹ÜØá$é Øá¥òá8‹ßœd8‹Ém'X9$é{K”·^uØá"8‹ $é{K: S ∪ T = T ∪ S S ∪ (T ∪ U) = (S ∪ T) ∪ U S ∩ (T ∪ U) = (S ∩ T) ∪ (S ∩ U) S ∪ (T ∩ U) = (S ∪ T) ∩ (S ∪ U) (S c ) c = S S ∩ S c = φ S ∪ Ω = Ω S ∩ Ω = S [ n Sn !c = \ n S c n \ n Sn !c = [ n S c n (de Morgan0 s laws) ØáÉmè˜v”$é{K"3V«ÿ•ß8‹'XDÉ AœL´ø¬µ± eA, B, C L´Øá" 1. A ⊂ B: L´ØáAu)ûØáB7u)"eA ⊂ B, B ⊂ AßK°ØáA, B ¥É ßP èA = B" 2. A ∩ B(½ˆAB): L´ØáA, B”ûu)ßaqÈıáØáA1, A2, · · · , An, · · ·ßK˘ Ø á”ûu)L´è T n An½ˆ Q n An¶ 3. A ∪ B(½ˆA + B): L´ØáAu)½ˆØáBu)½ˆ°èØáA, B•ñu)òá"a qÈıáØáA1, A2, · · · , An, · · ·ßK˘ Øáñu)òáL´è S n An½ˆ P n An¶ 4. A − B: L´ØáAu) ØáBÿu)" 5. Ac (½ˆA¯): L´Aÿu)ß°èAÈ·Øá"w,ßAc = Ω − A" 6. eØáA, BÿåU3”òg£•”ûu)ßK°A, B¥p½(dûAB = φ)"eò Ø á•?ø¸áØá—¥p½ßK°˘ Ø᥸¸p½" œLØá'X·Çå±L´ò E,ØáßX 2
例1.2.5.设A,B,C是三个事件，试表示下列事件 1.事件A,B发生而C不发生；(ABC) 2.事件A,B,C不同时发生；A+B+C) 3.事件A,B,C中至多有一个发生；AeBe+AC+BcCC) 4.事件A,B,C中至少发生两个；(AB+AC+BC) 5.事件A,B,C中恰好发生两个：(ABC+ABC+ABC) 我们把如上的讨论结果列成一张表： 表1.1：集合和事件关系类比表 符号 集合论意义 概率论意义 2 全集或空间 样本空间，必然事件 p 空集 不可能事件 w 元素 样本点，基本事件 A 可测子集 随机事件 w∈A w是A的元素 试验结果w属于A,事件A发生 ACB A包含在B中 若A发生，则B一定发生：事件A蕴涵事件B A=B A与B相等 A与B为同一事件；它们同时发生或同时不发生 A∩B或AB 交集 表示A与B同时发生 AB=中 不相交 A与B不相容（互斥），它们不可能同时发生 AUB 并集 表示A或B发生，A与B中至少有一个发生 Ac 余集 对立事件：A发生表示A不发生 A-B或ABC 差集 表示A发生，而B不发生 A△B 对称差 表示A与B中恰有一个发生 lim sup An oo =00 An 上极限集合 表示事件序列{A}中有无穷多个事件发生 k=1 n=k lim inf An n→●。 00 =U∩An 下极限集合 表示序列{A}中至多有有限个事件不发生 k=1n三k 3
~1.2.5. A, B, C¥náØáߣL´eØá 1. ØáA, Bu) Cÿu)¶(ABC¯) 2. ØáA, B, Cÿ”ûu); (A¯ + B¯ + C¯) 3. ØáA, B, C•ñıkòáu)¶(AcBc + AcC c + BcC c ) 4. ØáA, B, C•ñu)¸á¶(AB + AC + BC) 5. ØáA, B, C•T–u)¸á¶(ABC¯ + ABC¯ + ABC ¯ ) ·ÇrX˛?ÿ(J§ò‹L: L 1.1: 8‹⁄Øá'Xa'L Œ “ 8‹ÿø¬ V«ÿø¬ Ω 8½òm òm,7,Øá φ ò8 ÿåUØá ω É :,ƒ Øá A åˇf8 ëÅØá ω ∈ A ω¥AÉ £(Jω·uA,ØáAu) A ⊂ B Aù¹3B• eAu),KBò½u);ØáA%ºØáB A = B AÜBÉ AÜBè”òØá;ßÇ”ûu)½”ûÿu) A ∩ B½AB 8 L´AÜB”ûu) AB = φ ÿÉ AÜBÿÉN(p½),ßÇÿåU”ûu) A ∪ B ø8 L´A½Bu),AÜB•ñkòáu) Ac {8 È·Øá;Acu)L´Aÿu) A − B½ABc 8 L´Au), Bÿu) A4B È° L´AÜB•Tkòáu) lim sup n→∞ An = T∞ k=1 S∞ n=k An ˛4Å8‹ L´ØáS{An}•kðıáØáu) lim inf n→∞ An = S∞ k=1 T∞ n=k An e4Å8‹ L´S{An}•ñıkkÅáØáÿu) 3
1.3 概率及概率模型 1.有限样本空间上的概率 我们想要表示一个事件有多大可能发生，为此，我们给每个事件赋予一个概率。给事件赋概 一般来说并不简单。既然每个事件都要赋予一个概率，我们就称其为概率函数。其应该有如下两 个性质 定义1.3.1.一个有限样本空间2上的概率函数P,赋予2中每个事件A一个0和1之 间的数值P(A),并使得 (1)P(2)=1: (2)若A,B不相容，则P(AUB)=P(A)+P(B) 则P(A)称为是事件A发生的概率。 (1)说明了试验的结果总是样本空间的一个元素。(2)是概率函数的可加性。 例1.31.比如两个人抛硬币公平的决定谁来洗碗，则这种公平性应该转换为正面和反面出现的可 能性均等。从而我们赋予正面和反面出现的概率均为1/2.如果考虑到现实中没有绝对质地均匀的 硬币，比如我们也可以赋予正面出现的概率为0.5001，反面出现的概率为0.4999. 例1.3.2.抛硬币的试验 试验者 掷硬币的次数 正面出现的次数 频率 蒲丰 4040 2048 .5069 皮尔逊 12000 6019 .5016 皮尔逊 24000 12012 .5005 从这个例子可以看出随着试验次数的增加，频率越来越接近1/2， 2.无限的样本空间上的概率比如我们重复的投掷一枚硬币直至出现第一个正面，试验 的结果是直至第一次出现正面时的投掷次数，则样本空间2={1,2，….此试验的概率函 数应该是什么呢？假设此枚硬币正面出现的可能性为p(OP1),则反面为1-p。我们需要 决定P(n)。显然P(1)=p,事件{2}表示{T,H,概率为P(2)=(1-p)p.类似的，我们可以得 到P(n)=(1-p)n-1p,n=1,2,… 那么这样就定义了2={1,2,3，…}上的概率函数了吗？按照以前的定义，应该满足P(2)= 1.但是这个并不容易直接得到：由于样本空间不再是有限的，我们需要修改为如下定义
1.3 V«9V« . 1. kÅ òm˛V« ·ÇéáL´òáØákıååUu)ßèdß·ÇâzáØáDÉòáV«"âØáDV òÑ5`øÿ{¸"Q,záØá—áDÉòáV«ß·Ç“°ŸèV«ºÍ"ŸATkXe¸ á5ü ½¬ 1.3.1. òákÅ òmΩ˛V«ºÍPßDÉΩ•záØáAòá0⁄1É mÍäP(A)ßø¶ (1) P(Ω) = 1¶ (2) eA, BÿÉNßKP(A S B) = P(A) + P(B). KP(A)°è¥ØáAu)V«" (1) `² £(Jo¥ òmòáÉ"(2) ¥V«ºÍå\5" ~1.3.1. 'X¸á<M1˙²˚½X5WßK˘´˙²5AT=Üè°⁄á°—yå U5˛ "l ·ÇDÉ°⁄á°—yV«˛è1/2. XJƒy¢•vk˝Èü/˛! M1ß'X·Çèå±DÉ°—yV«è0.5001ßá°—yV«è0.4999. ~1.3.2. M1£ £ˆ ïM1gÍ °—ygÍ ™« Æ¥ 4040 2048 .5069 ô÷ 12000 6019 .5016 ô÷ 24000 12012 .5005 l˘á~få±w—ëX£gÍO\ß™«5C1/2. 2. ÃÅ òm˛V« 'X·ÇE›ïòqM1Üñ—y1òá°ß£ (J¥Üñ1òg—y°û›ïgÍßK òmΩ = {1, 2, · · · }. d£V«º ÍAT¥üoQºbdqM1°—yåU5èp (0¡p¡1)ßKá°è1 − p"·ÇIá ˚½P(n)"w,P(1) = pßØá{2}L´{T, H}, V«èP(2) = (1 − p)p.aqß·Çå± P(n) = (1 − p) n−1p, n = 1, 2, · · · @o˘“½¬ Ω = {1, 2, 3, · · · }˛V«ºÍ ̺Uϱc½¬ßAT˜vP(Ω) = 1. ¥˘áøÿN¥Üµdu òmÿ2¥kÅß·ÇIá?UèXe½¬ 4
1.(非负性)对任意事件A,P(A)≥0. 2.(可加性)若A,B为两个互斥事件，则 P(A+B)=P(A)+P(B). 更进一步，若A1,…,A,…为一列两两互斥的事件列，则 P空=空P n=1 3.(规范性)P(2)=1. 现在我们就有 P(2)=P({1,2,3,…})=P(1)+P(2)+P(3)+… =p+(1-p)p+(1-p)2p+…=1. 一般并不把2的一切子集都作为事件，因为这样将对给定概率带来困难，比如若把不可测集 也作为事件，将带来不可克服的困难。另一方面，又必须把感兴趣的事件都包括进来。因此我们 引入如下定义的集合类F,可以解决这些问题： 定义1.3.2（σ代数）.样本空间2上的集合类F称为2上的事件σ代数，如果 1.2∈F; 2.若A∈F,则A∈F; 3.若An∈F,n=1,2,则定A∈F n1 这样的F既包括了我们感兴趣的事件，又把不可测集排除在外。 定义1.3.3.定义于集合之上的取值为实值的函数称为集函数. 定义1.3.4.定义在事件σ域F之上的集函数P称为概率，若它满足概率的公理化体系. 定义1.3.5.称三元组(2，F,P)为概率空间. 由概率的公理化体系，可以得到有关概率的一些性质 1.P()=0 5
1. (öK5) È?øØáAßP(A) ≥ 0. 2. (å\5) eA, Bè¸áp½ØáßK P(A + B) = P(A) + P(B). ç?ò⁄ßeA1, · · · , An, · · · èò¸¸p½ØáßK P( X∞ n=1 An) = X∞ n=1 P(An). 3. (5â5) P(Ω) = 1. y3·Ç“k P(Ω) = P({1, 2, 3, · · · }) = P(1) + P(2) + P(3) + · · · = p + (1 − p)p + (1 − p) 2 p + · · · = 1. òÑøÿrΩòÉf8—äèØáßœè˘ÚÈâ½V«ë5(Jß'Xerÿåˇ8 èäèØáßÚë5ÿåé—(J",òê°ßq7Lra,Øá—ù)?5"œd·Ç ⁄\Xe½¬8‹aFßå±)˚˘ ØKµ ½¬ 1.3.2 (σìÍ). òmΩ˛8‹aF°èΩ˛ØáσìÍßXJ 1. Ω ∈ F; 2. eA ∈ FßKA¯ ∈ F; 3. eAn ∈ F, n = 1, 2, · · ·ßK P∞ n=1 An ∈ F. ˘FQù) ·Ça,Øáßqrÿåˇ8¸ÿ3 " ½¬ 1.3.3. ½¬u8‹É˛äè¢äºÍ°è8ºÍ. ½¬ 1.3.4. ½¬3ØáσçFɲ8ºÍP°èV«ßeߘvV«˙nzNX. ½¬ 1.3.5. °n|(Ω, F, P)èV«òm. dV«˙nzNXßå±k'V«ò 5ü. 1. P(φ) = 0 5
2.(有限可加性)若Ak∈F,k=1,·,n且两两互斥，则 P∑A)=∑PA) k=1 3.(可减性)若A,B∈F且ACB,则P(B-A)=P(B)-P(A) 4.(单调性)若A,B∈F且ACB,则P(A)≤P(B) 5.P(A=1-P(A) 6.(加法定理)对任意的事件A1,·,An∈F,有 Pg4=空Pa-nPAA)+Pa4Ad 1≤i<j≤n 1≤i<j<k≤n -.+(-1)m-1P(A1A2An) 7饮可加陶)对在盒的事作…，4。…e万有P(宫A)≤含P 8.(下连续性)若An∈F且An C An-+1,n=1,2,·,则 P(∑An)=limP(An) n=1 9.(上连续性)若An∈F且An)An+1,n=1,2,…,则 ● P(ΠAn)=limP(Am) n=1 例1.3.3.求证对任意n个事件A1,…,An有 PⅡA)≥∑PA)-n+1 k=1 概率模型是对随机现象的一种数学描述。它由试验的样本空间和赋予这个样本空间上的概率 构成。概率相当于是从样本空间到实数空间的一个映射，如下图所示： 概率模型的构成： ·样本空间2： ·概率法则，对每一个可能的结果集A赋予一个非负数P(A)(称为A的概率)，表示 事件A发生的可能性大小
2. (kÅå\5) eAk ∈ F, k = 1, · · · , nÖ¸¸p½ßK P( Xn k=1 Ak) = Xn k=1 P(Ak) 3. (å~5) eA, B ∈ FÖA ⊂ BßKP(B − A) = P(B) − P(A). 4. (¸N5) eA, B ∈ FÖA ⊂ BßKP(A) ≤ P(B). 5. P(A¯) = 1 − P(A) 6. (\{½n) È?øØáA1, · · · , An ∈ Fßk P( Xn k=1 Ak) = Xn k=1 P(Ak) − Xn 1≤i<j≤n P(AiAj ) + Xn 1≤i<j<k≤n P(AiAjAk) − · · · + (−1)n−1P(A1A2 · · · An) 7. (gå\5) È?øØáA1, · · · , An, · · · ∈ FßkP( P∞ n=1 An) ≤ P∞ n=1 P(An). 8. (eÎY5) eAn ∈ FÖAn ⊂ An+1, n = 1, 2, · · · ,K P( X∞ n=1 An) = limn P(An) 9. (˛ÎY5) eAn ∈ FÖAn ⊃ An+1, n = 1, 2, · · · ,K P( Y∞ n=1 An) = limn P(An) ~1.3.3. ¶yÈ?ønáØáA1, · · · , Ank P( Yn k=1 Ak) ≥ Xn k=1 P(Ak) − n + 1 V« .¥ÈëÅyñò´ÍÆ£„"ßd£ òm⁄Dɢá òm˛V« §"V«Éu¥l òm¢ÍòmòáNßXe„§´: V« .§µ • òmΩ; • V«{K, ÈzòáåU(J8ADÉòáöKÍP(A)(°èAV«), L´ ØáAu)åU5å" 6
Probability Law Event B P(B) Experiment P(A) Event A Sample Space (Set of Outcomes】 Events 图1.1：概率映射关系 1.4古典概型 定义1.4.1.若随机试验满足如下条件 1.样本空间只含有有限个样本点，不妨记={w1,…,w}。 2.各样本点出现的可能性相等（机会均等，即对每个i=1,·,n,有 Pra》=月 则称此随机试验为古典型的。此时对每一个事件AC2,易知有 P(A)= IAI number of elements of A 21 number of elements of 在计算古典概型时，经常要碰到计数问题。因此有必要回顾一下计数原理。 计数原理 乘法原理假定进行过程I有1中方式，而对于过程I的每一个方式，进行过程II都有2种方式。那 么，依次进行过程I与IⅡ共有n12种方式。 加法原理假定进行过程I有n1中方式，进行过程II有2种方式。那么，进行过程I或I共有n1+ n2种方式。 排列组合
„ 1.1: V«N'X 1.4 ;V. ½¬ 1.4.1. eëÅ£˜vXe^á 1. òmê¹kkÅá :ßÿîPΩ = {ω1, · · · , ωn}. 2. à :—yåU5É (Ũ˛ )ß=Èzái = 1, · · · , nßk P({ωi}) = 1 n K°dëÅ£è;."dûÈzòáØáA ⊂ Ωߥk P(A) = |A| |Ω| = number of elements of A number of elements of Ω . 3Oé;V.ûß²~á-OÍØK"œdk7á£òeOÍn" OÍn ¶{n b½?1LßIkn1•ê™ß ÈuLßIzòáê™ß?1LßII—kn2´ê™"@ oßùg?1LßIÜIIkn1n2´ê™" \{n b½?1LßIkn1•ê™ß?1LßIIkn2´ê™"@oß?1LßI½IIkn1 + n2´ê™" ¸|‹ 7
图1.2：乘法原理 Leaves n2 n3 na Choices Choices Choices Choices Stage 1 Stage 2 Stage 3 Stage 4 1.从n个不同的元素中，有放回地取出r个元素组成的可重复排列的种数为n'种。 从n个不同的元素中，不放回地取出r个元素组成的不重复排列的种数为n(n 1)…(n-r+1)=P 2.从n个不同的元素中，不放回地取r个组成的组合，种数为 n(n-1)…(n-r+1) n! r! r(n-r月 (1.4.1) 3.从个不同的元素中，有放回地取r个组成的组合（不考虑顺序），种数为 n+r- 在运用排列组合公式时，要清楚次序问题. 例1.41.甲乙丙丁四人进行乒乓球双打练习，两人一对地结为对打的双方，有多少种不同的结对方 式？ 可能有人会认为这个问题是简单的组合问题：从四人中选出两人结为一对，剩下的两人结为一 对即可.于是他们算得：有C经=6种方式。 但事实是否如此呢？我们还是实际地来排一排吧！不难看出，一共只有如下3种结对方式： (1){甲，乙}{丙，丁}；(2){甲，丙}{乙，丁}；(3){甲，丁}{乙，丙} 8
„ 1.2: ¶{n 1. lnáÿ”É•, kò£/—ráÉ|§åE¸´Íèn r´" lnáÿ”É•ßÿò£/—ráÉ|§ÿE¸´Íèn(n − 1)· · ·(n − r + 1) = P r n . 2. lnáÿ”É•,ÿò£/rá|§|‹ß´Íè n r = n(n − 1)· · ·(n − r + 1) r! = n! r!(n − r)! (1.4.1) 3. lnáÿ”É•,kò£/rá|§|‹(ÿƒ^S)ß´Íè n + r − 1 r 3$^¸|‹˙™û, áòŸgSØK. ~1.4.1. `ØZ¶o<?1Æ •VãˆS,¸<òÈ/(èÈãVê,kı´ÿ”(Èê ™? åUk<¨@è˘áØK¥{¸|‹ØK:lo<•¿—¸<(èòÈ,êe¸<(èò È=å.u¥¶Çé:kC 2 4 = 6´ê™. Ø¢¥ƒXdQ?·ÇÑ¥¢S/5¸ò¸j!ÿJw—,òêkXe3´(Èê™: (1){`,Ø} {Z,¶}; (2){`,Z} {Ø,¶}; (3){`,¶} {Ø,Z}. 8
