第二章随机变量及其分布 2.4条件分布和随机变量的独立性 2.4.1条件分布 1 2.4.2随机变量的独立性.. 10 Previous Next First Last Back Forward 1
第二章随机变量及其分布 2.4 条件分布和随机变量的独立性 . . . . . . . . . 1 2.4.1 条件分布 . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2.4.2 随机变量的独立性 . . . . . . . . . . . 10 Previous Next First Last Back Forward 1
2.4条件分布和随机变量的独立性 2.4.1条件分布 一个随机变量（或向量）的条件概率分布，就是在给定（或已知） 某种条件（某种信息）下该随机变量（向量）的概率分布。 1.离散型随机变量的条件分布 设(X,Y)为二维离散型随机变量，其全部的可能取值为{(x,): i,方=1,2，…}。记其联合分布律为 Pij P(X=i,Y=yj), i,j=1,2, 若对给定的事件{Y=},其概率P(Y=)>0,则称 P(X=Y=)=PX=y二=，i=1,2 P(Y=) p-i Previous Next First Last Back Forward
2.4 条件分布和随机变量的独立性 2.4.1 条件分布 一个随机变量 (或向量) 的条件概率分布，就是在给定 (或已知) 某种条件 (某种信息) 下该随机变量 (向量) 的概率分布。 1. 离散型随机变量的条件分布 设 (X, Y ) 为二维离散型随机变量，其全部的可能取值为 {(xi, yj ) : i, j = 1, 2, · · · }。记其联合分布律为 pij = P(X = xi, Y = yj ), i, j = 1, 2, · · · 若对给定的事件 {Y = yj}，其概率 P(Y = yj ) > 0，则称 P(X = xi|Y = yj ) = P(X = xi, Y = yj ) P(Y = yj ) = pij p·j , i = 1, 2, · · · Previous Next First Last Back Forward 1
为在给定Y=的条件下X的条件分布律（概率函数）。类似的， 若P(X=x)>0,则称 PY=K==PX2=兴，j=12, P(X=Ii) Pi. 为在给定条件X=x:下Y的条件分布律。 Previous Next First Last Back Forward 2
为在给定 Y = yj 的条件下 X 的条件分布律 (概率函数)。类似的， 若 P(X = xi) > 0，则称 P(Y = yj |X = xi) = P(X = xi, Y = yj ) P(X = xi) = pij pi· , j = 1, 2, · · · 为在给定条件 X = xi 下 Y 的条件分布律。 Previous Next First Last Back Forward 2
设二维随机向量(X1,X2)的联合分布律如下所示： TExample X2 -1 0 5 行和p X1 1 0.17 0.05 0.21 0.43 3 0.04 0.28 0.25 0.57 列和p 0.21 0.33 0.46 1.00 试求当X2=0时，X1的条件分布律。 ↓Example 解： Previous Next First Last Back Forward %
↑Example 设二维随机向量 (X1, X2) 的联合分布律如下所示： ❍ X ❍ 1 ❍❍❍❍ X2 −1 0 5 行和 pi· 1 0.17 0.05 0.21 0.43 3 0.04 0.28 0.25 0.57 列和 p·j 0.21 0.33 0.46 1.00 试求当 X2 = 0 时，X1 的条件分布律。 ↓Example 解: 由联合分布律先算出两个边缘分布律 pi· 与 p·j 并填入表中，由 此进一步算出条件分布律为： P{X1 = 1|X2 = 0} = 0.05 0.33 = 5 33 而 P{X1 = 3|X2 = 0} = 0.28 0.33 = 28 33 . Previous Next First Last Back Forward 3
设X=(X1,X2,…,Xn)~M(N;p1,p2,…,pn),试求X在 TExample 给定X2=k的条件下的条件分布律。 ↓Example 解： Previous Next First Last Back Forward 4
↑Example 设 X = (X1, X2, · · · , Xn) ∼ M(N; p1, p2, . . . , pn)，试求 X1 在 给定 X2 = k 的条件下的条件分布律。 ↓Example 解： 由于易知 (X1, X2) ∼ M(N; p1, p2, 1 − p1 − p2)，即其联合分 布律为 P(X1 = i, X2 = j) = N! i!j!(N − i − j)! p i 1p j 2 (1 − p1 − p2) N−i−j 其中 0 ≤ i, j ≤ N & 0 ≤ i + j ≤ N 并且 X2 ∼ B(N, p2). 因此 P(X1 = i|X2 = k) = P(X1 = i, X2 = k) P(X2 = k) = N! i!k!(N − i − k)! p i 1p k 2 (1 − p1 − p2) N−i−k / C k N p k 2 (1 − p2) N−k = (N − k)! i!(N − k − i)! ( p1 1 − p2 )i ( 1 − p1 1 − p2 )N−k−i , i = 0, 1, · · · , N − k. Previous Next First Last Back Forward 4
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即 X1 在给定 X2 = k 的条件下服从二项分布 B(N −k, p1/(1−p2)). Previous Next First Last Back Forward 5
2.连续型随机变量的条件分布 设(X,Y)有概率密度f(x,y),我们考虑在给定y≤Y≤y+e 的条件下X的条件分布函数（设P{y≤Y≤y+}>O) P(X≤≤Y≤y+)= P(X≤x,y≤Y≤y+e) P(y≤Y≤y+e) = f(u,)dodu fy(y)dy “fu,)d du 对上式两端关于x求导并令e→0，可求得X在给定条件Y=y下 的条件概率密度为 fxv(l)=fe, fy(y) 。fy(g)>0. 记为 XIY=y~fxiy(ly). Previous Next First Last Back Forward 6
2. 连续型随机变量的条件分布 设 (X, Y ) 有概率密度 f(x, y)，我们考虑在给定 y ≤ Y ≤ y + ϵ 的条件下 X 的条件分布函数 (设P{y ≤ Y ≤ y + ϵ} > 0) P(X ≤ x|y ≤ Y ≤ y + ϵ) = P(X ≤ x, y ≤ Y ≤ y + ϵ) P(y ≤ Y ≤ y + ϵ) = ∫ x −∞ ∫ y+ϵ y f(u, v)dvdu/ ∫ y+ϵ y fY (y)dy = ∫ x −∞ ∫ y+ϵ y f(u, v)dv ∫ y+ϵ y fY (y)dy du 对上式两端关于 x 求导并令 ϵ → 0, 可求得 X 在给定条件 Y = y 下 的条件概率密度为 fX|Y (x|y) = f(x, y) fY (y) , fY (y) > 0. 记为 X|Y = y ∼ fX|Y (x|y). Previous Next First Last Back Forward 6
类似地有Y在给定X=x的条件下的条件概率密度： fyix(ul)= f(r,y) fx(x) fx(e)>0. 记为 YIX =I~fyix(yl). Previous Next First Last Back Forward
类似地有 Y 在给定 X = x 的条件下的条件概率密度: fY |X(y|x) = f(x, y) fX(x) , fX(x) > 0. 记为 Y |X = x ∼ fY |X(y|x). Previous Next First Last Back Forward 7
设(X,Y)服从二元正态分布N(a,b,o,,p),试求XY=y TExample 的条件概率密度。 ↓Example 解： Previous Next First Last Back Forward 8
↑Example 设 (X, Y ) 服从二元正态分布 N(a, b, σ2 1, σ2 2, ρ)，试求 X|Y = y 的条件概率密度。 ↓Example 解: fX|Y (x|y) = f(x, y) fY (y) = 1 √ 2πσ1 √ 1 − ρ 2 exp{−[x − (a + ρσ1σ −1 2 (y − b))]2 2σ 2 1 (1 − ρ 2) } 即 X|Y = y ∼ N(a + ρσ1σ −1 2 (y − b), σ2 1(1 − ρ 2 ))。同理有：Y |X = x ∼ N(b + ρσ−1 1 σ2(x − a), σ2 2(1 − ρ 2 ))。 Previous Next First Last Back Forward 8
设X,Y服从单位圆上的均匀分布，试求∫xy(x)和yx(x) TExample ↓Example 解： Previous Next First Last Back Forward 9
↑Example 设 X, Y 服从单位圆上的均匀分布，试求 fX|Y (x|y) 和 fY |X(y|x). ↓Example 解: 由题设知 (X, Y ) 的联合概率密度为 f(x, y) = { 1 π , x2 + y 2 ≤ 1 0, 其它 易知 fX(x) = { 2 π √ 1 − x2, −1 ≤ x ≤ 1 0, 其它 所以 fX|Y (x|y) = 1 2 √ 1−y2 , − √ 1 − y 2 ≤ x ≤ √ 1 − y 2 0, 其它 只需要把 x, y 互换，就可以得到 fY |X(y|x)。 Previous Next First Last Back Forward 9