维普资讯http:/www.cqvip.com 第7卷第4期 湖北职业技术学院学报 No.2 Vol.7 2004年12月 Joural of Hubei Vocational-Technical College Dec.2004 [文章编号]1671—8178(2004)04007803 浅谈概率中一般加法公式的应用 张守平 (湖北职业技术学院公共课部，湖北孝感432000)》 [摘要]文章对概率加法公式的运用及运用其解题中注意的问题进行了讨探，提倡使用一般加法公式 之前应该分析事件的独立性，以使一般加法公式用得恰到好处。 [关键词]概率论；互斥与独立事件；加法公式 [中图分类号]0211.66 [文献标识码]A 学好概率论中“事件和概率”一章是学好概率统情况也较复杂。那么，怎样才能把一般加法公式用 计的保证，而概率的加法公式正是该章中值得研究 得恰到好处呢？ 的专题之一。笔者在本文对一般加法公式的应用方 2、巧用一般加法公式，以寻找清晰的解题思路 法做些肤浅探讨，供同仁参考。 几乎所有的教科书，均在介绍一般加法公式后， 1、概率的两个加法公式 以信封匹配问题为例，说明该公式以其程式化的鲜 由概率的有限可加性：若 明特点，指出了解题思路。下面再列举一般加法公 A:A=(1≤i<j≤n), 式运用的两个例子。 则 例1一部五卷的文集，按任意次序放在书架 上。求自左至右，第一卷不在第一位置且第二、三卷 P(9A)=P(A).四 也都不在其位的概率。 解设A1,A2,A分别表示第一、二、三卷在其相 这个公式称为互斥事件的加法公式。 应位置上，于是 由概率的另一性质：对任意的两个事件A1、A2, P(AA)对原则P(AUA,U) 有P(A1UA2)=P(A,)+P(A2)-P(A1A2)。再推广 =1-P(A,UA2UA3）, 到任意有限个事件，设A1,A2,…,A是n个随机事 关键即求 件，则有 P(A:U A2U A3)=P(A)+P(A2)+P(A3) PgA)=名PM)AP)+APA) -P(A1A2）-P(A2A3)-P(A1A3) +P44)灿立】 …+(-1)-P0A)四 3×-3×+号 i=l 这个公式称为概率的一般加法公式。显然，互斥事 =名则P(石d)=是 件的加法公式为其特例。 例2在平面上画上有间隔为d的等距平行线， 求“事件A1,…,An中至少有一个发生”的概率 向平面任意投掷一个边长为a、b、c(均小于d)的三 时，上述两个加法公式各显示其独特的作用。而当角形，求三角形的两边与平行线相交的概率。（可以 A,…,A.不互斥时，上述一般加法公式较繁，使用的认为“三角形的任一边与平行线重合”的概率为零， [收稿日期]2004-09-16 [作者简介】张守平(1965一)，男，湖北孝感人，湖北职业技术学院公共课部副教授，主要研究高等数学。 ·78·
第 7卷第 4期 2004年 l2月 湖 北 职 业 技 术 学 院 学 报 JournalofHubeiVocational·-TechnicalCollege No．2Vo1．7 Dec．20o4 [文章编号]1671__8178(2Oo4)o4 8__03 浅谈概率中一般加法公式的应用 张守平 (湖北职业技术学院 公共课部 ，湖北 孝感 432000) [摘 要]文章对概率加法公式的运用及运用其解题中注意的问题进行了讨探。提倡使用一般加法公式 之前应该分析事件的独立性，以使一般加法公式用得恰到好处。 [关键词】概率论；互斥与独立事件；加法公式 [中图分类号 】0211．66 [文献标识码 】A 学好概率论 中“事件和概率”一章是学好概率统 计的保证 。而概率 的加法公式正是该章中值得研究 的专题之一。笔者在本文对一般加法公式的应用方 法做些肤浅探讨 。供同仁参考。 1、概率的两个加法公式 由概率的有限可加性：若 AiA = (1≤i<J≤ n)。 则 - ^ P( A)= P(A)。¨ 这个公式称为互斥事件的加法公式。 由概率的另一性质：对任意的两个事件 A．、A：， 有 P(A。UA2)=P(A。)+P(A2)一P(A。A2)。再推广 到任意有限个事件 ，设 A。。A：，…，A 是 个随机事 件 。则有 h n P(’ ‘A)：∑I=lP(Ai)一1日∑q P(A,Aj)+l对 ∑<kC~nP(A )一 … +(一1) P(nA)… 这个公式称为概率的一般加法公式。显然，互斥事 件的加法公式为其特例。 求“事件 A 一，A 中至少有一个发生”的概率 时。上述两个加法公式各显示其独特的作用。而当 A 一，A 不互斥时，上述一般加法公式较繁。使用 的 情况也较复杂。那么，怎样才能把一般加法公式用 得恰到好处呢? 2、巧用一般加法公式 ．以寻找清晰的解题思路 几乎所有的教科书，均在介绍一般加法公式后 ， 以信封匹配问题为例，说明该公式以其程式化的鲜 明特点。指出了解题思路 。下面再列举一般加法公 式运用的两个例子。 例 1 一部五卷 的文集 。按任意次序放在 书架 上。求 自左至右 。第一卷不在第一位置且第二、三卷 也都不在其位的概率。 解 设 A。。A：，A，分别表示第一、二、三卷在其相 应位置上 ，于是 P( ) P(A—IUA2—UA3) =1一P(AlUA2UA3)。 关键即求 P(AlUA2UA3)=P(A1)+P(A2)+P(A3) 一 P(A。A2)一P(A2A3)一P(A。A3) + l2 )AI 不独立 3×一3×蚤+ = 7 ~lJp(A, 一 。 A一2 。 A一3 )： 8 例 2 在平面上画上有间隔为 d的等距平行线 ， 向平面任意投掷一个边长为 a,b、c(均小于 d)的三 角形 ，求三角形的两边与平行线相交的概率。(可以 认为“三角形 的任一边与平行线重合”的概率为零 ， 【收稿 日期 】2004—09一l6 [作者简介】张守平(1965一)。男，湖北孝感人，湖北职业技术学院公共课部副教授，主要研究高等数学。 · 78 - 维普资讯 http://www.cqvip.com
维普资讯http:/www.cqvip.com 张守平：浅谈概率中一般加法公式的应用 “三角形的任一顶点在平行线上”的概率也为零)。 1-P(A)…P(Ao) 解设A={三角形的两边与平行线相交}，以A。, =1-0.99810用计算卷0.9504 A6,A。表示边a,b,c与平行线相交，由于事件A等价 例3用一般加法公式之所以受挫，追根溯源，是因 于A,Ab,A.中至少有一发生，即A=A.UA U Ac,又 为n大且不便于利用级数求解，更主要的是A1, 因为A。,Ab,A。不互斥，所以 …A.不互斥且独立。这时，另有简便公式 P氏A)=PA,UA,UA)选试PA,)+PA,) +P(A.)-P(A.A)-P(AA)-P(AA.)+P(A.AA) P(8A:)=1-IP(A) i=1 精丰技针问题结果风二+2马+二 (下面称为P(8A,)的简便公式)对例3，它比一般 人4人不立一++d -P(A)P(A.I A)-P(A.)P(A.I A.)+0 加法公式更适用于求P(UA:)。 2a*0白x3总x分急×对 运用一般加法公式离不开分析事件的独立性。 md 而这一点，却往往为一些人所忽视。因为几乎所有的 =a+6+c 教材都把独立性安排在一般加法公式之后，使很多人 nd 上述两例，因为用了一般加法公式，所以能较快 学完了概率论，还不知道“信封匹配问题”中求P( 地探索到解题思路。读者不妨对例1用古典概型方 A)时，A1,·,A。是不独立的，至于为什么选用一般加 法，对例2用几何概率方法（因试验结果为无限），会 法公式求P(A,),那就更无从回答了。由例3可 发现求解是不容易的，思路也不如上述解法清晰！ 当对古典概型方法无从下手时，还可从一般加法公 知，不要一见到求P(A,)就套用一般加法公式。下 式的解题过程得到启示。这就足以见到一般加法公 面一例，将说明：当不满足使用P(,出A:)的简便公式 式的运用，它能化“难”为“易”，纵观两例解题过程都 的独立性要求时，以选用一般加法公式为宜。 必需分析事件的独立性，而且分析独立性在解题过 例4右图1,2,3,4,5,6表示继电器接点。假 程中起着重要作用。 设每一继电器接点闭合的概率为p,且各继电器接 3、用一般加法公式之前，先分析事件的独立性 点闭合与否相互独立。求L至R是通路的概率。 例3若每个人的呼吸道中带有感冒病毒的概 率是0.002，而且各人是否带感冒病毒是独立的。求 在有1500人的剧场中有感冒病毒的概率。 解设A={剧场中有感冒病毒}A:={第i人 带感冒病毒}i=1,2·,1500.P(A)=P(A1U A2U…UA15w） 4140不互斥10E 设A={第号继电器接点闭合}i=1,2,…,6 P(A,)1s点mP(AA) B={L至R是通路}，由图知B=AA3UA2A3UA,U ++(-)p(A)@立 1500 A5A6,于是 gPA-点P(A)P(4)-P(A) 解一 1≤icjs1500 P(B)=P(AA U A2A3U A U AsAs) 这是一个不高明的解法。请看较好的解法 1-P(AA)P(AA)P(A.)P(A;A) 1合洗微 1 -P(A UA)P(A2UA3)P(A)P(AsU As) =1-[1-P(A)P(A,)]3[1-P(A)] …A10m独立 1-P(A1A2…A150） =1-(1-p2)(1-p) A1A10独立 =P+3p2-3p3-3p+3p3+p6-p ·79
张守平 ：浅谈概率中一般加法公式的应用 “三角形的任一顶点在平行线上”的概率也为零 )。 解设 A={三角形的两边与平行线相交 }，以A。， A ，A 表示边 口，6，c与平行线相交，由于事件 A等价 于 A。，A6，A 中至少有一发生 ，即A=A。UA6UAc，又 因为A。，A6，A 不互斥 ，所以 P(A)：P(A。UA6UAc) P(A。)+P(A6) +P(A)-P(A。Ab)-P(AbA~)-P(A 。)+P(A．AbA~) 蒲 贻 施暗嘴 果【2J 2a 26 2c — + + — P(Ab)P(A。IA)一P(Ac)P(A。IAc)+0 2(a+6+c、 2 l 26 l 2c l — 一 一 × 一 × — × 一 一 ±垒±! 上述两例 ，因为用 了一般加法公式 ，所以能较快 地探索到解题思路。读者不妨对例 1用古典概型方 法 ，对例 2用几何概率方法(因试验结果为无限)，会 发现求解是不容易的，思路也不如上述解法清晰! 当对古典概型方法无从下手时 ，还可从一般加法公 式的解题过程得到启示。这就足以见到一般加法公 式的运用 ，它能化“难”为“易”，纵观两例解题过程都 必需分析事件 的独立性 ，而且分析独立性在解题过 程中起着重要作用 。 3、用一般加法公式之前 。先分析事件的独立性 例 3 若每个人 的呼吸道中带有感冒病毒的概 率是 0．002，而且各人是否带感 冒病毒是独立的。求 在有 1500人的剧场中有感 冒病毒的概率。 解 设 A= {剧场中有感冒病毒}A = {第 i人 带感 冒病 毒 }i= 1，2…，1500． P(A) =P(A。U A2… Al50o) A1．··Ai50o不互斥1善．50P(A)一 磊。5ooP(AiAj) +… +(一1)1500-1Pf1500 Ai) Al…AIⅫ独立 1．500 1．500 ZP(A)- 磊．瑚P(Ai)P()一gP(Ai) 这是一个不高明的解法。请看较好的解法 P(A。UA2U…UA。50o) 堡堕型 P(AlUA2U…UAl5加) ·一P(A—iA2"一A—isoo) 1一P(A。)…P(A。50o) ： 1—0．998·500=里塑 0． 9504 例3 用一般加法公式之所以受挫，追根溯源，是因 为 ，t大且 不便 于利 用级 数 求解 ，更 主要 的是 A，， … … A 不互斥且独立。这时 ，另有简便公式 P(． U， A‘)=1一II． P(A‘) (下面称为 ． A)的简便公式)对例 3，它比一般 加法公式更适用于求 P(．L-lA)。 运用一般加法公式离不开分析事件的独立性。 而这一点，却往往为一些人所忽视。因为几乎所有的 教材都把独立性安排在一般加法公式之后 ，使很多人 学完了概率论 ，还不知道“信封匹配问题”中求 P(U A)时，A 一，A 是不独立的，至于为什么选用一般加 法公式求 P(L-{A)，那就更无从 回答了。由例 3可 知，不要一见到求 P(． Ai)就套用一般加法公式。下 面一例，将说明：当不满足使用 P(uA)的简便公式 的独立性要求时，以选用一般加法公式为宜。 例 4 右图 1，2，3，4，5，6表示继电器接点。假 设每一继电器接点闭合的概率为 P，且各继 电器接 点闭合与否相互独立。求 ￡至 尺是通路的概率。 广 _『 ／ 0一 —— ．．一-．1 I ／ i ． aP．———●一 ．．厂．‘—一… 一一— — 一 ￡L五 尺 设Ai={第i号继电器接点闭合}i=1，2，…，6． B={￡至尺是通路}，由图知 B=A。A3UA2A3UA。U A5A6，于是 ’解一 P(B)=P(AlA3UA2A3UA4UA5A6) 1一P(A一,A3)P(A一2A3)P( )P( ) = 1一P(AlUA3)P(A2UA3)P(A4)P(A5UA6) = 1一[1一P(A)P(A，)][1一P(A)] = 1一(1一P)(1一P) = P +3p 一3p 一3p4+3p +P6一P’ · 79 · 维普资讯 http://www.cqvip.com
维普资讯htp:/ww.cqvip.com 湖北职业技术学院学报 2004年第4期 第7卷第4期 解一是错误的。因为线路A,A3和A2A是不独 (这时，如选用一般加法公式，即使能做，也较 立的，不满足求P(UA)的简单公式的独立性前提。 繁)若A1,·,An不独立，则必须选用一般加法公式。 i:1 本文旨在提倡使用一般加法公式之前应该分析事件 所以(*)式是造成解一错误的关键一步。正确解 的独立性，以使一般加法公式用得恰当，用得恰到好 法见解二。 处，不该用一般加法公式时，决不应舍简取繁，决不 解二 P(B)=P(A,A,UAA,UA.UAA) 在解题中犯“不区别事件独立与否”或“误判事件独 立性”的错误。 A4立P4A)+P,A)+P,)+ A小3AM小s不斥 在“事件与概率”一章，复习一般加法公式时，教 P(AAs)-P(AA2A)-P(AAA4）-P(A1AAyA6）- 师应有意识地与“分析事件独立性”这个重要的概念 P(A2AA)-P(A2AAAs)-P(A,A3As)+P(AAAA,) 有机地结合起来，并且以生动的例题对比正确与错 +P(A:A2A,A,As)+P(A A,A,A,As)+P(A2A3A,AsA)- 误和简炼与繁锁。这是概率论教学中不容忽视的一 P(A443A45A6) 个专题。 =p+3p2-4p3-p+3p3-p [参考文献] 本例充分说明，只有经过事件独立性的分析，才 [1]中山大学数学力学系小组.概率论与数理统计[M].北 能在求P(,A:)的简便公式和一般加法公式之间作 京：高等教育出版社，1980：32 出恰当的选择。 [2](苏)A·A·史威斯尼可夫，等.概率论解题指南[M].上 海：上海科技出版社，1965：21。 4、结语 [3]唐国兴.高等数学·概率统计[M].武汉：武汉大学出版 当事件A1,…,A.不互斥、要求A,…,An中至少 杜，1991：53. 有一事件发生的概率时，应该先分析事件A1,…,A。 的独立性。若A1,…,An独立，一般总是用简单公式 (特约审稿人：刘学才) P(9A,)=1-iP(A) Discussion on the Application of the General Addition Formula in Probability ZHANG Shou-ping (Hubei Vocational-Technical college,Xiaogan,Hubei 432000 Abstract:The essay discusses the application of addition formula.It is also advocated that independence of the incidents should be analyzed before the general addition formula are applied in order to use it properly. Key(words:probability theory;mutual exclusion and independent incident addition formula 大8 .80·
湖北职业技术学院学报 2004年第4期 第7卷第4期 解一是错误 的。因为线路 A。A，和 A：A，是不独 立的，不满足求 P(UA)的简单公式的独立性前提。 所以 ( )式是造成解一错误 的关键一步。正确解 法见解二。 解二 P( )=P(AlA3UA2A3UA4UA5A6) AlA3 宰4 5九 不独立 P(A。A，)+P(、 )+P(A4)+ P(A5 )一P(AlA2A3)一P(AlA3A4)一P(AlACt5A6)一 P(A A4)-P(A A5 )-P(A5 )+P(A-A A4) +P 。A )+P(A。A3 )+P(A A4 )一 P(A。A 5 ) =P+ )2一 一p4+ 一P 本例充分说明，只有经过事件独立性的分析，才 能在求 P(uA。)的简便公式和一般加法公式之间作 出恰当的选择。 4、结语 当事件 A 一，A 不互斥、要求 A 一，A 中至少 有一事件发生的概率时，应该先分析事件A 一，A 的独立性 。若 A 一，A 独立 ，一般总是用简单公式 P(uAi)=1一IIP(Ai) (这时 ，如选用一般加法公式 ，即使能做 ，也较 繁)若 A 一，A 不独立，则必须选用一般加法公式。 本文旨在提倡使用一般加法公式之前应该分析事件 的独立性，以使一般加法公式用得恰当，用得恰到好 处，不该用一般加法公式时，决不应舍简取繁 ，决不 在解题中犯“不区别事件独立与否”或“误判事件独 立性”的错误。 在“事件与概率”一章 ，复习一般加法公式时，教 师应有意识地与“分析事件独立性”这个重要的概念 有机地结合起来，并且 以生动的例题对 比正确与错 误和简炼与繁锁。这是概率论教学 中不容忽视的一 个专题。 【参考文献] [1]中山大学数学力学系小组．概率论与数理统计[M]．北 京 ：高等教育出版社，1980：32． [2](苏)A·A·史威斯尼珂夫，等．概率论解题指南[M]．上 海：上海科技出版社，1965：21． [3]唐国兴．高等数学 ·概率统计[M]．武汉：武汉大学出版 社 ，1991：53． (特约审稿人：刘学才) Discussion ontheApplicationoftheGeneralAdditionFormulainProbability ZHANG Shou—-ping (HubeiVoeationM—Technicalcollege．Xiaogan．Hubei432000) Abstract：Theessaydiscussestheapplicationofadditionformula．Itisalsoadvocatedthatindependenceofthe incidentsshouldbeanalyzedbeforethegeneraladditionformulaareappliedinordertouseitproperly． Key rdS：probabilitytheory；Inutua1exdudonandindePendentineident；additionform u1a 呔 · 80 · 维普资讯 http://www.cqvip.com