0 当3=-2时, 4-201「210 2E-A=-8-40→001 2x1+x2=0, 解方程组 得对应于入=-2的特征向量5=-2 0 令P=02-2,则P可逆,并有PAP=A 【评注】完全类似的例题见《考研数学大串讲》P222【例18-19】和《文登数学全真 模拟试卷》数学二P.36第十二题(几乎完全一致) 十二、(本题满分8分) 已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1:ax+2by+3c=0, l2:bx+2cy+3a=0, cx+2ay+36=0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+C=0 【分析】三条直线相交于一点,相当于对应线性方程组有唯一解,进而转化为系数矩 阵与增广矩阵的秩均为2 【详解】方法一:必要性 设三条直线l1,l2,l3交于一点,则线性方程组 ax+ 2by=-3 bx 2cy=-3a cx+2ay=-3b 有唯一解,故系数矩阵A=b2c与增广矩阵A=b2c-3a的秩均为2,于是 015           = 1 0 0  1 ， . 0 2 1 2            = 当 3 = −2 时，           →           − − − − − − − = 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 8 8 4 0 4 2 0 2E A ， 解方程组    = + = 0, 2 0, 3 1 2 x x x 得对应于 3 = −2 的特征向量 . 0 2 1 3            = − 令           = − 1 0 0 0 2 2 0 1 1 P ，则 P 可逆，并有 . 1 =  − P AP 【评注】 完全类似的例题见《考研数学大串讲》P.222【例 18-19】和《文登数学全真 模拟试卷》数学二 P.36 第十二题（几乎完全一致）. 十二 、（本题满分 8 分） 已知平面上三条不同直线的方程分别为 : 1 l ax + 2by + 3c = 0， : 2 l bx + 2cy + 3a = 0， : 3 l cx + 2ay + 3b = 0 . 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a +b + c = 0. 【分析】 三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩 阵与增广矩阵的秩均为 2. 【详解】 方法一：必要性 设三条直线 1 2 3 l ,l ,l 交于一点，则线性方程组      + = − + = − + = − 2 3 , 2 3 , 2 3 , cx ay b bx cy a ax by c (*) 有唯一解，故系数矩阵           = c a b c a b A 2 2 2 与增广矩阵           − − − = c a b b c a a b c A 2 3 2 3 2 3 的秩均为 2，于是 A = 0