第2期 王康，等：二阶邻居协议下多智能体系统能控能观性保持 ·219 lu‖≤uw,i=1,2,…,n (19) 16 能量函数对时间的导数可以写为以下形式： 14 E()=VE()x=】 E)' ox. 10 由式(13)和式(18)可得，能量函数的导数也可 写为 =26'(-Eu+d) 2 ox. 0.51.01.52.02.53.03.54.04.55.0 根据式(19)，并由 特征值2， E()=E(),() 图7能量函数E的图像 ac:a入2(）ax: Fig.7 Image of energy function E 可得下列不等式： 由能量函数的图像可知，如果在初始时刻给具有结 E)≤-1aA,) 2N 2(）2 构能控性的系统赋予一组权重不为1的权值，那么 2+ i=1 ox: 不仅说明入，恒大于零，系统结构能控性得到保持， a入，c)∥uw∑ aE() aA2(·) 还说明拓扑图恒连通，任意节点都会与其他至少一 ax, 个节点相连接。即‖x:-x‖≤R,存在权值0 因此，如果不等式 又因为权值0：=1时，由式(14)和式(15)得， M,(）2 1含 A2() 川x:-x‖=0，显然无意义。因此权值e≠1，所 ox: 以结构能控性得到保持的系统必定存在一组边的权 (20) 值，且权值不为1。因此多智能体系统(1)具有能控 性和能观测性。 成立，则E(·)≤0。假设式(21)条件成立： A2().2 综上，通过在初始时刻赋予多智能体系统一组 立1 ≠0 (21) 权值且引入控制策略，具有时变拓扑结构的多智 能体系统的能控性和能观测性得到保持。 那么，式(20)所描述的不等式就可以写为 A2(·) 4结束语 =1 M,()2 ≤‖ 得1s 由于二阶邻居协议式(3)在到达一致性的速度 上比一阶邻居协议式(2)更有优势，所以本文对二 ox. 阶邻居协议式(3)下的多智能体方面进行了研究， (22) 并对相关定理通过算例进行验证。而对于智能体与 根据能量函数的性质，3入>0，使得 二阶邻居通信过程中可能会出现时滞的情况，这将 H入2()≤入，不等式(22)成立。这也表明 是未来的一个重点研究的问题。本文对具有时变拓 入2(·)的值大于零。假设 扑结构的多智能体系统的一致性协议的选取和能控 2 性保持方面的研究提供了一个方向和基础。 立 aA,( -1=0 (23) i= 参考文献： 式(23)成立，那么入2()=0，即入2()是一个恒大 [1]GODSIL C,ROYLE G.Algebraie graph theory M].New 于0的常数，说明系统结构能控性不发生变化。 York:Springer,2001. 因此由上述结论可知：如果在初始时刻拓扑图 [2]TANNER H G.On the controllability of nearest neighbor in- 连通，那么随着时间的变化，即使拓扑图的结构发生 terconnections[C]//Proceedings of the 43rd IEEE Confer- 变化，其所对应的拉普拉斯矩阵的第2个特征值入？ ence on decision and Control.Nassau,2004,3:2467- 也会永远大于零。那么多智能体系统的结构能控性 2472. 得到了保持。证毕。 [3]JI Zhijian,LIN Hai,YU Haisheng.Protocols design and uncontrollable topologies construction for multi-agent net- 根据能量函数的图像可以进一步理解上述结 works[J].IEEE transactions on automatic control,2015, 论。能量函数的图像如图7所示。 60(3):781-786.‖ｕ ε ｉ ‖ ≤ ｕＭ ，∀ｉ ＝ １，２，…，ｎ （１９） 能量函数对时间的导数可以写为以下形式： Ｅ · (·) ＝ ÑｘＥ (·) Ｔ ｘ · ＝ ∑ Ｎ ｉ ＝ １ ∂Ε (·) Ｔ ∂ｘｉ ｘ · ｉ 由式（１３）和式（１８）可得，能量函数的导数也可 写为 Ｅ · (·) ＝ ∑ Ｎ ｉ ＝ １ ∂Ｅ (·) Ｔ ∂ｘｉ （ － ∂Ｅ(·) ∂ｘｉ ＋ ｕ ε ｉ ） 根据式（１９），并由 ∂Ｅ(·) ∂ｘｉ ＝ ∂Ｅ(·) ∂λ２ (·) ∂λ２ (·) ∂ｘｉ 可得下列不等式： Ｅ · (·) ≤－ ‖ ∂Ｅ(·) ∂λ２ (·) ‖ ２ ∑ Ｎ ｉ ＝ １ ‖ ∂λ２ (·) ∂ｘｉ ‖ ２ ＋ ‖ ∂Ｅ(·) ∂λ２ (·) ‖ｕＭ∑ Ｎ ｉ ＝ １ ‖ ∂λ２ (·) ∂ｘｉ ‖ 因此，如果不等式 ‖ ∂Ｅ(·) ∂λ２ (·) ‖ ∑ Ｎ ｉ ＝ １ ‖ ∂λ２ (·) ∂ｘｉ ‖ ２ ≥ ｕＭ∑ Ｎ ｉ ＝ １ ‖ ∂λ２ (·) ∂ｘｉ ‖ （２０） 成立，则 Ｅ · (·) ≤ ０。 假设式（２１）条件成立： ∑ Ｎ ｉ ＝ １ ‖ ∂λ２ (·) ∂ｘｉ ‖ ２ ≠ ０ （２１） 那么，式（２０）所描述的不等式就可以写为 ｕＭ ∑ Ｎ ｉ ＝ １ ‖ ∂λ２ (·) ∂ｘｉ ‖ ∑ Ｎ ｉ ＝ １ ‖ ∂λ２ (·) ∂ｘｉ ‖ ２ ≤ ‖ ∂Ｅ(·) ∂λ２ (·) ‖ ＜ ¥ （２２） 根 据 能 量 函 数 的 性 质， ∃λ － ＞ ０， 使 得 ∀λ２ (·) ≤ λ － ， 不 等 式 （ ２２ ） 成 立。 这 也 表 明 λ２ (·) 的值大于零。 假设 ∑ Ｎ ｉ ＝ １ ‖ ∂λ２ (·) ∂ｘｉ ‖ ２ ＝ ０ （２３） 式（２３）成立，那么 λ · ２ (·) ＝ ０，即 λ２ (·) 是一个恒大 于 ０ 的常数，说明系统结构能控性不发生变化。 因此由上述结论可知：如果在初始时刻拓扑图 连通，那么随着时间的变化，即使拓扑图的结构发生 变化，其所对应的拉普拉斯矩阵的第 ２ 个特征值 λ２ 也会永远大于零。 那么多智能体系统的结构能控性 得到了保持。 证毕。 根据能量函数的图像可以进一步理解上述结 论。 能量函数的图像如图 ７ 所示。 图 ７ 能量函数 Ε 的图像 Ｆｉｇ．７ Ｉｍａｇｅ ｏｆ ｅｎｅｒｇｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｅ 由能量函数的图像可知，如果在初始时刻给具有结 构能控性的系统赋予一组权重不为 １ 的权值，那么 不仅说明 λ２ 恒大于零，系统结构能控性得到保持， 还说明拓扑图恒连通，任意节点都会与其他至少一 个节点相连接。 即 ‖ｘｉ － ｘｊ‖ ≤ Ｒ ，存在权值 ｗｉｊ。 又因为权值 ｗｉｊ ＝ １ 时， 由式 （ １４） 和式 （ １５） 得， ‖ｘｉ － ｘｊ‖ ＝０，显然无意义。 因此权值 ｗｉｊ ≠ １，所 以结构能控性得到保持的系统必定存在一组边的权 值，且权值不为 １。 因此多智能体系统（１）具有能控 性和能观测性。 综上，通过在初始时刻赋予多智能体系统一组 权值且引入控制策略 ｕ ｃ ｉ ，具有时变拓扑结构的多智 能体系统的能控性和能观测性得到保持。 ４ 结束语 由于二阶邻居协议式（３）在到达一致性的速度 上比一阶邻居协议式（２）更有优势，所以本文对二 阶邻居协议式（３）下的多智能体方面进行了研究， 并对相关定理通过算例进行验证。 而对于智能体与 二阶邻居通信过程中可能会出现时滞的情况，这将 是未来的一个重点研究的问题。 本文对具有时变拓 扑结构的多智能体系统的一致性协议的选取和能控 性保持方面的研究提供了一个方向和基础。 参考文献： ［１］ＧＯＤＳＩＬ Ｃ， ＲＯＹＬＥ Ｇ． Ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｇｒａｐｈ ｔｈｅｏｒｙ［ Ｍ］． Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ： Ｓｐｒｉｎｇｅｒ， ２００１． ［２］ＴＡＮＮＥＲ Ｈ Ｇ． Ｏｎ ｔｈｅ ｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｎｅａｒｅｓｔ ｎｅｉｇｈｂｏｒ ｉｎ⁃ ｔｅｒｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎｓ［Ｃ］ ／ ／ Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ ４３ｒｄ ＩＥＥＥ Ｃｏｎｆｅｒ⁃ ｅｎｃｅ ｏｎ ｄｅｃｉｓｉｏｎ ａｎｄ Ｃｏｎｔｒｏｌ． Ｎａｓｓａｕ， ２００４， ３： ２４６７ － ２４７２． ［３］ ＪＩ Ｚｈｉｊｉａｎ， ＬＩＮ Ｈａｉ， ＹＵ Ｈａｉｓｈｅｎｇ． Ｐｒｏｔｏｃｏｌｓ ｄｅｓｉｇｎ ａｎｄ ｕｎｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｌｅ ｔｏｐｏｌｏｇｉｅｓ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｆｏｒ ｍｕｌｔｉ⁃ａｇｅｎｔ ｎｅｔ⁃ ｗｏｒｋｓ［ Ｊ］． ＩＥＥＥ ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ ａｕｔｏｍａｔｉｃ ｃｏｎｔｒｏｌ， ２０１５， ６０（３）： ７８１－７８６． 第 ２ 期 王康，等： 二阶邻居协议下多智能体系统能控能观性保持 ·２１９·