第6期 姜峰，等：流形学习与基于线性耦合映射的流形对齐 ·477 个采样集合，记为 式中：h=[g]T,e=[11…1]T是大小为 X={x,x,…,xw}CR (N+N,)×1的全1的列向量.这样最小化问题最终 Y={y1,2,…,y,}CR. 可以通过特征值分解的来解析求解作者在不同物体 在流形对齐问题中，一般情况下会认为不同的 的姿态数据库上检验了非线性流形对齐算法的性能. 流形MCR和M,CR”背后存在着一个彼此共享 文献[1]给出的是非线性流形对齐算法中的代 的、本质的公共流形McCR”.例如，不同分辨率的 表算法.其他一些流形对齐的相关工作还有文献[8- 人脸图像组成的流形实际上是共享着一个人脸公共 9]等.其中，文献[8]主要完成将一个流形对齐到另 流形.这些来自不同流形上的采样点在公共流形上 一个目标流形上去的任务，而文献[9]主要是利用 有一个对应的像点.对于X={x,2,…,xw,}CM 具有有序关系的信息来进行半监督流形对齐的.此 和M,CR”来讲，在M。上有一个集合X={x, 外，一些相关的技术（如高斯过程等10）对从其他 2,…,xN,}CM。与之对应.同样，Y={y,2,…, 方面理解流形对齐也会有所帮助， 1.3线性流形对齐 yw{CM。对应于采样点集合Y={1,2,…,xN,}C 非线性流形对齐算法在处理Out-of-sample数 M,如果x:和y:在公共流形M。上有相同的像点， 据点时[6]，需要重新进行训练.这是由于非线性算 则称x:和y:对应.而流形对齐的任务恰恰就是要找 法不能得到显式的映射，即从高维空间数据点到相 到来自不同流形的采样点之间的对应关系。 应的低维嵌入的映射函数.为此，文献[11]中给出 1.2非线性流形对齐 了一种可能的解决方案.这种方法可以简要地总结 在文献[7]中，作者从半监督学习的角度阐述 如下： 和形式化了流形对齐问题及其若干应用，并给出了 1)通过线性流形学习的方法对数据集合X和Y 相应的解法.对于给定2个高维空间的数据集合 进行降维，找到各自的低维嵌入？和Y,即x= X={1,2,…,x}CR0,和Y={1y…,%,}C g.(x),gR0:→R,xeR”,xeR;y=g,(y）,g, R“.如前所述，这些来自于嵌入在高维空间的低维 RP,→R,yeR,y∈R; 流形上的采样点集合，可以通过基于图模型的流形 2)通过基于Procructes分析的回归算法对2个 学习方法来找到其对应的低维嵌入.用G=(v,,w) 低维嵌人集合X和Y进行对齐，即 来表示由顶点集合)和边集合专构成的图.以拉普 拉斯特征映射(Laplacian eigenmap）为例，通过最小 inL(Q,)=∑I年-x-s(y-)Q2. 化下面的目标： 式中：x=mean(X),y=mean(Y).如作者在文献 ff=∑(f-f)S [11]中所述，如果在1)中选择具有显式的映射函数 的线性流形降维方法，然后配合2)基于线性回归的 来学习得到一个实值方程∫：)→R这里S表示相似 流形对齐方法，那么算法就能直接处理Out-of-sam 度矩阵，L表示广义图拉普拉斯矩阵。 ple的问题.然而，这种将降维和对齐割裂成2个步 这样对于2个数据集合X和Y,分别定义实值 骤的方式显然很难达到最优解，而且其中包含太多 方程∫和g,以及对应的广义拉普拉斯矩阵L和 的参数选择.例如1)中降维的维数选择就会影响到 L.在半监督对应学习的框架下，最终流形对齐的目 最后的流形对齐效果.此外基于Procructes分析的 标被形式化为 回归算法，具有较强的前提假设，即假设2个流形之 L(f,g)=u∑If-g:‖2+fLf+gLg 间只存在尺度、平移和旋转这样的仿射变换.显然这 式中：C是一个对应标注集合.如果i∈C,则表示已 种前提条件在实际问题中很难得到满足 知集合X中第i个数据点x:和集合Y中第i个数据 在前文中回顾了一些现有的具有代表性的流形 点y:为对应点.对于这样一个病态优化目标，文献 对齐算法，对于非线性流形对齐算法来讲，处理Out- [7]将最小化目标转化为一个最小化广义瑞利商的 of-sample数据的先天不足，限制了该类方法的适用 问题，即 范围.而对于文献[11]中提出的线性流形对齐算 L(f,8) 法，过强的前提假设导致算法只能够处理特定的流 min L(h) ff+8g ,.t.hTe=0. 形对齐问题.从上述两方面来讲已有的流形对齐算