第一学期第二十四次课 432线性映射的运算的定义与性质 定义线性映射的运算(加法与数域K上的数量乘法) 设∫:U→V,g:U→V为线性映射,定义∫+g为 a+f(a)+g(a)(a∈U) 定义kf(k∈K)为 k…f:U aHk(a)(a∈U) 说明∫+g与k仍为线性映射。 命题Homk(U,V)在加法和数乘下构成数域K上的线性空间。 证明逐项验证 定义线性映射的乘法(复合) 设存在映射f,g,U-V-8→W,映射的乘法定义为(g°f)(a)=g(f(a)。易 验证,gof∈Hom(U,W)。 特别地,称V到自身的线性映射为V上的线性变换,常记Hom(V,V)为End End()中的元素(线性变换),用黑体或空体表示 对于f(x)=a0+a1x+a2 +ax",a,∈K,规定 f(A)=a0+a1A+a242+…+anA",a∈K 433线性映射在一组基下的矩阵的定义 定义设∫∈Hom(U,V),取U的一组基E12E2…En和V的一组基7hn2…7n,设 f(E1)=a11+a212 Imln f(E2)=a12+a2n2+…+ann f(en=a,n+a,,n (f(E)f(E2)…,f(En)=(7,n2…,7n) am,l a第一学期第二十四次课 4.3.2 线性映射的运算的定义与性质 定义 线性映射的运算（加法与数域 K 上的数量乘法） 设 f U V : → ， g U V : → 为线性映射，定义 f g + 为 : , ( ) ( ).( ) f g U V     f g U + → +   定义 k f k K ( )   为 : , ( ).( ) k f U V    kf U →   说明 f g + 与 k f 仍为线性映射。 命题 Hom (U,V) K 在加法和数乘下构成数域 K 上的线性空间。 证明 逐项验证。 定义 线性映射的乘法（复合） 设存在映射 f g, ， f g U V W ⎯⎯→ ⎯⎯→ ，映射的乘法定义为 ( )( ) ( ( )) g f g f   = 。易 验证， g f U W Hom( , ) 。 特别地，称 V 到自身的线性映射为 V 上的线性变换，常记 Hom( , ) V V 为 End( ) V 。 End( ) V 中的元素（线性变换），用黑体或空体表示。 对于 2 0 1 2 ( ) , n n i f x a a x a x a x a K = + + + +  ，规定 2 0 1 2 ( ) , n n i f a a a a a K A A A A = + + + +  。 4.3.3 线性映射在一组基下的矩阵的定义 定义 设 f U V Hom( , ) ，取 U 的一组基 1 2 , , , n    和 V 的一组基 1 2 , , ,    m ，设 1 11 1 21 2 1 2 12 1 22 2 2 1 1 2 2 ( ) , ( ) , ( ) . m m m m n n n mn m f a a a f a a a f a a a             = + + + = + + + = + + + 于是 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 1 2 ( ( ), ( ), , ( )) ( , , , ) . n n n m m m mn a a a a a a f f f a a a             =        