临沂師范兽院骨晶髁程兽台析银外训练方囊 [(xk=[Mxdk+上x)d=1+12 对于l1,当取p≥n时,有 limx?h(x)=A<+∞(=0或1) 故当n<1时(可使上述p满足n5p1),,收敛:而当n21时,则因M(21.,发散 对于l2,若令t 类似于对l的讨论,12当m<1时收敛,m≥1时发散 综合l1与l2的结果,当且仅当n与m都小于1时,所考察的瑕积分收敛(且因h(x)>0 自然也为绝对收敛)。 (4)事实上,经变换x=-,就能把此瑕积分化为无穷积分 os-d 而后者是条件收敛的。 例10证明:若[xf(xx收敛,则[f(x)d亦必收敛 分析由于条件中没有指出∫(x)是否保持定号,也没有说[xf(x)d是绝对收敛,因此不能 用比较法则错误地做成: (x)sf(x)x∈[+∞) 且(x)体收敛,故∫(x)绝对收敛 正确的作法应该借助狄利克雷判别法或阿贝尔判别法来证明, 证明:由于 f(x)=1.x(x).x∈[+∞) 而(x收敛,上在[+)上单调有界,故由阿尔判别法证得7(收敛。 例11证明关于瑕积分的狄利克雷判别法。 证明:类似于例3的(4),也可以把瑕积分中的问题经变换后化为无穷积分中的己经解 决了的问题。为此令x=a+-,得到 10临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 - 10 - ∫ ∫ ∫ = = + = + 2 4 1 2 2 0 4 0 ( ) ( ) ( ) . π π π π I h x dx h x dx h x dx I I 对于 I1 ，当取 p ≥ n时，有 lim ( ) ( 0 1). 0+ = +∞ = 或 → x h x λ p λ p x 故当 n p1时（可使上述 p 满足 n ≤ p p1）， I1 收敛；而当 n ≥1时，则因 1 , 1 ( ) I x h x ′′ ≥ 发散。 对于 I 2 ，若令t = − x 2 π ，则 . sin cos 4 0 2 ∫ ′′′ ′′ = π t t dt I 类似于对 I1 的讨论， I 2 当 m p1时收敛， m ≥1时发散。 综合 与 的结果，当且仅当 与 都小于 1 时，所考察的瑕积分收敛（且因 ， 自然也为绝对收敛）。 1 I 2 I n m h(x) f 0 （4）事实上，经变换 t x 1 = ，就能把此瑕积分化为无穷积分： ∫ ∫ +∞ = 1 2 1 0 , 1 cos cos 1 dt t t dx x x 而后者是条件收敛的。 例 10 证明：若 ∫ 收敛，则 亦必收敛。 +∞ 1 xf (x)dx ∫ +∞ 1 f (x)dx 分析 由于条件中没有指出 是否保持定号，也没有说 是绝对收敛，因此不能 用比较法则错误地做成： f (x) ∫ +∞ 1 xf (x)dx f (x) ≤ xf (x), x∈[1,+∞), 且 ∫ +∞ 1 xf (x) dx 收敛，故 ∫ 绝对收敛。 +∞ 1 f (x)dx 正确的作法应该借助狄利克雷判别法或阿贝尔判别法来证明。 证明：由于 ( ), [1, ), 1 ( ) = ⋅ xf x x∈ +∞ x f x 而 ∫ 收敛， +∞ 1 xf (x)dx x 1 在[1,+∞)上单调有界，故由阿贝尔判别法证得 ∫ 收敛。 +∞ 1 f (x)dx 例 11 证明关于瑕积分的狄利克雷判别法。 证明： 类似于例 3 的（4），也可以把瑕积分中的问题经变换后化为无穷积分中的已经解 决了的问题。为此令 t x a 1 = + ，得到