可证明极大似然估计具有下面的单调函数不变性: 若为未知参数的极大似然估计量,而g()为的单调函数 则g()也是g()的极大似然估计量 例4一罐中装有白球和黑球,有放回地抽取一个容量为m的样本, 其中有k个白球,求罐中黑球与白球之比R的极大似然估计 解设X,X,…,Mn为所取样本,X=「,取到白球 0,取到黑球 则X1,…,Xn~B(1,p),p是每次抽取时取到白球的概率,且p未知 容易求得p的极大似然估计为 n R 由极大似然估计的不变性知R的极大似然估计是R 上述解法是应用微积分中的技巧求似然函数L(的)的最大值点 但当似然函数L()不可微或偏导数不为零时,就不能用上述求导 方法求未知参数的极大似然估计了.这时要用极大似然原则来求可证明极大似然估计具有下面的单调函数不变性： 而 g( )为 的单调函数, 则 ^ g( ) 也是 g( )的极大似然估计量. 若^ 为未知参数 的极大似然估计量, 例4 一罐中装有白球和黑球, Xi i 1,,n 0, 1, =    = 取到黑球 取到白球 解 设 X1, X2 , …, Xn 为所取样本, 则 X1,…, Xn ~B(1, p), 有放回地抽取一个容量为n的样本, 其中有k个白球, 求罐中黑球与白球之比R的极大似然估计. p是每次抽取时取到白球的概率, 且 p未知. ˆ , n k p = p p R ˆ 1 ˆ ˆ − = = −1 . k n 容易求得 p 的极大似然估计为： 由极大似然估计的不变性知R 的极大似然估计是 , 1 p p R −  = 就不能用上述求导 方法求未知参数的极大似然估计了. 上述解法是应用微积分中的技巧求似然函数L( )的最大值点. 但当似然函数L( )不可微 这时要用极大似然原则来求. 或偏导数不为零时