(1)0a=(0a1,…,0an)=(0,…,0)=0. (2)(-1)a=(-1)a1,…,(-1)an）=(-a1,…,-an=-a. (3)k0=(k0…,0)=(0…,0)=0. (4)ka=(ka1…,kan)=(0,…,0).若a≠0，则存在a≠0，由ka:=0可得k=0. 2.证明：任一数域都包含有理数域 证明：设K为一个数域，则1∈K.所以对任意的正整数n有n=1+…+1∈K,并且n的负元 -n∈K.因此K含有全部整数.又因对任意的整数n≠0，n∈K,立为n的逆元则三∈K,所以对任 意的有理数丹（其中m,n是整数），有丹=m×n∈K,故有理数域QSK. 3.证明全体形如 a+bv2,a,bEQ 的数组成的集合构成一个数域 证明把这个集合记为K,设a+b1V2,a2+2V2eK,则 (a1+b1V②)±(a2+b2V②=(a1±a2)+(±2)V2∈K 因为有理数的和与差仍是有理数)： (a1+b1v2)(a2+bv2)=(ara2+)+(a1b2+)V2EK (因为有理数的和、差与乘积仍是有理数)：当2+2v2≠0时， 物=血+2-+尝聘K 02-22 〔有理数关于除法也是封闭的)因此集合K关于加减乘除法都封闭，成为一个数域 4.设K为数域V为K上的n维向量空间.证明：对所有的k∈K,a,3∈V,有 (1)k(a-B)=ka-k3; (②)+a+…+g=na (3)若a+8=a+,则= 证明设a=(a1,…,an),3=(1,…,bn)(a,b∈K).则对任意的k∈K, (1)k(a-)=k(a1-b,…,am-bn)=(k(a1-b1)…,k(an-bn)》=(ka1-kh,…,kan-khn) k(a1,…,an)-k(b1,…,bn)=ka-k8. (2)++g=(a1+…a12+…+2…,n+:+a)=(na1…,nan）=na (3)若设y=(c,…,n,且a+B=a+Y,即：(a1+b1,…,an+bn)=(a1+,…,am+cn),则 有a4+b=4+G,即b,=c,所以3=. 习题1-6 1.将下列向量单位化 (1)a=5元-6万+3F 石=是7-青 解)=哥=把67-6了+3 17(1) 0α = (0a1, · · · , 0an) = (0, · · · , 0) = 0. (2) (−1)α = ((−1)a1, · · · ,(−1)an) = (−a1, · · · , −an) = −α. (3) k0 = (k0, · · · , k0) = (0, · · · , 0) = 0. (4) kα = (ka1, · · · , kan) = (0, · · · , 0).  α 6= 0, J1k ai 6= 0, N kai = 0 >P k = 0. 2. ST: ￾H m6 G . :  K "Hf , J 1 ∈ K. #$￾
r+ n G n = 1 + · · · + 1 | {z } n ∈ K, W? n 9 −n ∈ K. !O K G3|+. Q!￾
+ n 6= 0, n ∈ K, 1 n " n , J 1 n ∈ K, #$￾
G m n (< m, n +), G m n = m × n ∈ K, !G Q ⊆ K. 3. ST: 36 a + b √ 2, a, b ∈ Q B* Tu*Hf . : Nwf T" K,  a1 + b1 √ 2, a2 + b2 √ 2 ∈ K, J (a1 + b1 √ 2) ± (a2 + b2 √ 2) = (a1 ± a2) + (b1 ± b2) √ 2 ∈ K (!"G:B[G); (a1 + b1 √ 2)(a2 + b2 √ 2) = (a1a2 + 2b1b2) + (a1b2 + a2b1) √ 2 ∈ K (!"G:￾ [BG); b a2 + b2 √ 2 6= 0 R, a1 + b1 √ 2 a2 + b2 √ 2 = (a1 + b1 √ 2)(a2 − b2 √ 2) a 2 2 − 2b 2 2 = a1a2 − 2b1b2 a 2 2 − 2b 2 2 + a2b1 − a1b2 a 2 2 − 2b 2 2 ∈ K (G*<Dg). !O T K *<Dm, *"Hf . 4.  K " , V " K y n F pq. ST: #G k ∈ K, α, β ∈ V , G (1) k(α − β) = kα − kβ; (2) α + α + · · · + α | {z } n ￾ = nα; (3)  α + β = α + γ, J β = γ. :  α = (a1, · · · , an), β = (b1, · · · , bn) (ai , bi ∈ K). J￾
 k ∈ K, (1) k(α−β) = k(a1 −b1, · · · , an −bn) = (k(a1 −b1), · · · , k(an −bn)) = (ka1 −kb1, · · · , kan −kbn) = k(a1, · · · , an) − k(b1, · · · , bn) = kα − kβ. (2) α + · · · + α | {z } n = (a1 + · · · a1 | {z } n , a2 + · · · + a2 | {z } n , · · · , an + · · · + an | {z } n ) = (na1, · · · , nan) = nα. (3)  γ = (c1, · · · , cn), ? α + β = α + γ, : (a1 + b1, · · · , an + bn) = (a1 + c1, · · · , an + cn), J G ai + bi = ai + ci ,  bi = ci , #$ β = γ.
1–6 1. v /L: (1) −→a = 5−→i − 6 −→j + 3 −→k ; (2) −→b = 1 2 −→i − 1 3 −→k . : (1) −→ a 0 = −→a | −→a | = √ 70 70 (5−→i − 6 −→j + 3 −→k ). · 17 ·