第二章多元函数微分法 F(xmxmn,y(x,n))=0 两端分别关于x求偏导数得到 aF(x,xn,(x1…x,)=2+=0 由这个方程求解 f 就可以得到所得公式 y F'(x, ax F,y) 例2方程x2+y2+x2-1=0在哪些点的邻域中能够确定隐函数 z=(xy)?在隐函数存在之处求, 解取F(x,y)=x+y2+=2-1,因为=2=,所以只要 二≠0,根据定理113.2,在点(x,y,z)的某个邻域中存在隐函数 二=二(x,y),也就是说,该球面在点(x,y,)某个邻域中的一小片可以 表示为〓=x(x,y).这个隐函数z=(x,y)定义在(x,y)的某个邻域 中,并且有 = 全=-t/=-y ay aa 2=2()=2 aa ax 当y≠0时,在点(x,y,z)的某个邻域中存在隐函数y=y(,x) 也就是说,该球面在点(x,y,=)某个邻域中的一小片可以表示为 y=y(x,x).这个隐函数定义在(,x)的某个邻域中 同样,当x≠0时,在点(x,y,=)的某个邻域中存在隐函数 x=x(y,),也就是说,该球面在点(x,y,)某个邻域中的一小片可以 表示为x=x(y,=).这个隐函数定义在(y,)的某个邻域中 若向量函数予=()=(v(x)…,yn(x),由方程组 f(x,y)=f1( yn)=0 F(x,y)=0即 确定 U/(,y)=f(x1…xn片,…,ym)=0 求向量函数=y()=((x)…,yn(x)之导函数? 将y1”yn看作是x1”…x的函数y=y(x)=y(x1…xn),则 (x,y1(x)…,ym2(x) F2(xy…,ym(x)=0或F(,)=0 Fm(x,y,(r)y()=0 第四节隐函数微分法第二章 多元函数微分法 第四节 隐函数微分法 F(x1 ,...,x n , y(x1 ,...,x n )) = 0 两端分别关于 i x 求偏导数得到 1 ( 1 ,..., , ( 1 ,..., )) = 0     +   =   i i n n i x y y F x F F x x y x x x 由这个方程求解 i x f   ,就可以得到所得公式 ( ) F (x y) F x y x y y x i i , ,     = −   . 例 2 方程 1 0 2 2 2 x + y + z − = 在哪些点的邻域中能够确定隐函数 z = z(x, y) ?在隐函数存在之处,求 2 2 , , x z y z x z       . 解 取 ( , , ) 1 2 2 2 F x y z = x + y + z − ， 因为 z z F = 2   ，所以只要 z  0 ,根据定理 11.3.2,在点 (x, y,z) 的某个邻域中存在隐函数 z = z(x, y) ,也就是说,该球面在点 (x, y,z) 某个邻域中的一小片可以 表示为 z = z(x, y) . 这个隐函数 z = z(x, y) 定义在 (x, y) 的某个邻域 中,并且有 z x z z x z z x z x x x z x x z z y z F y F y z z x z F x F x z 3 2 2 2 2 2 ( ) ( ) / , / + = − − = = − = − = − = − = − = −                       当 y  0 时, 在点 (x, y,z) 的某个邻域中存在隐函数 y = y(z, x) , 也就是说,该球面在点 (x, y,z) 某个邻域中的一小片可以表示为 y = y(z, x) . 这个隐函数定义在 (z, x) 的某个邻域中. 同样, 当 x  0 时, 在点 (x, y,z) 的某个邻域中存在隐函数 x = x( y,z) ,也就是说,该球面在点 (x, y,z) 某个邻域中的一小片可以 表示为 x = x( y,z) . 这个隐函数定义在 ( y,z) 的某个邻域中. ⚫ 若向量函数 ( ) ( ( ) ( )) T m y y x y x , , y x 1    = = , 由方程组 F(x, y) = 0    即 ( ) ( ) ( ) ( )      = = = = , , , , , 0 , , , , , 0 1 1 1 1 1 1 1 1 n m n m f x y f x x y y f x y f x x y y          确定， 求向量函数 ( ) ( ( ) ( )) T m y y x y x , , y x 1    = = 之导函数？ 将 m y ,...,y 1 看作是 n x ,...,x 1 的函数 ( ) ( ,..., ) i i i 1 n y = y x = y x x  ,则           ( , ( ),..., ( )) 0 ( , ( ),..., ( )) 0 ( , ( ),..., ( )) 0 1 2 1 1 1 F x y x y x F x y x y x F x y x y x m m m m           或 F(x, y)  0   