定理5.2.8设f(x)在[a,b]上(R)可积,则f(x)在[a,b]上(L)可积,且(L) la, b] 证明记E=[a,b],由f(x)在E上(R)可积知:存在实数M,M2使得 M≤f(x)≤M2,相应于每个自然数n,将[a,b]分成2”等份,得到分划 Tn:a=x)<x1?)<x2 ∥Tn∥=max[xx1]-→0(n→∞) 作相应的简单函数 g,()=/10)x= k=1,2,.,2 flax=a h,(x)= k=1,2, x∈ 其中m=inf{f(x)x∈[x,x]},M=sup{f(x)x∈[x,x] 则在分划T下的 Darboux小和、大和分别为: s(f,T)=> s(f,T,)=M[x-e]= 显然,gn≤gm≤≤f(x)≤≤hn≤hn,令 g(x)= lim g(x),h(x)=limh,(x),则g(x)≤f(x)≤h(x)且定理５.2.8 设 f(x)在[a,b]上(R)可积，则 f(x)在[a,b]上(L)可积，且 (L) ∫[ ] a,b fdx＝(R) ∫ b a fdx。 证明 记 E＝[a,b]，由 f(x)在 E 上(R)可积知：存在实数 M1，M 2 使得 M1≤f(x)≤M 2 ，相应于每个自然数 n，将[a,b]分成 2 n 等份，得到分划 T n ：a＝ ( ) n x0 ＜ ( ) n x1 ＜ (n) x2 ＜...＜ (n) x n 2 ＝b, ∥T n ∥＝ n 1 i 2 max ≤ ≤ [x i -x i−1 ]─→0 (n→∞) 作相应的简单函数 g n (x)＝ ( ) () () () ( ]    ∈ = − n i n i n i m x x x f a x a , , , , 1 k=1,2,...,2 n h n (x)＝ ( ) () () () ( ]    ∈ = − n i n i n i M x x x f a x a , , , , 1 k=1,2,...,2 n 其中 ( ) n mi ＝inf{f(x)｜x∈[ ( ) (n) i n i x , x −1 ]}， (n) Mi ＝sup{f(x)｜x∈[ () () n i n i x , x −1 ]} 则在分划 T n 下的 Darboux 小和、大和分别为： s(f,T n )＝∑= n i 2 1 ( ) n mi [ (n) i x - (n) i x −1 ]＝∫E g n dx， S(f,T n )＝∑= n i 2 1 ( ) n Mi [ (n) i x - (n) i x −1 ]＝∫E h n dx 显然，g n ≤g n+1 ≤...≤f(x)≤...≤h n+1 ≤h n ，令 g(x)＝n→∞ lim g n (x)，h(x)＝n→∞ lim h n (x)，则 g(x)≤f(x)≤h(x)且