定理5.2.7设f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上可积且 1)存在∈[a,b满足[fdx=(b-a)f(5) fdx=F(b)-F(a),其中F(x)为f(x)的任一原函数。 证明因为f(x)在[a,b]上连续,所以f在测度有限集[a,b]上有界可测,所 以可积 1)设M=maxf(x),m=minf(x),则m(b-a)≤[fdx≤M(b-a),即 m≤≤M,由连续函数介值定理知:存在∈[a,b]满足 f() 2)令G(x) fdx,则 -L:/(M0M Ax f(dt 由1)知:存在5∈[x+Ax]满足=f(5故 f(dr lim lim Ji, t+arl/(dr lim f(S )=f(x), Ax→0 即G(x)=f(x),同理G′(x)=f(x),所以G(x)=f(x),即F(x)=G(x)+C, 其中C=F(a)。证毕 例5.2.2设()={5mxx为中的无理数,求[r(x)d 为p]中的有理数 解因为f(x) a.e于[0,1] Lcos1-cos0=1-cos1定理５.2.7 设 f(x)在[a,b]上连续，则 f(x)在[a,b]上可积且 1）存在ξ ∈[a,b]满足∫[ ] a,b fdx＝（b-a）f(ξ ) 2) ∫[ ] a,b fdx＝F（b）- F(a),其中 F（x）为 f(x)的任一原函数。 证明 因为 f(x)在[a,b]上连续，所以 f 在测度有限集[a,b]上有界可测，所 以可积。 1）设 M= x [ ] a,b max ∈ f(x)，m= x [ ] a,b min ∈ f(x),则 m(b-a)≤∫[ ] a,b fdx≤M(b-a),即 m≤ [ ] b a fdx a b − ∫ , ≤M，由连续函数介值定理知：存在ξ ∈[a,b]满足 [ ] b a fdx a b − ∫ , ＝f(ξ )， 即∫[ ] a,b fdx＝（b-a）f(ξ )。 2）令 G（x）＝∫[ ] a,x fdx，则 ( ) ( ) [ ] [ ] x f t dt f t dt a x x x a ∆ − ∫ ∫ , , +∆ ＝ ( ) [ ] x f t dt x x x ∆ ∫ , +∆ 由 1）知：存在 [ ] x x x ξ ∆x ∈ , + ∆ 满足 ( ) [ ] x f t dt x x x ∆ ∫ , +∆ = f(ξ ∆x ),故 () () [ ] [ ] x f t dt f t dt a x x x a x ∆ − ∫ ∫ +∆ ∆ → , , 0 lim ＝ 0 lim ∆x→ ( ) [ ] x f t dt x x x ∆ ∫ , +∆ ＝ 0 lim ∆x→ f(ξ ∆x )=f(x)， 即 G’(x + )＝f(x),同理 G’(x − )＝f(x)，所以 G’(x)=f(x),即 F（x）＝G(x)+C, 其中 C=F(a)。证毕 例５．2．２ 设 f(x)＝ [ ]  [ ]   为 中的有理数 为 中的无理数 arctan , 0,1 sin , 0,1 2 x x x x ，求∫[ ] 0,1 f（x）dx ＝？ 解 因为 f（x）＝sin x a.e 于［０，１］，∫[ ] 0,1 f（x）dx＝∫[ ] 0,1 sinxdx ＝-[cos1-cos0]＝1-cos1