证因为f(x)是(ab)内的单调有界函数,所以由函数极限的单调有界定理,imf(x)与 imf(x)都存在,应用范例1中的方法,可把f(x)延拓为ab]上的连续函数F(x),即 im f(x),x=a F(x)={f(x),x∈(a,b) lim f(x),x=b 由一致连续性定理,可得F(x)在[ab]上一致连续,于是f(x)为(ab)内的一致连续函数 例4若函数f是区间I上的一一对应的连续函数,则∫是I上的严格单调函数 分析若∫不是严格单调的,则必有x1<x2<x3,f(x1)>f(x2),f(x3)>f(x2),(或 f(x1)<f(x2),f(x3)<f(x2),这时如图41所示,取适当的μ,作平行于x轴的直线y=μ,与 y=f(x)有两个交点(51,f(51)),(52,f(2)),这与∫是一一对应相矛盾 证用反证法,若∫在I上不是严格单调的,则必彐x1,x2,x3,满足x1<x2<x3 f(x1)-f(x2))f(x2)-f(x3)<0 不妨设f(x1)>f(x2),f(x2)<f(x3)取满足下列条件的实数u: f(x,)<u<min f(x,,f(x,)) 分别在区间[x1,x2][x2,x3]上应用连续函数的介值定理,351,52满足x1<51<x2,x2<51<x3, 使得 f(51)=f(52)=, 这与∫是一一对应相矛盾 注我们知道一一对应的函数一般不一定是严格单调的,但是对于连续函数而言,严格单调的 充要条件是一一对应的 例5函数f(x)定义在区间I上,试证f(x)在I上一致连续的充要条件为:对任何数列 xxI,若im(x2-x2)=0,则 im(f(x2)-f(x”)=0 证[必要性]若f(x)在I上一致连续,则 VE>0,36()>0,x2,x"∈lx'-x"kd,则f(x')-f(x")kE.设I上两个数列x|x1,满 足ln(x-x”)=0,于是对上述δ<0,丑N>0,Ⅶmn>N,|x'-x”kδ,由一致连续性条件,有 f(x’)-f(x")kE证 因为 f (x) 是（a,b）内的单调有界函数，所以由函数极限的单调有界定理， lim f (x) x a → + 与 lim f (x) x b → − 都存在，应用范例 1 中的方法，可把 f (x) 延拓为[a,b]上的连续函数 F(x) ，即        =  = = − + → → lim ( ), . ( ), ( , ), lim ( ), , ( ) f x x b f x x a b f x x a F x x b x a 由一致连续性定理，可得 F(x) 在[a,b]上一致连续，于是 f (x) 为（a,b）内的一致连续函数. 例 4 若函数 f 是区间 I 上的一一对应的连续函数，则 f 是 I 上的严格单调函数. 分析 若 f 不是严格单调的，则必有 1 2 3 x  x  x ， ( ) ( ) 1 2 f x  f x ， ( ) ( ) 3 2 f x  f x ，（或 ( ) ( ) 1 2 f x  f x ， ( ) ( ) 3 2 f x  f x ），这时如图 4-1 所示，取适当的μ，作平行于 x 轴的直线 y=μ，与 y = f (x) 有两个交点（ , ( )  1  1 f ），（ , ( )  2  2 f ），这与 f 是一一对应相矛盾. 证 用反证法，若 f 在 I 上不是严格单调的，则必 1 2 3 x , x , x ，满足 1 2 3 x  x  x ， ( f (x1 ) − f (x2 ))( f (x2 ) − f (x 3 ))  0 . 不妨设 ( ) ( ) 1 2 f x  f x ， ( ) ( ) 2 3 f x  f x .取满足下列条件的实数μ： f (x2 )    minf (x1 ), f (x3 ). 分别在区间 [ , ],[ , ] 1 2 2 3 x x x x 上应用连续函数的介值定理，  1， 2 满足 1 1 2 x    x ， 2 1 3 x    x ， 使得 f ( 1 ) = f ( 2 ) =  ， 这与 f 是一一对应相矛盾. 注 我们知道一一对应的函数一般不一定是严格单调的，但是对于连续函数而言，严格单调的 充要条件是一一对应的. 例 5 函数 f (x) 定义在区间 I 上，试证 f (x) 在 I 上一致连续的充要条件为：对任何数列 x x I n  , n   ，若 lim(  − ) = 0 → n n n x x ，则 lim( (  ) − ( )) = 0 → n n n f x f x . 证 [必要性] 若 f (x) 在 I 上一致连续，则   0, ( )  0,x  , x I,| x  − x  |  ，则 | f (x ) − f (x )|  .设 I 上两个数列 n n x  , x  ，满 足 lim(  − ) = 0 → n n n x x ，于是对上述   0，N  0,n  N ，| x  − x  |  ，由一致连续性条件，有 | f (x ) − f (x )| 