im(f(x2)-f(x)=0 充要性]设对I上任意两个数列x与x1,若lm(x2-x")=0,则有lm((x2)-f(x) 现证f(x)在I上一致连续 用反证法若f(x)在I上不一致连续,则 3E0>0,>0,3x,x"∈l,满足|x'-x"kd,但有|f(x)-f(x)≥E0 取61=1,x1,x∈lx1-x1k1,有|f(x1)-f(x1)≥E0, 取δ2=,丑x2x2∈l|x2-x2k,有f(x2)-f(x2)≥E, 取d=,丑xx"∈x-x"k ,有|∫(x)-f(x”)≥E, 于是lim(x-xn)=0,但是m(f(x)-f(x2)≠0,与所设条件矛盾所以f(x)在I上一致连续 注在充分性证明中由f(x)在I上不一致连续的正面陈述,取一列δn→0,选出两个数列 x"1,这种方法是有用的分析技巧 §3初等函数的连续性 例1求极限lm(1+aa)(a为实数) 分析设法利用m(1+x)=e求上述极限 若a为有理数(a=P,pq为互质整数q>0),可以用极限运算法则求极限: lim(1+aa)'=lim/lp P im‖l P P q 若a为无理数,则无法用上述方法但可以用公式(3.2)求极限(即应用指数函数的连续性), 这是因为当a≠0时即 lim( (  ) − ( )) = 0 → n n n f x f x . [充要性] 设对 I 上任意两个数列 n n x  与x  ，若 lim(  − ) = 0 → n n n x x ，则有 lim( (  ) − ( )) = 0 → n n n f x f x . 现证 f (x) 在 I 上一致连续. 用反证法.若 f (x) 在 I 上不一致连续，则  0  0,  0,x  , x I,满足 | x  − x  |  ，但有 0 | f (x ) − f (x )|  . 取  1 =1,x1  , x1  I,| x1  − x1 |1 ，有 1 1 0 | f (x ) − f (x )|  ， 取 2 1 , , ,| | 2 1  2 = x2  x2 I x2  − x2   ，有 2 2 0 | f (x  ) − f (x )|  ， ………… 取 n x x I x x n n n n n n 1 , , ,| | 1  =     −   ，有 0 | (  ) − ( )|  n n f x f x ， ………… 于是 lim(  − ) = 0 → n n n x x ，但是 lim( (  ) − ( ))  0 → n n n f x f x ，与所设条件矛盾.所以 f (x) 在 I 上一致连续. 注 在充分性证明中由 f (x) 在 I 上不一致连续的正面陈述，取一列  n → 0 ，选出两个数列 n n x  , x  ，这种方法是有用的分析技巧. §3 初等函数的连续性 例 1 求极限 x x x 1 0 lim(1+ ) → （  为实数）. 分析 设法利用 x e x x + = → 1 0 lim(1 ) 求上述极限. 若  为有理数（ = , p, q , q  0 q p  为互质整数 ），可以用极限运算法则求极限： q p px q x x x x x x q p x q p x                   = +         + = + → → → lim(1 ) lim 1 lim 1 0 1 0 1 0  =   ( ) 0 lim 1 1 p个 px q px q x x q p x q p         +         + → = q p e 若α为无理数，则无法用上述方法.但可以用公式（3.2）求极限（即应用指数函数的连续性）， 这是因为当α≠0 时