m(+a)=m(+a 其中u(x)=(1+ax)a,w(x)=a,而lm(x)=lm(1+ax)a=e,lmv(x)=a 解当a≠0时,由公式(32)有 lim(I+ax)=lim(+ax)a 当a=0时,lm(1+ax)2=1=e°,于是va∈R,有 lm(+aa) 例2求极限im (a>0) 分析作变换y=a2-1,有1 然后可用对数函数连续性求极限 解设a2-1=y,x=lg(1+y),当x→>0时y→0 lim =lim (1+y) lim Ina=lim- Ina Ina n(1+ 注特别当a=e时,有lm-=1这也是一个重要结论 例3设an>0,且lman=a>0.试利用指数函数的连续性证明 imya2…an=a 证因为mnan=a>0,由对数函数的连续性,所以 lim Ina= Ina 由第二章总练习题3(1),得知 mna1+lma2+…+mna n=Ina 再由指数函数的连续性,有( )          + = + → → x x x x x ax 1 0 1 0 lim(1 ) lim 1 ， 其中 x u x x   1 ( ) = (1+ ) ， v(x) = ，而 u x x e x x x = + = → →   1 0 0 lim ( ) lim(1 ) ， = → lim ( ) 0 v x x . 解 当   0 时，由公式（3.2）有 ( )          + = + → → x x x x x ax 1 0 1 0 lim(1 ) lim 1 = ( )   ax x e x =       + → 1 0 lim 1 当  = 0 时， 0 1 0 lim(1 x) 1 e x x + = = →  ，于是  R ，有  x e x x + = → 1 0 lim(1 ) . 例 2 求极限 ( 0) 1 lim 0  − → a x a x x . 分析 作变换 = −1 x y a ，有 y a x y x a 1 log (1 ) 1 1 + = − ，然后可用对数函数连续性求极限. 解 设 a y x −1= ， x log (1 y) = a + ，当 x → 0 时 y →0 . log (1 ) lim 1 lim 0 0 y y x a a y x x + = − → → Ina In y y y (1 ) lim 0 + = → = Ina In y Ina y y = + → 1 0 (1 ) lim 注 特别当 a=e 时，有 1 1 lim 0 = − → x e x x .这也是一个重要结论. 例 3 设 an  0 ，且 lim =  0 → an a n .试利用指数函数的连续性证明 a a a a n n n = → lim 1 2  . 证 因为 lim =  0 → an a n ，由对数函数的连续性，所以 Inan Ina n = → lim 由第二章总练习题 3（1），得知 Ina n Ina Ina Inan n = + + + → 1 2  lim . 再由指数函数的连续性，有