2…an=lmey4-可 mnm+m:+“+ lim va, a, 例4设an>0, lim a=0,试证 imya1a2…an=0 证因为lman=0,由对数函数性质,有 lim ina=-∞ 与第三章总练习题9(1)相类似地可以证明 再由指数函数的连续性,有 imaa,…an=lmne 0 注例3、例4合起来证得了如下命题:若a.>0,ima,=a,则 im{aa2…an=a 例5求极限l/a+v6 (a>0,b>0) 分析由于lim 因此可以把 写成 2 /b 然后可利用im(1+x)=e与归结原则来求出极限 解 +毁b va+b 2 m(va-1)+n(b-1) 1+5+1+6-1) 在公式(3.3)中设 n(va-1)+( b-1) 2a a a e e e a n Ina Ina Ina Ina In a a a n n n n n n n n = = = = + + + → → →    1 2 1 2 lim 1 2 lim lim . 例 4 设 an  0 ， lim = 0 → n n a ，试证 lim 1 2 = 0 → n n n a a a . 证 因为 lim = 0 → n n a ，由对数函数性质，有 = − → n n lim Ina . 与第三章总练习题 9（1）相类似地可以证明 = − + + + → n Ina Ina Inan n 1 2  lim . 再由指数函数的连续性，有 lim lim 0 1 2 1 2 lim 1 2 = = = + + + → → → n Ina Ina Ina In a a a n n n n n n n n a a a e e    . 注 例 3、例 4 合起来证得了如下命题：若 an  0 ， an a n = → lim ，则 a a a a n n n = → lim 1 2  . 例 5 求极限 ( 0, 0). 2 lim           + → a b a b n n n n 分析 由于 1 2 lim = + → n n n a b ， 因此可以把 2 n n a + b 写成         − + + 1 2 1 n n a b ，而 1 0 2 lim =         − + → n n n a b . 然后可利用 ( x) x e n + = → 1 lim 1 与归结原则来求出极限. 解 n n n n n a b a b                 − + = +         + 1 2 1 2 = 2 ( 1) ( 1) 1 1 2 2 1 1 1 − + − − + −                   − + − + n n n n n a n b n n a b a b 在公式（3.3）中设 1 1 2 2 1 1 1 − + −         − + − = + n n n n a b n a b u ， 2 ( −1) + ( −1) = n n n n a n b v