C=E.(符号来自德文单词Einheit,意为l.有些书用符号i,代替E). 现在考虑一个有六重对称轴的分子，例如，C6H6.C6操作是转动60°，C名是转动120°，于是C名=C。并 且C经=C2。我们断定C6对称轴也是C2轴和C3轴，一般地说，一个Cn轴也是一个Cm轴，如果m是整数 的话. 由于对一个平面的两个相继的反映将所有的核移回原位，所以有2=E.并且2=E.更一般地说，对于 偶数n,6n=E,=E,而对于奇数n,6n=6,=i. 对称操作算符总是可以对易的吗？考虑SF6。我们来检验绕：轴的C4转动和绕x轴的C2转动的乘积，图 4.7指出，C4(e)C2(x)≠C2(x)C4(日).所以对称操作不总是可以对易的.[注意：我们对于一个固定的坐标系来 描述对称操作：我们的规定是，当我们实行一对称操作时，对称元素不随分子而动，而是在空间保持固定.例 如，当我们实行C4(e)操作时，C2(x)轴不动.] x) 图4.7(a)C2(x)C4(a)(b)C4(e)C2(x) 4.2.2对称元素和对称操作之间的一般关系 这里我们介绍关于不同种类的对称元素和操作如何相互关联的一些有用的规则，处理方法是，某两个 对称元素的存在要求其它元素存在，以及对称操作间的交换关系.这些叙述不给证明：做出努力去证明它 们对读者是有裨益的。 乘积关系 (1)两个真转动的乘积必定是一个真转动.因此，虽然转动可由一些平面的联合反映所产生（见规则2）， 但是，反过来却是不可能的. (2)在相交成中B角的平面A和B内的两个反映，其乘积是绕交线所定义的轴的2中4B转动.最简单的证 明是几何方法，如图4.8所示，显然，这一规则具有某种深刻的推论，若两个平面分开成中4B角，则要求存 在一个Cn轴，n=2π/2中8.这里n必须是一个整数，而且Cn轴将保证总共存在n个这样的平面.因此两个 平面意味着构成Cm群（参看下文)的操作的完整集合存在， (3)若存在一个转动轴Cn和一个包含它的平面，则必存在n个被 分开成2π2n角的平面.这是从规则2得出的推论. B (4)绕相交成0角的轴的两个C2转动的乘积，是一个绕垂直于C2 轴平面的另一轴的20转动.这可以用类似于图4.8的图解方式从几 何上予以证明，它还意味着一个Cn轴和一个垂直的C2轴，要求存在 一组n个C2轴，并由此生成我们即将见到的Dn群。 (⑤)一个偶数阶的真转动轴和一个垂直的反映面生成一个反演中 心，即Cn=Cn=C2=C2=i.类似地，Cni=iCn=C2i=iC2=6 交换关系 下列对称操作永远是可交换的： 图4.8几何证明两个反映面A和B要 ①两个绕同一个轴的转动. ③通过相互垂直的平面的反映， 求沿它们的交线存在一个Cn轴， ③反演和任一反映或转动. n=2π/2pB,中4B=a+B,x=2(a+B), .=2中4B 9393 መܥ ଷ ଷ=ܧ).෠符号来自德文单词 Einheit，意为 1．有些书用符号ܫ መ，代替ܧ.(෠ 现在考虑一个有六重对称轴的分子，例如，C6H6．ܥመ ଺操作是转动 60°，ܥመ ଺ ଶ是转动 120°，于是ܥመ ଺ ଶ=ܥመ ଷ ଵ。并 且ܥመ ଺ ଷ=ܥመ ଶ ଵ。我们断定 C6 对称轴也是 C2 轴和 C3 轴，一般地说，一个 Cn 轴也是一个 Cm轴，如果 n/m 是整数 的话． 由于对一个平面的两个相继的反映将所有的核移回原位，所以有ߪොଶ=ܧ.෠并且ଓ̂ ଶ=ܧ.෠更一般地说，对于 偶数 n，ߪො௡=ܧ,෠ଓ̂ ௡=ܧ,෠而对于奇数 n，ߪො௡=ߪො，ଓ̂ ௡=ଓ．̂ 对称操作算符总是可以对易的吗？考虑 SF6。我们来检验绕 z 轴的ܥመ ସ转动和绕 x 轴的ܥመ ଶ转动的乘积，图 4.7 指出，ܥመ ସ(z)ܥመ ଶ(x)≠ܥመ ଶ(x)ܥመ ସ(z)．所以对称操作不总是可以对易的．[注意：我们对于一个固定的坐标系来 描述对称操作；我们的规定是，当我们实行一对称操作时，对称元素不随分子而动，而是在空间保持固定．例 如，当我们实行ܥመ ସ(z)操作时，ܥመ ଶ(x)轴不动．] S F6 F1 F3 F2 F4 F5 C4(z) < z x y S F6 F1 F2 F5 F3 F4 z x y S F1 F6 F3 F4 F2 F5 z x y C2(x) < S F6 F1 F3 F2 F4 F5 C2(x) < z x y S F1 F6 F4 F5 F3 F2 z x y S F1 F6 F5 F2 F4 F3 z x y C4(z) < (a) (b) 图 4.7 (a)ܥመ ଶ(x)ܥመ ସ(z) (b)ܥመ ସ(z)ܥመ ଶ(x) 4.2.2 对称元素和对称操作之间的一般关系 这里我们介绍关于不同种类的对称元素和操作如何相互关联的一些有用的规则，处理方法是，某两个 对称元素的存在要求其它元素存在，以及对称操作间的交换关系．这些叙述不给证明；做出努力去证明它 们对读者是有裨益的． 乘积关系 (1)两个真转动的乘积必定是一个真转动．因此，虽然转动可由一些平面的联合反映所产生（见规则 2）， 但是，反过来却是不可能的． (2)在相交成 ϕAB角的平面 A 和 B 内的两个反映，其乘积是绕交线所定义的轴的 2ϕAB转动．最简单的证 明是几何方法，如图 4.8 所示，显然，这一规则具有某种深刻的推论，若两个平面分开成 ϕAB 角，则要求存 在一个 Cn 轴，n=2ߨ/2ϕAB．这里 n 必须是一个整数，而且 Cn 轴将保证总共存在 n 个这样的平面．因此两个 平面意味着构成 Cnv群（参看下文）的操作的完整集合存在． (3)若存在一个转动轴 Cn和一个包含它的平面，则必存在 n 个被 分开成 2ߨ/2n 角的平面．这是从规则 2 得出的推论． (4)绕相交成 θ 角的轴的两个ܥመ ଶ转动的乘积，是一个绕垂直于 C2 轴平面的另一轴的 2θ 转动．这可以用类似于图 4.8 的图解方式从几 何上予以证明，它还意味着一个 Cn轴和一个垂直的 C2 轴，要求存在 一组 n 个 C2轴，并由此生成我们即将见到的 Dn 群。 (5)一个偶数阶的真转动轴和一个垂直的反映面生成一个反演中 心，即ܥመ ଶ௡ መܥොߪ=ොߪ ௡ ଶ௡ መܥ= ௡ ଶߪො=ߪොܥመ ଶ=ଓ．类似地， ̂ ܥመ ଶ௡ ௡ ଓ= ̂ ଓܥ̂መ ଶ௡ መܥ= ௡ ଶଓ=̂ ଓܥ̂መ ଶ=ߪො． 交换关系 下列对称操作永远是可交换的： ①两个绕同一个轴的转动． ③通过相互垂直的平面的反映， ③反演和任一反映或转动． B β x β α      A α  图 4.8 几何证明两个反映面 A 和 B 要 求沿它们的交线存在一个 Cn 轴， n=2ߨ/2ϕAB，ϕAB= ߙ ൅ ߚ,x=2(ߙ൅ߚ,( ∴x=2ϕAB